1.2.4平面与平面的位置关系

面面位置关系课时作业面面位置关系课时作业 一 填空题 1 给出下列条件 两个平面不相交 两个平面没有公共点 一个平面内所有直线都平行于另一个平面 一个平面内有一条直线平行于另一个平面 一个平面内有两条直线平行于另一个平面 其中能判断两个平面平行的是 填序号 答案 解析 由两个平面的位置关系知 正确 由两个平面平行的定义知 正确 两个平面相 交 其中一个平面内可以有无数条直线与另一个平面平行 故 错误 故填 2 已知平面 平面 直线 a 平面 则下列命题中正确的是 填序号 a 与 内的所有直线平行 a 与 内的无数条直线平行 a 与 内的任何直线都不平行 a 与 没有公共点 答案 3 已知夹在两平行平面 之间的线段 AB 的长为 6 AB 与 所成的角为 60 则 与 之间的距离为 答案 3 3 解析 过 B 作 BC 于 C 图略 则 BAC 60 在 Rt ABC 中 BC AB sin 60 3 3 4 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M 为棱 A1D1上的动点 O 为底面 ABCD 的中心 E F 分别是 A1B1 C1D1的中点 下列平面中与 OM 扫过的平面平行的是 填序号 平面 ABB1A1 平面 BCC1B1 平面 BCFE 平面 DCC1D1 答案 解析 AB DC 的中点分别为 E1和 F1 OM 扫过的平面即为平面 A1E1F1D1 如图 故平面 A1E1F1D1 平面 BCFE 5 若不共线的三点到平面 的距离相等 则这三点确定的平面 与 之间的关系是 答案 平行或相交 解析 若三点在平面 的同侧 则 若三点在平面 的异侧 则 与 相交 6 已知 且 与 间的距离为 d 直线 a 与 相交于点 A 与 相交于点 B 若 AB d 则直线 a 与 所成的角等于 2 3 3 答案 60 解析 设直线 a 与 所成的角为 由题意得 AB sin d sin 2 3d 3 3 2 又 0 90 60 7 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 过 BB1的中点 E 作一个与平面 ACB1平行的平面交 AB 于点 M 交 BC 于点 N 则 MN AC 答案 1 2 解析 平面 MNE 平面 ACB1 由面面平行的性质定理 可得 EN B1C EM B1A 又 E 为 BB1的中点 M N 分别为 BA BC 的中点 MN AC 即 1 2 MN AC 1 2 8 已知在三棱柱 ABC A1B1C1中 D E F 分别是棱 AA1 BB1 CC1的中点 则平面 DEF 与平面 ABC 的位置关系是 答案 平行 解析 D E F 分别是棱 AA1 BB1 CC1的中点 在平行四边形 AA1B1B 与平行四边形 BB1C1C 中 DE AB EF BC DE 平面 ABC EF 平面 ABC 又 DE EF E 平面 DEF 平面 ABC 9 如图 已知 GB GD 分别交 于 A B C D 且 GA 9 AB 12 则 AC BD 答案 3 7 解析 因为 平面 GAC AC 平面 GBD BD 且 所以 AC BD 又因为 GA 9 AB 12 所以 AC BD GA GB 9 9 12 3 7 10 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F G H 分别是棱 CC1 C1D1 D1D CD 的中点 N 是 BC 的中点 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动 则 M 满足 时 有 MN 平面 B1BDD1 答案 M 线段 FH 解析 HN BD HF DD1 HN HF H BD DD1 D 平面 NHF 平面 B1BDD1 故线段 FH 上任意一点 M 与 N 连结 有 MN 平面 B1BDD1 11 如图 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 点 P 是平面 AA1D1D 的中心 点 Q 是平面 A1B1C1D1的对角线 B1D1上一点 且 PQ 平面 AA1B1B 则线段 PQ 的长为 答案 2 2 解析 当且仅当点 Q 为 B1D1的中点时 PQ 平面 AA1B1B 取 A1D1中点 O 连结 OQ OP 则 OQ A1B1 OP A1A 故易证平面 OPQ 平面 ABB1A1 则 PQ 平面 ABB1A1 在 Rt POQ 中 OQ OP 1 2 PQ 2 2 二 解答题 12 如图所示 B 为 ACD 所在平面外一点 M N G 分别为 ABC ABD BCD 的重心 1 求证 平面 MNG 平面 ACD 2 求 S MNG S ADC 1 证明 如图 连结 BM BN BG 并延长交 AC AD CD 分别于点 P F H M N G 分别为 ABC ABD BCD 的重心 2 BM MP BN NF BG GH 连结 PF FH PH 有 MN PF 又 PF 平面 ACD MN 平面 ACD MN 平面 ACD 同理 MG 平面 ACD 又 MG MN M 平面 MNG 平面 ACD 2 解 由 1 可知 MG PH BG BH 2 3 MG PH 2 3 又 PH AD 1 2 MG AD 1 3 同理 NG AC MN CD 1 3 1 3 MNG DCA 其相似比为 1 3 S MNG S ADC 1 9 13 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 M 是 A1C1的中点 平面 AB1M 平面 BC1N AC 平 面 BC1N N 求证 N 为 AC 的中点 证明 平面 AB1M 平面 BC1N 平面 ACC1A1 平面 AB1M AM 平面 BC1N 平面 ACC1A1 C1N C1N AM 又 AC A1C1 四边形 ANC1M 为平行四边形 AN C1M A1C1 AC 1 2 1 2 N 为 AC 的中点 三 探究与拓展 14 已知 l m n 是互不相同的直线 是三个不同的平面 给出下列命题 若 l 与 m 为异面直线 l m 则 若 l m 则 l m 若 l m n l 则 m n 其中所有正确命题的序号为 答案 解析 中 可能与 相交 中直线 l 与 m 可能异面 中根据线面平行的性质定理可 以证明 m n 15 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1中 D 是棱 CC1的中点 问在棱 AB 上是否存在一点 E 使 DE 平面 AB1C1 若存在 请确定点 E 的位置 若不存在 请说明理由 解 方法一 存在点 E 且 E 为 AB 的中点时 DE 平面 AB1C1 证明如下 如图 取 BB1的中点 F 连结 DF 则 DF B1C1 因为 AB 的中点为 E 连结 EF 则 EF AB1 B1C1 AB1 B1 EF DF F 所以平面 DEF 平面 AB1C1 而 DE 平面 DEF 所以 DE 平面 AB1C1 方法二 假设在棱 AB 上存在点 E 使得 DE 平面 AB1C1 如图 取 BB1的中点 F 连结 DF EF 则 DF B1C1 又 DF 平面 AB1C1 所以 DF 平面 AB1C1 又 DE 平面 AB1C1 DE