阅读与思考　为什么√2不是有理数 (2)

怎样证明是一个无理数2 是一个非常著名的无理数 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命2 的代价 后世的数学史家所说的 第一次数学危机 盖源于此 风暴过去后 唤醒的却是数学 家们对数的重新认识 实数的概念开始确立 在此意义上讲 的发现是人们对真理的追2 求 探索以致明朗的一个极好例证 换一个角度来看这个数 我们可以把它看作一根 晾衣绳 上面挂着许多有趣的方法 值得你仔细玩味 我们准备从不同的角度来证明是一个无理数 从而体会这一点 2 证法证法 1 尾数证明法尾数证明法 假设是一个有理数 即可以表示为一个分数的形式 222 b a 其中 a b 1 且 a 与 b 都是正整数 则 由于完全平方数的尾数只能是 22 2ba 2 b 0 1 4 5 6 9 中的一个 因此的尾数只能是 0 2 8 中的一个 因为 所以 2 2b 22 2ba 与的尾数都是 0 因此的尾数只能是 0 或 5 因此 a 与 b 有公因数 5 与 a b 1 矛 2 a 2 2b 2 b 盾 因此是无理数 2 这个证法可以证明被开方数的尾数是 2 3 7 8 的平方根都是无理数 证法证法 2 奇偶分析法奇偶分析法 假设 其中 a b 1 且 a 与 b 都是正整数 则 可知 a2 b a 22 2ba 是偶数 设 a 2c 则 可知 b 也是偶数 因此 a b 都是偶数 这与 a b 22 24bc 22 2cb 1 矛盾 因此是无理数 2 希帕索斯就是用这种方法证明了不是有理数 动摇了毕达哥拉斯学派的 万物皆数2 任何数都可表示成整数之比 的数学信仰 使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌 希帕索斯因此 葬身海底 证法证法 3 仿上 得到 易见 b 1 否则 b 1 则 a 是一个整数 这是不行的 22 2ba 2 改写成 因为 b 1 因此 b 有素因子 p 因此 p 整除或 a 总之 p 整除 22 2ba a a b 2 2 2 a a 因此 p 同时整除 a 与 b 这与 a b 1 矛盾 证法证法 4 仿上 得到 等式变形为 因为 b 1 因此 22 2ba 222 bababab 存在素因子 p p 整除 a b 或 a b 之一 则同时整除 a b 与 a b 因此 p 整除 a 因此 p 是 a b 的公因数 与 a b 1 矛盾 证法证法 5 利用代数基本定理 如果不考虑素因子的顺序 任何一个正整数都可以唯一地 写成素数幂的积的形式 因此 其中与 m r m rr pppa 21 21 n s n ss qqqb 21 21 m pp 1 都是素数 与都是正整数 因此 n qq 1 m rr 1 n ss 1 2 素数 2 在等式左边是偶数次幂 但在右边是奇数次幂 m r m rr ppp 22 2 2 1 21 n s n ss qqq 22 2 2 1 21 矛盾 因此是无理数 2 证法证法 6 假设 其中右边是最简分数 即在所有等于的分数中 a 是最小的正2 b a b a 整数分子 在的两边减去 ab 有 即 22 2ba abbaba 22 2 2 abbbaa 右边的分子 2b a a 这与 a 是最小的分子矛盾 因此是无理数 ba ab b a 2 22 证法证法 7 连分数法 因为 1 因此 12 12 21 1 12 将分母中的用代替 有 不断重复这 21 1 12 2 21 1 1 21 1 2 1 12 个过程 得 这是一个无限连分数 而任何有理数都可以表示为分子都2 2 1 2 1 2 1 1 是 1 分母为正整数的有限连分数 因此是无理数 2 证法证法 8 构图法 以上诸多证法的关键之处在于 证明没有正整数解 若不然 22 2ba 可以 b a 为边构造正方形 b a 因为 因此图中空白部