平行四边形性质与判定提升讲义(经典)

平行四边形提升讲义 1 平行四边形 定义 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 2 平行四边形的性质 定理 1 平行四边形的对边相等 定理 2 平行四边形的对角相等 定理 3 平行四边形的对角线互相平分 两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组对角分别相等 邻角互补 角 对角线互相平分 对角线 3 平行四边形的判定 定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理 2 对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理 3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 定理 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等 对角线 对角线互相平分 4 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边 且等于第三边的一半 探究类型之一 平行四边形的判定 例 1 如图 在ABCD 中 F 是 AD 的中点 延长 BC 到点 E 使A CE BC 连接 DE CF 1 2 1 求证 四边形 CEDF 是平行四边形 四边形 ABCD 是平行四边形 边 边 2 若 AB 4 AD 6 B 60 求 DE 的长 类似性问题类似性问题 1 已知四边形 ABCD 有以下四个条件 AB CD AB CD BC AD BC AD 从这四个条件中任选两个 能 使四边形 ABCD 成为平行四边形的选法种数共有 A 6 种 B 5 种 C 4 种 D 3 种 探究类型之二 平行四边形的性质 例 2 如图 在ABCD 中 M N 分别是 AD BC 的中点 A AND 90 连接 CM 交 DN 于点 O 1 求证 ABN CDM 2 过点 C 作 CE MN 于点 E 交 DN 于点 P 若 PE 1 1 2 求 AN 的长 探究类型之三 平行四边形的性质和判定的综合 例 3 如图 已知在ABCD 中 E F 是对角线 BD 上的两点 A BE DF EH FG 分别交 BA 和 DC 的延长线于点 G H 连接 EG FH 求证 1 BFG DEH 2 GE HF 类似性问题类似性问题 如图 ABCD 中 ABC 60 点 E F 分别在 CD 和 BC 的延长线上 A AE BD EF BC EF 则 AB 的长是 3 探究类型之四 三角形的中位线 例 4 如图 在凸四边形 ABCD 中 M 为边 AB 的中点 且 MC MD 分别 过 C D 两点 作边 BC AD 的垂线 设两条垂线的交点为 P 求证 PAD PBC 类似性问题类似性问题 如图 ABC 的周长为 26 点 D E 都在边 BC 上 ABC 的平分线垂直于 AE 垂足为 Q ACB 的平分线垂直于 AD 垂足为 P 若 BC 10 则 PQ 的 长为 A B C 3 D 4 3 2 5 2 探究类型之五 利用平移 构造平行四边形 例 5 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D AE 平分 BAC 交 CD 于 K 交 BC 于点 E 点 F 是 BE 上一点 且 BF CE 求证 FK AB 探究类型之六 有关平行四边形探究型问题 例 6 如图 在ABCD 中 DAB 60 点 E F 分别在 CD AB 的延长A 线上 且 AE AD CF CB 1 求证 四边形 AFCE 是平行四边形 2 若去掉已知条件的 DAB 60 上述的结论还成立吗 若成立 请 写出证明过程 若不成立 请说明理由 类似性问题类似性问题 如图 ABC 中 AB AC 延长 BC 至 D 使 CD BC 点 E 在 AC 上 以 CE CD 为邻边作CDFE 过点 C 作 CG AB 交 EF 于点 G 连接 BG DE A 1 ACB 与 GCD 有怎样的数量关系 请说明理由 2 求证 BCG DCE 探究类型之五 与中点有关的辅助线作法 例 7 如图 AB CD E F 分别为 BC AD 的中点 射线 BA EF 交于点 G 射线 CD EF 交于点 H 求证 BGE CHE 类似性问题类似性问题 D C B A 如图 在 ABC 中 已知 D 为 BC 边中点 FD ED 于点 D 交 AB AC 于点 F E 求证 BF CE EF 课后提升 一 填空一 填空 1 用硬纸片剪一个长为 16cm 宽为 12cm 的长方形 再沿对角线把它分成两个三角形 用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形 其中周长最大的是 cm 周长最小的 是 cm CB A CB A 12cm O 16cm E F P 第 2 题图 M O D 第 1 题图第 3 题图 D 2 如图 在矩形 ABCD 中 已知 AD 12 AB 5 P 是 AD 边上任意一点 PE BD 于点 E PF AC 于点 F 那么 PE PF 3 如图 ABCD 的对角线相交于点 O 且 AD CD 过点 O 作 OM AC 交 AD 于点 M 若 CDM 周长为 a 则 ABCD 的周长为 4 如图 已知矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O AE BD 于点 E 若 DAE BAE 3 1 则 EAC B A O E D C A B O CB A F E D C 第 6 题图第 5 题图第 4 题图 D 5 如图 以 ABC 的三边在 BC 的同一侧 分别作三个等边三角形 即 ABD BCE ACF 1 四边形 ADEF 是 第 8 题图 F D DC B A 第 16 题图 P D CB A 2 当 ABC 满足条件 时 四边形 ADEF 为矩形 3 当 ABC 满足条件 时 四边形 ADEF 不存在 6 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O AOB 的周长为 33 ABC 60o 则菱形 ABCD 的面积为 7 已知一个三角形的一边长为 2 这边上的中线为 1 另外两边之和为 则这两边之积为31 8 如图 矩形 ABCD 中 AB 8 BC 4 将矩形沿 AC 折叠 点 D 落在点 E 处 则重叠部分 AFC 的面积为 二 选择题二 选择题 9 四边形的四条边长分别是 a b c d 其中 a c 为对边 且满足 a2 b2 c2 d2 2ab 2cd 则这个四边形一定是 A 平行四边形 B 菱形 C 对角线互相垂直的四边形 D 对角线相等的四 边形 10 如图 周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形 则矩形 ABCD 的面积为 A 98 B 196 C 280 D 284 D CB A 第 10 题图 C D B A E 第 11 题图 D C B A 第 12 题图 11 如图 在矩形 ABCD 中 BC 2 AE BD 于点 E BAE 30o 那么 ECD 的面积是 A B C D 323 3 3 2 3 12 如图 四边形 ABCD 中 BAD 90o AB BC AC 6 AD 3 则 CD 的长是 32 A 4 B C D 242333 OG FD CB A D E CB A E D CB A P P BC A N M 16 如图 正方形 ABCD 外有一点 P P 在 BC 外侧 并在平行线 AB 与 CD 之间 若 PA PB PC 则 PD 1725 A B C D 52192317 3 证明及解答题证明及解答题 17 如图 在 ABC 中 BAC 90o AD BC BE AF 分别是 ABC DAC 的 平分线 BE 和 AD 相交于点 G 求证 GF AC 18 如图 等腰三角形 ABC 中 延长边 AB 到点 D 延长边 CA 到点 E 连结 DE 恰有 AD BC CE DE 求 BAC 的度数 19 如图 ABCD 中 DE AB 于点 E AB AD 1 2 M 是 BC 的中点 试判断 EMC 和 BEM 的关系