求圆锥曲线离心率的几种方法

有这么一个故事 离心率 经典的 不会那么容易过时 1 关于椭圆离心率关于椭圆离心率 设椭圆的左 右焦点分别为 如果 x a y b ab 2 2 2 2 10 FF 12 椭圆上存在点 P 使 求离心率 e 的取值范围 F PF 12 90 解法解法 1 1 利用曲线范围 利用曲线范围 设 P x y 又知 则FcFc 12 00 F PxcyF Pxcy F PFF PF P F P F P xc xcy xyc 12 1212 12 2 222 90 0 0 由 知 则 即 得 将这个方程与椭圆方程联立 消去 y 可解得 x a ca b ab F PF xa a ca b ab a 2 2222 22 12 22 2222 22 2 90 0 0 但由椭圆范围及 知 即 可得 即 且 从而得 且 所以 cbcacca e c a e c a e 2222222 2 2 1 2 2 1 解法解法 2 2 利用二次方程有实根 利用二次方程有实根 由椭圆定义知 PFPFaPFPFPFPFa 121 2 2 2 12 2 224 有这么一个故事 离心率 经典的 不会那么容易过时 2 又由 知 则可得 这样 与是方程的两个实根 因此 F PF PFPFF Fc PFPFac PFPFuauac 12 1 2 2 2 12 22 12 22 12 222 90 4 2 220 480 1 2 2 2 222 2 2 2 aac e c a e 因此 e 2 2 1 解法解法 3 3 利用三角函数有界性 利用三角函数有界性 记 PF FPF F 1221 由正弦定理有 sin sin sin sinsin sinsin sincoscos PFPFF F PFPF F F PFPFaF Fc e c a 1212 12 12 1212 90 22 11 2 22 1 2 2 又 则有 而 知 从而可得 090 0 2 45 2 22 1 2 2 1 cos e 有这么一个故事 离心率 经典的 不会那么容易过时 3 解法解法 4 4 利用焦半径 利用焦半径 由焦半径公式得 PFaexPFaex PFPFF F acxe xacxe xc ae xcx ca e Pxyxaxa 12 1 2 2 2 12 2 2222222 22222 22 2 22 224 2 2 0 又由 所以有 即 又点 在椭圆上 且 则知 即 0 2 2 2 1 22 2 2 ca e a e得 解法解法 5 5 利用基本不等式 利用基本不等式 由椭圆定义 有 平方后得2 12 aPFPF 42228 2 1 2 2 2 121 2 2 2 12 22 aPFPFPFPFPFPFF Fc 得 c a 2 2 1 2 所以有 e 2 2 1 解法解法 6 6 巧用图形的几何特性 巧用图形的几何特性 由 知点 P 在以为直径的圆上 F PF 12 90 F Fc 12 2 又点 P 在椭圆上 因此该圆与椭圆有公共点 P 故有cbcbac 2222 由此可得 e 2 2 1 有这么一个故事 离心率 经典的 不会那么容易过时 4 演练 一 直接求出ac 或求出a a与b b的比值 以求解e 在椭圆中 a c e 2 2 2 22 2 2 1 a b a ba a c a c e 1 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 则椭圆的离心率等于 2 已知椭圆两条准线间的距离是焦距的 2 倍 则其离心率为 3 若椭圆经过原点 且焦点为 0 3 0 1 21 FF 则椭圆的离心率为 4 已知矩形ABCD AB 4 BC 3 则以A B为焦点 且过C D两点 的椭圆的离心率为 5 若椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 短轴端点为P满足 21 PFPF 则 椭圆的离心率为 e 6 已知 0 0 1 21 nm nm 则当 mn 取得最小值时 椭圆 1 2 2 2 2 n y m x 的的离心率为 7 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的焦点为 1 F 2 F 两条准线与x轴的 交点分别为MN 若 12 MNFF 则该椭圆离心率的取值范 围是 8 已知F1为椭圆的左焦点 A B分别为椭圆的右顶点和上顶点 P为椭 圆上的点 当PF1 F1A PO AB O为椭圆中心 时 椭圆的离心率为 有这么一个故事 离心率 经典的 不会那么容易过时 5 9 P是椭圆 2 2 a x 2 2 b y 1 a b 0 上一点 21 FF 是椭圆的左右焦点 已 知 2 1221 FPFFPF 3 21 PFF椭圆的离心率为 e 10 已知 21 FF 是椭圆的两个焦点 P 是椭圆上一点 若 75 15 1221 FPFFPF 则椭圆的离心率为 11 在给定椭圆中 过焦点且垂直于长轴的弦长为2 焦点到相应准 线的距离为 1 则该椭圆的离心率为 二 构造ac 的齐次式 解出e 1 已知椭圆的焦距 短轴长 长轴长成等差数列 则椭圆的离心率是 2 以椭圆的右焦点 F2为圆心作圆 使该圆过椭圆的中心并且与椭圆 交于 M N 两点 椭圆的左焦点为 F1 直线 MF1与圆相切 则椭圆 的离心率是 3 以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆 使该圆过椭圆的中心 O 并且 与椭圆交于 M N 两点 如果 MF MO 则椭圆的离心率是 4 设椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆 于点 P 若 F1PF2为等腰直角三角形 则椭圆的离心率是 5 已知 F1 F2是椭圆的两个焦点 过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交 椭圆于 A B 两点 若 ABF2是正三角形 则这个椭圆的离心率是 三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形 1 已知 1 F 2 F是椭圆的两个焦点 满足 12 0MF MF 的点M总在 椭圆内部 则椭圆离心率的取值范围是 有这么一个故事 离心率 经典的 不会那么容易过时 6 2 已知 21 FF 是椭圆的两个焦点 P 是椭圆上一点 且 90 21 PFF 椭圆离心率 e 的取值范围为 3 已知 21 FF 是椭圆的两个焦点 P 是椭圆上一点 且 60 21 PFF 椭圆离心率 e 的取值范围为 4 设椭圆1 2 2 2 2 b y a x a b 0 的两焦点为 F1 F2 若椭圆上存在一 点 Q 使 F1QF2 120 椭圆离心率 e 的取值范围为