江苏苏北六市2018届高三第二次调研测试数学试题(文科)

1 江苏苏北六市 2018 届高三第二次调研测试 数学 文科 2018 3 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本卷共 4 页 包含填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 本卷满分 160 分 考试时间为 120 分钟 考试结束后 请将答题卡交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位 置 3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答 在其他位置作答一律无效 作答必须用 0 5 毫 米黑色墨水的签字笔 请注意字体工整 笔迹清楚 4 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 5 请保持答题卡卡面清洁 不要折叠 破损 一律不准使用胶带纸 修正液 可擦洗的圆珠笔 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 不需要写出解答过程 请将答 案填写在答题卡相应的位置上 1 已知集合 U 1 0 1 2 3 A 1 0 2 则 A U 2 已知复数 其中 i 为虚数单位 若为纯虚数 则实数 a 的值 1 zai 2 34zi 1 2 z z 为 3 某班 40 名学生参加普法知识竞赛 成绩都在区间 40 100 上 其频率分布直方图如图 所示 则成绩不低于 60 分的人数为 4 如图是一个算法流程图 则输出的 S 的值为 5 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C 以线段 AC BC 为邻边作矩形 则该矩形的面 积大于 32cm 的概率为 6 在 ABC 中 已知 AB 1 AC B 45 则 BC 的长为 2 2 7 在平面直角坐标系 xOy 中 已知双曲线 C 与双曲线有公共的渐近线 且经 2 2 1 3 y x 过点 P 2 则双曲线 C 的焦距为 3 8 在平面直角坐标系 xOy 中 已知角 的始边均为 x 轴的非负半轴 终边分别经过 点 A 1 2 B 5 1 则 tan 的值为 9 设等比数列 的前 n 项和为 若 成等差数列 且 则的值 n a n S 3 S 9 S 6 S 8 3 a 5 a 为 10 已知 a b c 均为正数 且 abc 4 a b 则 a b c 的最小值为 11 在平面直角坐标系 xOy 中 若动圆 C 上的点都在不等式组表示的平 3 330 330 x xy xy 面区域内 则面积最大的圆 C 的标准方程为 12 设函数 其中 e 为自然对数的底数 有 3 个不同的零点 3 1 0 2 320 x ex f x xmxx 则实数 m 的取值范围是 13 在平面四边形 ABCD 中 已知 AB 1 BC 4 CD 2 DA 3 则的值为 AC BD 14 已知 a 为常数 函数的最小值为 则 a 的所有值为 22 1 x f x axx 2 3 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 请在答题纸指定区域内作答 解答应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 设向量 cosa sin sinb cos 1 2 c 3 2 1 若 求 sin 的值 abc 2 设 且 求的值 5 6 0 a bc 3 16 本题满分 14 分 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC 点 E F 分别在棱 BB1 CC1上 均异 于端点 且 ABE ACF AE BB1 AF CC1 1 求证 平面 AEF 平面 BB1C1C 2 求证 BC 平面 AEF 17 本题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 B1 B2是椭圆的短轴端点 22 22 1 0 xy ab ab P 是椭圆上异于点 B1 B2的一动点 当直线 PB1的方程为时 线段 PB1的长为3yx 4 2 1 求椭圆的标准方程 2 设点 Q 满足 QB1 PB1 QB2 PB2 求证 PB1B2与 QB1B2的面积之比为 定值 4 18 本题满分 16 分 将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计 面积为 100dm 的矩形薄铁皮 如图 并沿虚线 l1 l2裁剪成 A B C 三个矩形 B C 全等 用来制成一个柱体 现有两种方 案 方案 以 l1为母线 将 A 作为圆柱的侧面展开图 并从 B C 中各裁剪出一个圆形 作为圆柱的两个底面 方案 以 l1为侧棱 将 A 作为正四棱柱的侧面展开图 并从 B C 中各裁剪出一个 正方形 各边分别与 l1或 l2垂直 作为正四棱柱的两个底面 1 设 B C 都是正方形 且其内切圆恰为按方案 制成的圆柱的底面 求底面半径 2 设 l1的长为 xdm 则当 x 为多少时 能使按方案 制成的正四棱柱的体积最大 19 本题满分 16 分 设等比数列 的公比为 q 等差数列 的公差为 d 且 1 a 2 a 3 a 4 a 1 b 2 b 3 b 4 b q 1 d 0 记 1 2 3 4 iii cab i 1 求证 数列 不是等差数列 1 c 2 c 3 c 2 设 q 2 若数列 是等比数列 求关于 d 的函数关系式及 1 1a 1 c 2 c 3 c 2 b 其定义域 3 数列 能否为等比数列 并说明理由 1 c 2 c 3 c 4 c 20 本题满分 16 分 设函数 sin 0 f xxax a 1 若函数是 R 上的单调函数 求实数 a 的取值范围 yf x 2 设 a 是的导函 1 2 ln1g xf xbx bR 0b g x g x 5 数 若对任意的 x 0 0 求证 存在 使 0 若 g x 0 x 0 g x 求证 1212 g xg xxx 12 x x 2 4b 参考答案及评分建议参考答案及评分建议 一 填空题 1 2 3 30 4 125 5 6 7 8 9 13 4 3 1 3 26 2 4 3 9 7 6 10 8 11 12 13 10 14 22 1 4xy 1 1 4 4 二 解答题 15 1 因为 cossin a sincos b 31 22 c 所以 且 3 分1 abccossinsincossin a b 因为 所以 即 a2 2 a b b2 1 abc 2 2 abc 所以 即 6 分12sin 11 1 sin 2 2 因为 所以 故 8 分 5 6 31 22 a 31 sincos 22 bc 因为 所以 abc 3311 cossin0 2222 化简得 所以 12 分 311 sincos 222 1 sin 32 因为 所以 所以 即 14 分0 2 333 36 2 16 1 在三棱柱 ABC A1B1C1中 BB1 CC1 因为 AF CC1 所以 AF BB1 2 分 又 AE BB1 AEAF AE AF平面 AEF 所以 BB1 平面 AEF 5 分 A 又因为 BB1平面 BB1C1C 所以平面 AEF 平面 BB1C1C 7 分 2 因为 AE BB1 AF CC1 ABE ACF AB AC 所以 AEB AFC 所以 BE CF 9 分RtRt 又由 1 知 BE CF 所以四边形 BEFC 是平行四边形 故 BC EF 11 分 又 BC平面 AEF EF平面 AEF 所以 BC 平面 AEF 14 分 6 17 设 00 P xy 11 Q xy 1 在中 令 得 从而 b 3 2 分3yx 0 x 3y 由 得 所以 4 分 2 2 2 1 9 3 y x a yx 2 2 2 3 1 9 x x a 2 0 2 6 9 a x a 因为 所以 解得 2 2 1000 32PBxyx 2 2 6 4 22 9 a a 2 18a 所以椭圆的标准方程为 6 分 2 2 1 189 y x 2 方法一 直线 PB1的斜率为 由所以直线 QB1的斜率 1 0 0 3 PB y k x 11 QBPB 为 于是直线 QB1的方程为 1 0 0 3 QB x k y 0 0 3 3 x yx y 同理 QB2的方程为 8 分 0 0 3 3 x yx y 联立两直线方程 消去 y 得 10 分 2 0 1 0 9y x x 因为在椭圆上 所以 从而 00 P xy 2 2 1 189 y x 22 00 1 189 xy 2 20 0 9 2 x y 所以 12 分 0 1 2 x x 所以 14 分 12 12 0 1 2 PB B QB B S x Sx 方法二 设直线 PB1 PB2的斜率为 k 则直线 PB1的方程为 k 3ykx 由直线 QB1的方程为 11 QBPB 1 3yx k 将代入 得 3ykx 2 2 1 189 y x 22 21120kxkx 因为 P 是椭圆上异于点B1 B2的点 所以 从而 8 分 0 0 x 0 x 2 12 21 k k 因为在椭圆上 所以 从而 00 P xy 2 2 1 189 y x 22 00 1 189 xy 2 20 0 9 2 x y 所以 得 10 分 2 000 2 00 0 339 1 2 yyy k k xx x 1 2 k k 由 所以直线的方程为 22 QBPB 2 QB23ykx 7 联立 则 即 12 分 1 3 23 yx k ykx 2 6 21 k x k 1 2 6 21 k x k 所以 14 分 12 12 2 0 1 2 12 21 2 6 21 PB B QB B k S x k Sxk k 18 1 设所得圆柱的半径为 dm 则 4 分 r 2 24100rrr 解得 6 分 52 1 2 1 r 2 设所得正四棱柱的底面边长为 dm 则即 9 分a 2 100 4 x a aa x 2 20 x a a x 方法一 所得正四棱柱的体积 11 分 3 2 02 10 4 400 2 10 x x Va x x x 记函数则在上单调递增 在 3 02 10 4 400 2 10 x x p x x x p x 0 2 10 上单调递减 所以当时 2 10 2 10 x max 20 10px 所以当 时 dm3 14 分2 10 x 10a max V 20 10 方法二 从而 11 分 20 2ax a 10a 所得正四棱柱的体积 22 20 20 2010Va xaa a 所以当 时 dm3 14 分10a 2 10 x max V 20 10 答 1 圆柱的底面半径为 dm 52 1 2 1 2 当为时 能使按方案 制成的正四棱柱的体积最大 16 分x2 10 评分说明 直接 由得 时正四棱柱的体积最大 给 2 分 2100 2 x xx 2 10 x 方法一中的求解过程要体现 凡写成的最多得 5 210p xV 210p xV 8 分 其它类似解答参照给分 19 1 假设数列是等差数列 123 ccc 则 即 213 2ccc 221133 2 ababab 因为是等差数列 所以 从而 2 分 12 bb 3 b 213 2bbb 213 2aaa 又因为是等比数列 所以 12 aa 3 a 2 213 aa a 所以 这与矛盾 从而假设不成立 123 aaa 1q 所以数列不是等差数列 4 分 123 ccc 2 因为 所以 1 1a 2q 1 2n n a 因为 所以 即 6分 2 21 3 cc c 2 222 214bbdbd 2 2 3bdd 由 得 所以且 22 20cb 2 320dd 1d 2d 又 所以 定义域为 8分0d 2 2 3bdd 120dddd R 3 方法一 设 c1 c2 c3 c4成等比数列 其公比为 q1 则 10 分 111 111 1 22 111 1 33 111 1 2 3 abc a qbd c q a qbd c q a qbd c q 将 2 得 22 111 11aqc q 将 2 得 12 分 22 11 11 11a q qc qq 因为 由 得 1 0a 1q 1 0c 1 1q 由 得 从而 14 分 1 qq 11 ac 代入 得 再代入 得 与矛盾 1 0b 0d 0d 所以 c1 c2 c3 c4不成等比数列 16 分 方法二 假设数列是等比数列 则 10 分 1234 cccc 324 123 ccc ccc 9 所以 即 3243 2132 cccc cccc 3243 2132 aadaad aadaad 两边同时减 1 得 12 分 321432 2132 22aaaaaa aadaad 因为等比数列a1 a2 a3 a4的公比为q 所 1q 以 321 321 2132 22q aaaaaa aadaad 又 所以 即 2 3211 210aaaaq 2132 q aadaad 10qd 14 分 这与且矛盾 所以假设不成立 1q 0d 所以数列不能为等比数列 16 分 1234 cccc 20 1 由题意 对恒成立 1cos0fxax x R 因为 所以对恒成立 0a 1 cosx a x R 因为 所以 从而 3 分 maxcos1x 1 1 a 01a 2 所以 1sin ln1 2 g xxxbx 1 1cos 2 b gxx x 若 则存在 使 不合题意 0b 0 2 b 1 1cos0 222 bb g 所以 5 分0b 取 则 3 0 e b x 0 01x 此时 3 0000 111 sinln11ln10 222 b g xxxbxbe 所以存在 使 8 分 0 0 x 0 0g x 依题意 不妨设 令 则 12 0 xx 2 1 x t x 1t 由 1 知函数单调递增 所以 sinyxx 2211 sinsinxxxx 从而 10 分 212