2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

2 3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 第第 1 课时课时 教学目标教学目标 一 知识与技能一 知识与技能 1 通过探究活动 理解平面向量基本定理 2 掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 理解这是应用向量 解决实际问题的重要思想方法 能够在具体问题中适当地选取基底 使其他向量都能够用 基底来表达 3 了解向量的夹角与垂直的概念 并能应用于平面向量的正交分解中 会把向量的正 交分解用于坐标表示 会用坐标表示向量 二 过程与方法二 过程与方法 1 首先通过 思考 让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运 算时所表示的新向量有什么特点 反过来 对平面内的任意向量是否都可以用形如 1e1 2e2的向量表示 2 通过教师提出问题 多让学生自己动手作图来发现规律 通过解题来总结方法 引导学生理解 化归 思想对解题的帮助 也要让学生善于用 数形结合 的思想来解决 这部分的题 3 如果条件允许 借助多媒体进行教学会有意想不到的效果 整节课的教学主线应以 学生练习为主 教师给予引导和提示 充分让学生经历分析 探究并解决实际问题的过程 这也是学习数学 领悟思想方法的最好载体 学生经历的这种实践活动越多 解决实际问 题的方法就越恰当而简捷 三 情感 态度与价值观三 情感 态度与价值观 1 在探究过程中 让学生自己动手作图来发现规律 通过解题来总结方法 培养学生 对 化归 数形结合 等数学思想的应用 2 在让学生经历分析 探究并解决实际问题的过程中 培养学生坚忍不拔的意志 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神 教学重点 难点教学重点 难点 教学重点 平面向量基本定理 向量的夹角与垂直的定义 平面向量的正交分解 平 面向量的坐标表示 教学难点 平面向量基本定理的理解与应用 教学关键 平面向量基本定理的理解 教学突破方法 通过问题设置 让学生充分练习 发现规律方法 体现学生的主体地 位 教法与学法导航教法与学法导航 教学方法 启发诱导 学习方法 在老师问题的引导下 学生要充分作图 与小组成员合作探究 发现规 律 教学准备教学准备 教师准备 多媒体 尺规 学生准备 练习本 尺规 教学过程教学过程 一 创设情境 导入新课一 创设情境 导入新课 在物理学中我们知道 力是一个向量 力的合成就是向量的加法运算 而且力是可以 分解的 任何一个大小不为零的力 都可以分解成两个不同方向的分力之和 将这种力的 分解拓展到向量中来 会产生什么样的结论呢 二 主题探究 合作交流二 主题探究 合作交流 提出问题 给定平面内任意两个不共线的非零向量 e1 e2 请你作出向量 3e1 2e2 e1 2e2 平 面内的任一向量是否都可以用形如 1e1 2e2的向量表示呢 如上左图 设 e1 e2是同一平面内两个不共线的向量 a 是这一平面内的任一向量 我们通过作图研究 a 与 e1 e2之间的关系 师生互动 如上右图 在平面内任取一点 O 作OA e1 OB e2 OC a 过点 C 作平行于直线 OB 的直线 与直线 OA 交于点 M 过点 C 作平行于直线 OA 的直线 与直 线 OB 交于点 N 由向量的线性运算性质可知 存在实数 1 2 使得 OM 1e1 ON 2e2 由于ONOMOC 所以 a 1e1 2e2 也就是说 任一向量 a 都可以表示成 1e1 2e2的形式 由上述过程可以发现 平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量 e1 e2 表示出来 当 e1 e2确定后 任意一个向量都可以由这两个向量量化 这为我们研究问题 带来极大的方便 由此可得 平面向量基本定理 如果 e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量 a 有 且只有一对实数 1 2 使 a 1e1 2e2 定理说明 1 我们把不共线的向量 e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 基底不唯一 关键是不共线 3 由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 e2的条件下进行分解 4 基底给定时 分解形式唯一 提出问题 平面内的任意两个向量之间存在夹角吗 若存在 向量的夹角与直线的夹角一样吗 对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示 师生互动 引导学生结合向量的定义和性质 思考平面内的任意两个向量之间的关系 是什么样的 结合图形来总结规律 教师通过提问来了解学生总结的情况 对回答正确的 学生进行表扬 对回答不全面的学生给予提示和鼓励 然后教师给出总结性的结论 不共 线向量存在夹角 关于向量的夹角 我们规定 已知两个非零向量 a 和 b 如图 作OA a OB b 则 AOB 0 180 叫做 向量 a 与 b 的夹角 显然 当 0 时 a 与 b 同向 当 180 时 a 与 b 反向 因此 两非 零向量的夹角在区间 0 180 内 如果 a 与 b 的夹角是 90 我们说 a 与 b 垂直 记作 a b 由平面向量的基本定理 对平面上的任意向量 a 均可以分解为不共线的两个向量 1a1和 2a2 使 a 1a1 2a2 在不共线的两个向量中 垂直是一种重要的情形 把一个向量分解为两个互相垂直的 向量 叫做把向量正交分解 如上 重力 G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解 正 交分解是向量分解中常见的一种情形 在平面上 如果选取互相垂直的向量作为基底时 会为我们研究问题带来方便 提出问题 我们知道 在平面直角坐标系中 每一个点都可用一对有序实数 即它的坐标 表 示 对直角坐标平面内的每一个向量 如何表示呢 在平面直角坐标系中 一个向量和坐标是否是一一对应的 师生互动 如图 在平面直角坐标系中 分别取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向 量 i j 作为基底 对于平面内的一个向量 a 由平面向量基本定理可知 有且只有一对实 数 x y 使得 a xi yj 这样 平面内的任一向量 a 都可由 x y 唯一确定 我们把有序数对 x y 叫做向量 a 的 坐标 记作 a x y 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标 y 叫做 a 在 y 轴上的坐标 式叫做向量的坐标表 示 显然 i 1 0 j 0 1 0 0 0 教师应引导学生特别注意以下几点 1 向量 a 与有序实数对 x y 一一对应 2 向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点 终点的具体位置没有关系 只 与其相对位置有关系 如图所示 11B A是表示 a 的有向线段 A1 B1的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则向量 a 的坐标为 x x2 x1 y y2 y1 即 a 的坐标为 x2 x1 y2 y1 3 为简化处理问题的过程 把坐标原点作为表示向量 a 的有向线段的起点 这时向量 a 的坐标就由表示向量 a 的有向线段的终点唯一确定了 即点 A 的坐标就是向量 a 的坐标 流程表示如下 三 拓展创新 应用提高三 拓展创新 应用提高 例例 1 已知向量 e1 e2 如右图 求作向量 2 5e1 3e2 作法 1 如图 任取一点 O 作OA 2 5e1 OB 3e2 2 作OACB 故OC就是求作的向量 例 2 如下图 分别用基底 j 表示向量 a b c d 并求出它们的坐标 活动 本例要求用基底 i j 表示 a b c d 其关键是 把 a b c d 表示为基底 i j 的线性组合 一种方法是把 a 正交分解 看 a 在 x 轴 y 轴上的分向量的大小 把向 量 a 用 i j 表示出来 进而得到向量 a 的坐标 另一种方法 是把向量 a 移到坐标原点 则向量 a 终点的坐标就是向 量 a 的坐标 同样的方法 可以得到向量 b c d 的坐标 另外 本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系 a 与 b 关 于 y 轴对称 a 与 c 关于坐标原点中心对称 a 与 d 关于x 轴 对称等 由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标 解 由图可知 a 1 AA 2 AA 2i 3j a 2 3 同理 b 2i 3j 2 3 c 2i 3j 2 3 d 2i 3j 2 3 点评 本例还可以得到启示 要充分运用图形之间的几何关系 求向量的坐标 四 小结四 小结 1 先由学生回顾本节学习的数学知识 平面向量的基本定理 向量的夹角与垂直的定 义 平面向量的正交分解 平面向量的坐标表示 2 教师与学生一起总结本节学习的数学方法 如待定系数法 定义法 归纳与类比 数形结合 五 课堂作业五 课堂作业 1 如图所示 已知AP 3 4 AB AQ 3 1 AB 用OA OB表示OP 则OP等 于 A 3 1 OA 3 4 OB B 3 1 OA 3 4 OB C 3 1 OA 3 4 OB D 3 1 OA 3 4 OB 2 已知 e1 e2是两非零向量 且 e1 m e2 n 若 c 1e1 2e2 1 2 R 则 c 的 最大值为 A 1m 2n B 1n 2m C 1 m 2 n D 1 n 2 m 3 已知 G1 G2分别为 A1B1C1与 A2B2C2的重心 且 12 A A e1 12 B B e2 12 C C e3 则 12 G G 等于 A 2 1 e1 e2 e3 B 3 1 e1 e2 e3 C 3 2 e1 e2 e3 D 3 1 e1 e2 e3 4 O 是平面上一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足OP OA AC AC AB AB 0 则 P 的轨迹一定通过 ABC 的 A 外心 B 内心