平面向量习题和公式

精品文档 1欢迎下载 公式 1 向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则 AB BC AC a b x x y y a 0 0 a a 向量加法的运算律 交换律 a b b a 结合律 a b c a b c 2 向量的减法 如果 a b 是互为相反的向量 那么 a b b a a b 0 0 的反向量为 0 AB AC CB 即 共同起点 指向被减 a x y b x y 则 a b x x y y 4 数乘向量 实数 和向量 a 的乘积是一个向量 记作 a 且 a a 当 0 时 a 与 a 同方向 当 0 时 a 与 a 反方向 当 0 时 a 0 方向任意 当 a 0 时 对于任意实数 都有 a 0 注 按定义知 如果 a 0 那么 0 或 a 0 实数 叫做向量 a 的系数 乘数向量 a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或 压缩 当 1 时 表示向量 a 的有向线段在原方向 0 或反方向 0 上伸长为原 来的 倍 当 1 时 表示向量 a 的有向线段在原方向 0 或反方向 0 上缩短为原 来的 倍 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律 a b a b a b 向量对于数的分配律 第一分配律 a a a 数对于向量的分配律 第二分配律 a b a b 数乘向量的消去律 如果实数 0 且 a b 那么 a b 如果 a 0 且 a a 那 么 3 向量的的数量积 定义 已知两个非零向量 a b 作 OA a OB b 则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角 记作 a b 并规定 0 a b 定义 两个向量的数量积 内积 点积 是一个数量 记作 a b 若 a b 不共线 则 a b a b cos a b 若 a b 共线 则 a b a b 精品文档 2欢迎下载 向量的数量积的坐标表示 a b x x y y 向量的数量积的运算律 a b b a 交换律 a b a b 关于数乘法的结合律 a b c a c b c 分配律 向量的数量积的性质 a a a 的平方 a b a b 0 a b a b 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1 向量的数量积不满足结合律 即 a b c a b c 例如 a b 2 a 2 b 2 2 向量的数量积不满足消去律 即 由 a b a c a 0 推不出 b c 3 a b a b 4 由 a b 推不出 a b 或 a b 4 向量的向量积 定义 两个向量 a 和 b 的向量积 外积 叉积 是一个向量 记作 a b 若 a b 不共线 则 a b 的模是 a b a b sin a b a b 的方向是 垂直于 a 和 b 且 a b 和 a b 按这个次序构成右手系 若 a b 共线 则 a b 0 向量的向量积性质 a b 是以 a 和 b 为边的平行四边形面积 a a 0 a b a b 0 向量的向量积运算律 a b b a a b a b a b a b c a c b c 注 向量没有除法 向量 AB 向量 CD 是没有意义的 向量的三角形不等式 1 a b a b a b 当且仅当 a b 反向时 左边取等号 当且仅当 a b 同向时 右边取等号 2 a b a b a b 当且仅当 a b 同向时 左边取等号 当且仅当 a b 反向时 右边取等号 平面向量测试题平面向量测试题 精品文档 3欢迎下载 一 选择题一 选择题 1 设点 P 3 6 Q 5 2 R 的纵坐标为 9 且 P Q R 三点共线 则 R 点的横坐标 为 A 9 B 6 C 9 D 6 2 已知 2 3 b b 4 7 则 在b b上的投影为 A B C D 3 设点 A 1 2 B 3 5 将向量 按向量 1 1 平移后得向量 为 A 2 3 B 1 2 C 3 4 D 4 7 4 若 a b c b c a 3bc 且 sinA sinBcosC 那么 ABC 是 A 直角三角形 B 等边三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形 5 已知 4 b b 3 与b b的夹角为 60 则 b b 等于 A B C D 6 已知 O A B 为平面上三点 点 C 分有向线段 所成的比为 2 则 A B C D 7 O 是 ABC 所在平面上一点 且满足条件 则点 O 是 ABC 的 A 重心 B 垂心 C 内心 D 外心 8 设 b b 均为平面内任意非零向量且互不共线 则下列 4 个命题 1 b b 2 2 b b2 2 b b b b 3 b b 2 b b 2 精品文档 4欢迎下载 4 b b a a b b与 不一定垂直 其中真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 9 在 ABC 中 A 60 b 1 则 等于 A B C D 10 设 b b不共线 则关于 x 的方程 x2 b bx 0 的解的情况是 A 至少有一个实数解 B 至多只有一个实数解 C 至多有两个实数解 D 可能有无数个实数解 二 填空题 二 填空题 11 在等腰直角三角形 ABC 中 斜边 AC 则 22CAAB 12 已知ABCDEF为正六边形 且 a a b b 则用a a b b表示为 ACADAB 13 有一两岸平行的河流 水速为 1 速度为 的小船要从河的一边驶向对岸 为使所 行路程最短 小船应朝 方向行驶 14 如果向量 与b b的夹角为 那么我们称 b b为向量 与b b的 向量积 b b是一个向量 它的长度 b b b b sin 如果 3 b b 2 b b 2 则 b b 三 解答题三 解答题 15 已知向量 求向量b b 使 b b 2 并且 与b b的夹角为 10 分 精品文档 5欢迎下载 16 已知平面上 3 个向量 b b 的模均为 1 它们相互之间的夹角均为 120 1 求证 b b 2 若 k b b 1 k R 求 k 的取值范围 12 分 17 本小题满分 12 分 已知e e1 e e2是两个不共线的向量 e e1 e e2 e e1 8e e2 3e e1 3e e2 若A B DABCBCD 三点在同一条直线上 求实数 的值 精品文档 6欢迎下载 18 某人在静水中游泳 速度为 4公里 小时 他在水流速度为 4 公里 小时的河中游泳 3 1 若他垂直游向河对岸 则他实际沿什么方向前进 实际前进的速度为多少 2 他必须朝哪个方向游 才能沿与水流垂直的方向前进 实际前进的速度为多少 参考答案参考答案 一 选择题 1 D 设 R x 9 则由 得 x 5 8 11 8 x 6 2 C b b 3 A 平移后所得向量与原向量相等 4 A 由 a b c b c a 3bc 得 a2 b2 c2 bc A 60 sinA sin B C sinBcosC cosBsinC sinBcosC 得 cosBsinC 0 ABC 是直角三角 形 5 D 6 B 7 B 由 得 OB CA 同理 OA BC O 是 ABC 的 精品文档 7欢迎下载 垂心 8 A 1 2 4 均错 9 B 由 得 c 4 又 a2 b2 c2 2bccosA 13 10 B x2 xb b 根据平面向量基本定理 有且仅有一对实数 和 使 b b 故 x2 且 x 2 故原方程至多有一个实数解 二 填空题 11 4 12 13 与水流方向成 135 角 14 b b b b cos b b b b sin 三 解答题 15 由题设 设 b b 则 由 得 解得 sin 1 或 当 sin 1 时 cos 0 当 时 故所求的向量 或 16 1 向量 b b 的模均为 1 且它们之间的夹角均为 120 b b 2 k b b 1 k b b 2 1 精品文档 8欢迎下载 k2 2 b b2 2 2k b b 2k 2b b 1 k2 2k 0 k2 17 解法一 A B D三点共线 与共线 存在实数k 使 k ABADABAD 又 CDCBABCDBCABAD 4 e e1 6e e2 有e e1 e e2 k 4 e e1 6ke e2 有 16 1 4 k k 2 6 1 k 解法二 A B D三点共线 与共线 存在实数m 使ABBDBDmAB 又 3 e e1 5e e2 CBCDBD 3 me e1 5me e2 e e1 e e2 有 15 1 3 m m 2 5 1 m 18 解 1 如图 设人游泳的速度为 水流的速度为 以 为邻OBOAOAOB 边作 OACB 则此人的实际速度为 OCOBOA 精品文档 9欢迎下载 图 图 由勾股定理知 8 OC 且在 Rt ACO中 COA 60 故此人沿与河岸成 60 的夹角顺着水流的方向前进 速度大小为 8 公里 小时 2 如图 设此人的实际速度为 水流速度为 则游速为 O