2001年考研数学二试题及答案

超级狩猎者超级狩猎者 2001 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题数学二试题解析解析 一 填空题一 填空题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 把答案填在题中横线上 1 2 13 lim 2 1 xx xx x 答案 2 6 考点 洛必达法则 难易度 详解 解析 方法一 2 11 312 1 1 limlim 2 1 2 31 xx xxx xxxxxx 1 11 lim 22 x x 2 6 方法二 使用洛必达法则计算 2 1 31 lim 2 x xx xx 12 12 1 32 1 lim 1 x xx x 6 2 3 22 1 22 1 2 设函数由方程所确定 则曲线在点 xfy 1 cos 2 exye yx xfy 处的法线方程为 1 0 答案 022 yx 考点 隐函数的导数 平面曲线的法线 难易度 详解 解析 在等式两边对x求导 得 2 cos 1 x y exye 2 2 sin 0 x y eyxyyxy 将代入上式 得故所求法线方程为即 x 2y 2 0 1 0 yx 0 2 y 1 1 2 yx 3 xxxxdcos sin 2 2 2 23 超级狩猎者超级狩猎者 答案 8 考点 定积分的换元法 难易度 详解 解析 由题干可知 积分区间是对称区间 利用被积函数的奇偶性可以简化计算 在区间上 是奇函数 是偶函数 2 2 32 cosxx 22 sincosxx 故 32232222 222 222 1 sincoscossincossin 2 4 xxxdxxxxx dxxdx 2 2 1 1 cos4 8 x dx 8 4 过点且满足关系式的曲线方程为 0 2 1 1 1 inarcs 2 x y xy 答案 1 arcsin 2 yxx 考点 一阶线性微分方程 难易度 详解 解析 方法一 原方程可改写为 2 arcsin1 1 y yx x arcsin1 yx 两边直接积分 得arcsinyxxC 又由解得 1 0 2 y 1 2 C 故所求曲线方程为 1 arcsin 2 yxx 方法二 将原方程写成一阶线性方程的标准形式 解得 2 11 arcsin 1arcsin yy x xx 超级狩猎者超级狩猎者 22 11 1arcsin1arcsin lnarcsinlnarcsin 1 arcsin 1 arcsin 1 arcsin dxdx xxxx xx yeCedx x eCedx x Cx x 又由解得 1 0 2 y 1 2 C 故曲线方程为 1 arcsin 2 yxx 5 设方程有无穷多个解 则a 2 1 1 11 11 11 3 2 1 x x x a a a 答案 2 考点 非齐次线性方程组解的判定 难易度 详解 解析 方法一 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形 有 2 111112 1110113 11201112 aa Aaaa aaaa 112 0113 001222 a aa aaa 可见 只有当a 2 时才有秩对应方程组有无穷多个解 23 r Ar A 方法二 当系数矩阵的行列式不为零时 方程组有唯一解 因此满足题设条件的a 一定使系数行列式 为零 即有解得或 2 11 11 2 1 0 11 a aaa a 2 a1 a 由于答案有两个 应将其带回原方程进行检验 显然 当时 原方程无解 因此只能是1 a 2 a 二 选择题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 每小题给出的四个选项中 只有一 超级狩猎者超级狩猎者 项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设则等于 1 0 1 1 x x xf xfff A 0 B 1 C D 1 0 1 1 x x 1 1 1 0 x x 答案 B 考点 复合函数 难易度 详解 本题涉及到的主要知识点 复合函数中 内层函数的值域是包含于外层函数的定义域 解析 由题易知 所以 选 B 1 xf1 xff1 1 fxfff 2 设当时 是比高阶的无穷小 而是比0 x 1ln cos1 2 xx n xxsin n xxsin 高阶的无穷小 则正整数等于 1 2 x en A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 考点 无穷小量的比较 难易度 详解 解析 由题易知 3 41 0 2 1 lim 2 1 lim 0 sin 1ln cos1 lim 1 4 0 22 0 2 0 n n x x xx xx xx xx n x n x n x 3 曲线的拐点个数为 22 3 1 xxy A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 考点 函数图形的拐点 1 21 0limlim 0 1 sin lim 2 1 0 2 0 0 2 n n x x x xx e xx n x n x x n x 超级狩猎者超级狩猎者 难易度 详解 解析 2 24 1 4 1 8 3 8 3 4 1 2 3 1 8 3 2 1 2 1 3 4 3 1 4 3 2 1 3 2 3 1 2 22 22 22 xxxxxy xxxx xxxxxxy xxxxy 由得 或 带入 故有两个拐点 0 y 1 x3 x0 y xf 4 已知函数在区间内具有二阶导数 严格单调减少 且 xf 1 1 x f 则 1 1 1 ff A 在和内均有 1 1 1 1 xxf B 在和内均有 1 1 1 1 xxf C 在内 在内 1 1 xxf 1 1 xxf D 在内 在内 1 1 f xx 1 1 f xx 答案 A 考点 函数单调性的判别 难易度 详解 解析 令 则 xxfxF 1 xfxF 因为在区间上 严格单调减少 1 1 x f 所以当时 单调递增 1 1 x01 1 fxF xF 01 1 1 fFxF 当时 单调递减 1 1 x01 1 fxF xF01 1 1 fFxF 故在和内均有 即 1 1 1 1 0 xFxxf 5 设函数在定义域内可导 它的图形如下图所示 则其导函数的图形为 f x xfy 超级狩猎者超级狩猎者 答案 D 考点 函数单调性的判别 难易度 详解 解析 由图可知有两个极值点 横坐标分别记作 故 xf 2121 xxxx 在且仅在这两处的值为 故选 D 其中 当时 先增后减再增 故 x f 00 x xf 先正再负再正 进一步排除 B x f 三 本题满分 6 分 求 1 12 d 22 xx x 考点 不定积分的第二类换元法 难易度 详解 解析 设则tan xu 2 sec dxudu 原式 222 cos 2tan1 cos2sincos duudu uuuu 2 sin sin1 du u arctan sin uC 2 arctan 1 x C x 超级狩猎者超级狩猎者 四 本题满分 7 分 求极限 记此极限为 求函数的间断点并指出其类型 xt x xt x t sinsin sin sin lim xf xf 考点 两个重要极限 函数间断点的类型 难易度 详解 解析 xf x x xt x x xt xt x xt xt x xt e x t x t sinsinsinsin sinsin sinsin sin sinsin 1 sin sin 1 lim sin sin lim 由此表达式知 x 0 及 x k k 1 2 都是 f x 的间断点 由于 所以 x 0 是 f x 的可去 或第一类 间断点 而eelim lim sin 00 x x xx xf x k k 1 2 均为第二类 或无穷 间断点 五 本题满分 7 分 设是抛物线上任一点处的曲率半径 是该抛物 x xy 1 xyxM xss 线上介于点与之间的弧长 计算的值 在直角坐标系下曲率公 1 1 AM 2 2 2 d d d d 3 ss 式为 1 2 3 2 y y K 考点 曲率半径 定积分的几何应用 平面曲线的弧长 由参数方程所确定的函数的导 数 难易度 详解 解析 抛物线在点处的曲率半径 3 11 2 4 yy x x M x y 3 32 2 2 1 1 1 41 2 y xx Ky 抛物线上的弧长 A AM 2 11 1 1 1 4 xx ss xy dxdx x 故 3 2 1 3 41 4 2 2 6 1 1 4 d x d dx x ds ds dx x 超级狩猎者超级狩猎者 2 2 1616 2114 1 4 ddd ds dsdxdsxx dx x 因此 2 3 2 2 2 16 3 314369 214 dd xx dsdsx 六 本题满分 7 分 设函数在上可导 且其反函数为 若 xf 0 0 0 f xg ed 2 0 x xf xttg 求 xf 考点 积分上限的函数及其导数 一阶线性微分方程 难易度 详解 本题涉及到的主要知识点 d 0 xfxfgttg xf 解析 等式两边对 x 求导得 xx exxexfxfg 2 2 又因为是的反函数 故 xg xfxxfg 所以有 xx xeexf 2 Cxeedxxeeedxxeexf xxxxxxx 2 又因为在处连续 由得 xf0 x0 0 1 lim 0 fCxf x 1 C 故 1 xx xeexf 七 本题满分 7 分 设函数 满足 且 求 xf xg e2 xfxgxgxf x 0 0 f2 0 g d 1 1 0 2 x x xf x xg 考点 自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 定积分的分部积分法 难易度 详解 解析 因为 所以 e2 xfxgxgxf x e2 xfxf x 超级狩猎者超级狩猎者 其对应的齐次微分方程为0 xfxf 特征方程为 01 2 ri r 所以齐次微分方程的通解为xCxCxfsincos 21 设非齐次微分方程的特解为 则代入微分方程 x Cexf xx CexfCexf 得 1 C 所以非齐次微分方程的通解为 x exCxCxf sincos 21 又 0 0 0 0 0 fgf x exCxCxf cossin 21 得 1 1 21 CC 故 x exxxf sincos 求积分 x xf x xfxf x x x xf x xg 1 d 1 1 d d 1 1 d 1 1 00 0 0 2 1 e1 01 0 1 1 0 ff x xf 八 本题满分 9 分 设是一条平面曲线 其上任意一点到坐标原点的距离恒等于该点处的切L 0 xyxP 线在轴上的截距 且经过点yL 0 2 1 1 试求曲线的方程 L 2 求位于第一象限部分的一条切线 使该切线与以及两坐标轴所围图形的面积最LL 小 考点 齐次微分方程 平面曲线的切线 函数的最大值与最小值 难易度 详解 解析 1 设曲线过点的切线方程为 L yxP xXyyY 令 得切线在轴上的截距 0 XyyxyY 由题设知 yxyyx 22 超级狩猎者超级狩猎者 令 则此方程可化为 y u x 1 2 uxu 分离变量得 d 1 d 2 x x u u 积分得 即 Cxuulnln 1ln 2 22 Cyxy 代入条件得 于是得 L 的方程 即 0 2 1 x y 2 1 C 2 1 22 yxy 2 4 1 xy 2 曲线 L 在点处的切线方程为 2 1 0 4 1 2 xxy yx 即 2 4 1 2 xXxxY 4 1 2 2 xxXY 它在 x 轴与 y 轴上的截距分别为与 4 1 2 1 2 x x4 1 2 x 所围面积 d 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 0 222 xxx x xS 令 0 4 1 3 4 1 4 1 4 1 2 4 1 2 4 1 22 2 222 2 xx x xxxx x xS 得在内的唯一驻点 xS 2 1 0 6 3 x 易知是最小值点 6 3 x 由此 所求切线为 即 4 1 36 3 6 3 2 XY 3 1 3 3 xy 九 本题满分 7 分 一个半球体状的雪堆 其体积融化的速率与半球面面积成正比 比例常数 假设S0 K 在融化过程中雪堆始终保持半球体状 已知半径为的雪堆在开始融化的 3 小时内 融化 0 r 了其体积的 问雪堆全部融化需要多少小时 8 7 考点 导数的物理意义 微分方程初始条件的概念 难易度 详解 解析 设雪堆在 时刻的体积 侧面积 雪堆半径 t 3 3 2 rV 2 2 r trr 超级狩猎者超级狩猎者 由题设知 kS t V d d 所以有即 2 d d 2 22 rk t r r d d k t r 积分得 又由 有 于是 Cktr 00 rr t 0 rC ktrr 0 又由 即 得 从而 0 3 8 1 t t VV 3 0 3 0 3 2 8 1 3 3 2 rkr 0 6 1 rk 6 6 0 t r r 令得雪堆全部融化所需时间为小时 0 r6 t 十 本题满分 8 分 设在区间上具有二阶连续导数 xf 0 aaa0 0 f 1 写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式 xf 2 证明在上至少存在一点 使 aa d 3 3 xxffa a a 考点 泰勒中值定理 介值定理 难易度 详解 解析 1 对任意 aax 其中在 0 与之间 22 2 0 2 0 0 x f xfx f xffxf x 2 令 则在具有三阶连续导数 其二阶麦克劳林展ttfxF x d 0 xF aa 开式为 32 3 2 0 0 0 x F x F xFFxF 3 2 0 3 2 0 0 0 3232 x f x f x f x f xf 所以 3 1 2 3 2 0 a f a f aF 0 3 2 0 12 3 2 2 aaa f a f aF 又 2 3 3 d 21 3 21 3 ffa ff a aFaFxxf a a 由于介于和之间 由介值定理知存在 使得 2 1 21 ff 1 f 2 f aa 2 1 21 fff 则有 3 d 3 f a xxf a a 十一 本题满分 6 分 超级狩猎者超级狩猎者 已知矩阵 且矩阵满足 011 101 110 11 011 001 B i AXEBXAAXBBXBAXA