梅涅劳斯定理与塞瓦定理

精品文档 1欢迎下载 板块一板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理梅涅劳斯定理及其逆定理 知识导航知识导航 梅涅劳斯定理 如果一条直线与的三边 或其延长线交于 点 ABC ABBCCAFDE 那么 这条直线叫的梅氏线 叫梅氏三角形 1 AFBD CE FBDCEA ABC ABC G F E DCB A G F E DCB A H3 H2 H1 F E DCB A 证法一 如左图 过作 CCGDF DBFB DCFG ECFG AEAF 1 AFBD CEAFFBFG FBDCEAFBFGAF 证法二 如中图 过作交的延长线于AAGBD DFG AFAG FBBD BDBD DCDC CEDC EAAG 三式相乘即得 1 AFBD CEAGBDDC FBDCEABD DCAG 证法三 如右图 分别过作的垂线 分别交于 A B C DE 123 HHH 则有 123 AHBHCH 所以 312 231 1 CHAHBHAFBD CE FBDCEABHCHAH 梅涅劳斯定理的逆定理 若 分别是的三边 或其延长线的三FDEABC ABBCCA 点 如果 则 三点共线 1 AFBD CE FBDCEA FDE 梅涅劳斯定理与塞瓦定理梅涅劳斯定理与塞瓦定理梅涅劳斯定理与塞瓦定理梅涅劳斯定理与塞瓦定理 夯实基础夯实基础 例 1 如图 在中 为中线 过点任作一直线交于点 交于点 ABC ADCABFADE 求证 2 AE EDAF FB E CDB F A 解析 直线是的梅氏线 FECABD 而 即 1 AEDCBF EDBCFA 1 2 DC BC 1 1 2 AEBF EDFA 2AEAF EDBF 习题 1 在 中 是的中点 经过点的直线交于点 交的延长线于点ABCDBCDABECA 求证 F FAEA FCEB E F B D C A 解析 直线截三边于 三点 应用梅氏定理 知 又因为ABC DEF1 CD BEAF DB EA FC 所以 即 BDBC 1 BEAF EA FC FAEA FCEB 习题 2 如图 在 中 为边上的中线 ABC90ACB ACBC AMBC 于点 的延长线交于点 求 CDAM DCDABE AE EB 精品文档 3欢迎下载 D E B M C A 解析 由题设 在中 RtAMC CDAM 2ACCM 由射影定理 2 2 4 ADAD AMAC DMDM AMCM 对和截线 由梅涅劳斯定理 即 ABM EDC1 AEBCMD EB CMDA 2 1 1 1 4 AE EB 所以 2 AE EB 探索提升探索提升 例 2 如图 在中 为中点 求证 ABC DACBEEFFC 5 3 2BM MN ND N M D CFEB A 解析 直线是的梅氏线 AEBCD 1 BMDA CE MDACEB 1 2 1 2 1 BM MD 1 1 BM MD 直线是的梅氏线 AFBCD 1 BNDA CF NDACFB 1 1 1 2 2 BN ND 4 1 BN ND 5 3 2BM MN ND 习题 3 如图 在中 为的中点 求 ABC DBC 4 3 1AE EF FD AG GHAB C E F DB H G A 解析 是的梅氏线 HFCABD 1 AHBCDF HBDCFA 为的中点 DBC 4 3 1AE EF FD 2 1 BC DC 1 7 DF FA 2 1 1 1 7 AH HB 7 2 AH HB 是的梅氏线 GECABD 1 AGBCDE GBDCEA 2 1 1 1 1 AG GB 1 2 AG GB 3 4 2AG GH HB 3 4 9AG GHAB 例 3 过的重心的直线分别交 于点 交的延长线于点 ABC GABACEFCBD 求证 1 BECF EAFA D G F E CB A MD G F E CB A 解析 作直线交于 AGBCM 1 2MG GA BMMC AEBDMG EBDMGA 1 1 2 AEBD EBDM 2 EBBD AEDM 同理 2 CFDC FADM 而2BDDCBDBDBM 2 2BDBMDM 精品文档 5欢迎下载 2 1 222 BECFBDDCDM EAFADMDMDM 例 4 如图 点 分别在的边 上 与DEABC ACABAEEB 2 3 AD DC BD 交于点 求 CEF40 ABC S AEFD S F D E C B A 解析 对和截线 由梅氏定理得 即 ECA BFD1 EF CDAB FCDA BE 3 2 1 2 1 EF FC 所以 所以 1 3 EF FC 11 48 BFEBECABC SSS 进而 2111 4011 5840 AEFDABDBEFABC SSSS 习题 4 如图 在中 三个三角形面积分别为 5 8 10 四边形的面积为 求ABC AEFDx 的值 x x 10 8 5 F D E C B A 解析 对和截线 由梅氏定理得 即 解ECA BFD1 CDAB EF DA BE FC 1823 1 1 5152 x x 得 22x 备选 如图 被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分为 6 个小三角形 ABC O 其中三个小三角形的面积如图所示 求的面积 ABC 35 4030 O F E C D B A 解析 对和截线 由梅氏定理得 即 所以ABD COF1 AFBCDO FB CDOA 41 1 32 BC CD 所以 所以 3 2 BC CD 3 BC BD 33 105315 ABCABD SS 非常挑战非常挑战 例 5 如图 在中 的外角平分线与边的延长线交于点 的平分线与ABC A BCPB 边交于点 的平分线与边交于点 求证 三点共线 CAQC ABRPQR PCB Q R A 解析 是的外角平分线 则APBAC BPAB PCCA 是的平分线 则BQABC CQBC QAAB 是的平分线 则CRACB ARCA RBBC 得 1 BP CQARAB BCCA PC QA RBCAAB BC 因在上 在上 在的延长线上 RABQCAPBC 则根据梅涅劳斯定理的逆定理得 三点共线 PQR 习题 5 证明 不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点 FED C B A 精品文档 7欢迎下载 P FED C B A 解析 如图 分别为三角形的三个外角平分线 分别交于CD BE AF ABCAB AC BC D E F 过作的平行线 则 CBEBCPCBEEBDCPB 所以是等腰三角形 则 BPC PBCB 则有 CEPBCB EABABA 同理 ADAC DBCB BFBA FCAC 所以 1 CEAD BFCBACBA EA DB FCBA CBAC 所以共线 D E F 板块二板块二 塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理及其逆定理 知识导航知识导航 塞瓦定理 如果的三个顶点与一点的连线 交对边或其延长线于点 ABC PAPBPCPD 如图 那么 通常称点为的塞瓦点 EF1 BD CEAF DCEAFB PABC P FE DCB A 证明 直线 分别是 的梅氏线 FPCEPBABD ACD 1 BCDPAF CDPAFB 1 DB CEAP BCEA PD 两式相乘即可得 1 BD CEAF DCEAFB 塞瓦定理的逆定理 如果点 分别在的边 上或其延长线上 DEFABC BCCAAB 并且 那么 相交于一点 或平行 1 BD CEAF DCEAFB ADBECF F P F E DCB A F E DCB A 证明 若与相交于一点时 如图 作直线交于 ADBEPCPAB F 由塞瓦定理得 1 BD CEAF DCEA F B 又已知 1 BD CEAF DCEAFB AFAF FBF B ABAB FBF B FB F B 与重合 FF 与重合 CFCF 相交于一点 ADBECF 若与所在直线不相交 则 如图 ADBEADBE 又已知 BDEA DCAC 1 BD CEAF DCEAFB 即 1 EA CEAF ACEAFB CEFB ACAF BEFCADBEFC 说明 三线平行的情况在实际题目中很少见 探索提升探索提升 例 6 1 设是的三条中线 求证 三线共点 AXBYCZ ABC AXBYCZ Z Y X C B A 2 若为的三条内角平分线 求证 三线共AXBYCZ ABC AXBYCZ 点 精品文档 9欢迎下载 Z Y X C B A 解析 1 由条件知 BXXCYCYAZAZB 1 BXCYAZ XCYAZB 根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线共点 AXBYCZ 这个点称为这个三角形的重心 2 由三角形内角平分线定理得 BXABCYBCAZAC XCACYABAZBBC 三式分别相乘 得 1 BXCYAZABBCAC XCYAZBACABBC 根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线共点 AXBYCZ 这个点称为这个三角形的内心 习题 6 若分别为锐角的三条高线 求证 三线共点 AXBYCZ ABC AXBYCZ Z Y XC B A 解析 由得 由得 ABXCBZ BXAB BZBC BYACZA AZAC AYAB 由可得 所以 AXCBYC YCBC CXAC 1 BXAZYCABACBC BZAYCXBCABAC 根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线共点 AXBYCZ 对直角三角形 钝角三角形 同样也可以证得三条高线共点 我们把一个三角形三条 高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心 例 7 如图 为内的一点 与交于点 与交于点 若MABC BMACECMABF 通过 的中点 求证 AMBCDEFBC F D E M CB A 解析 对和点应用塞瓦定理可得 又因为 所以ABC M1 AFBD CE FBDCEA BDDC 进而 所以 1 AF CE FBEA AFAE FBEC EFBC 习题 7 如果梯形的两腰 的延长线交于 两条对角线交于 求证 直线 ABCDADBCMN 必平分梯形的两底 MN BQA N C P D M 解析 ABCD MDCM DABC 1 MDBC DA CM 由塞瓦定理得 1 MDAQBC DAQB CM 1 AQ QB AQQB DPPC AQQB DPPC 板块三板块三 梅涅劳斯定理 塞瓦定理综合梅涅劳斯定理 塞瓦定理综合 非常挑战非常挑战 备选 如图 分别为的 边上的点 且 EFABC ACAB3AEEC 3BFFA 交于点 的延长线交于点 求的值 BECFPAPBCD AP PD 精品文档 11欢迎下载 A B CD E F P 解析 为的塞瓦点 PABC 11 1 33 AFBD CEBD FBDCEADC 9 1 BD DC 9 10 BD BC 为的梅氏线 EPBACD 91 1 10 3 AP DB CEAP PD BCEAPD 10 3 AP PD 备选 如图 四边形的对边和 和分别相交