四川省达州市开江县2015年中考数学一模试卷含答案解析

第 1页（共 34 页） 2015 年四川省达州市开江县中考数学一模试卷 一、选择题（本题 10 个小题，每小题 3 分，共计 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 的倒数为（ ） A 6 B C 6 D 2为改善居民生活环境及投资环境，县政府通过讨论决定：由政府投入一亿二千万元对污水处理厂的处理进行全面改造升级，使生活、工业生产 污水达到排放标准，其中一亿二千万元用科学记数法表示为（ ） A 09 元 B 08 元 C 07 元 D 08 元 3下列算式中，正确的是（ ） A（ 2=B a C D（ 2= 某特警部队为了选拔 “神枪手 ”，举行了 1000 米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶 10 次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是 ， 甲的方差是 的方差是 下列说法中，正确的是（ ） A甲的成绩比乙的成绩稳定 B乙的成绩比甲的成绩稳定 C甲、乙两人成绩的稳定性相同 D无法确定谁的成绩更稳定 5一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶下面是汽车行驶路程 S（千米）关于时间 t（小时）的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图象是（ ） 2页（共 34 页） A B C D 6如图，菱形 ， E 是 中点，将 叠后，点 恰好重合，若菱形 面积为 4 ，则菱形 周长是（ ） A 8 B 16 C 8 D 16 7如图，是二次函数 y=bx+c（ a0）的图象的一部分，则关于 x 的一元二次方程 bx+c=0（ a0）的解 值分别是（ ） A 2， 1 B 3， 1 C 1， 1 D不能确定 8 “某市为处理污水，需要铺设一条长为 4000 米的管 道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时 设原计划每天铺设管道 x 米，则可得方程 ”根据此情境，题中用 “”表示得缺失的条件，应补为（ ） A每天比原计划多铺设 10 米，结果延期 20 天才完成任务 B每天比原计划少铺设 10 米，结果延期 20 天才完成任务 C每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 20 天完成任务 D每天比原计划少铺设 10 米，结果提前 20 天完成任务 3页（共 34 页） 9如 图，把 在平面直角坐标系内，其中 0， 0，点 A、 2， 0），（ 8， 0），将 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x 4 上时，线段 过的面积为（ ） A 8 B 16 C 16 D 32 10如图，在等腰直角 ， 0，点 O 为斜边 D、 E 分别在直角边 C 上，且 0， 点 P，则下列结论： 图中全等三角形有三对； 面积等于四边形 积的 倍； E=2 C 正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（本题 6 个小题，每小题 3 分，共 18分） 11分解因式： 4y= 12四张完全相同的卡片上， 分别画有线段、等边三角形、平行四边形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是 4页（共 34 页） 13如图， O 的直径，弦 0， 图中阴影部分的面积 S 阴影 = 14如果实数 x， y 满足 y= x 1，那么 22 的值为 15若对于实数 a， b，规定 a*b= ，例如： 2*3，因 2 3，所以 2*3=23 22=2若方程 2x 3=0 的两根，则 x1* 16如图，在一单位为 1 的方格纸上， ，都是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2， 4， 6， 的等腰直角三角形若 顶点坐标分别为 2， 0）， 1， 1）， 0， 0），则依 图中所示规律， 坐标为 三、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（本题 2个小题，共 12分） 17计算：（ ） 1（ ） 0+ |3 | 5页（共 34 页） 18某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树 高度（如图所示），当这棵树顶点 D 的影子刚好落在旗台的台阶下 点 C 处时，他们测得此时树顶点 D 的仰角为 60；当点D 的影子刚好落在台阶上点 顶点 D 的仰角为 30，台阶坡度为 ： 3，台阶高度 米，点 B、 C、 E 在同一水平线上，求树高 角仪高度忽略不计） 四、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（本题 2个小题，共 14分） 19先化简，再求值：（ +1） + ，其中 m 的取值满足方程： 2016m+2015=0 20某校为了践行 “每天锻炼 1 小时，幸福生活一辈子 ”的理念，决定开设以下体育课间活动，活动项目为： A、篮球， B、乒乓球， C、羽毛球， D、足球；为了解学生最喜欢哪种活动项目，随机抽取了该校 8%的学生进行调查，现将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （ 1）这次被调查的学生共有 人，请将图 2 的条形统计图补充完整； （ 2）学校共有 人； （ 3）为了迎接县上的艺体节比赛， 决定从平行的训练中表现优秀的甲、乙、丙、丁四人中任选两名参加县上的比赛，求恰好选中乙、丙两位同学的概率（用树状图或列表解答） 6页（共 34 页） 五、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（本题 2个小题，共 17分） 21如图，已知四边形 矩形， O 为坐标原点，点 0， 6），点 C 的坐标为（ 8，0），点 P 是线段 一动点，已知点 D 是直线 位于第一象限的任意一点，直线 x 轴交于点 E（ 3， 0）； （ 1）求直线 关系式 ； （ 2）连接 P、 0时，求图象经过点 D 的反比例函数的关系式； （ 3）若将直线 右科移 6 个单位后，在该直线上是否存在一点 D，使 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由 22阅读材料，解答问题： 为了解方程（ 1） 2 5（ 1） +4=0，如果我们把 1 看作一个整体，然后设 1=y，则原方程可化为 5y+4=0，易得 ， 当 y=1 时，即： 1=1， x= ； 当 y=4 时，即： 1=4， x= ， 综上所求，原方程的解为： ， ， ， 我们把以上这种解决问题的方法通常叫换元法，这种方 法它体现了数学中复杂问题简单化、把未知化成已知的转化思想；请根据这种思想完成： （ 1）直接应用：解方程 6=0 （ 2）间接应用：已知实数 m， n 满足： 7m+2=0， 7n+2=0，则 + 的值是 A. B. C. 或 2 D. 或 2 （ 3）拓展应用：已知实数 x， y 满足： =3， y4+，求 + 7页（共 34 页） 六、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（本题 2个小题，共 17分） 23重庆市奉节县以盛产脐橙而闻名，春节期间，达州市一水果批发经销商为满足市 场需要，安排15 辆汽车到奉节县装运 A、 B、 C 三种不同品质的脐橙 120 吨到达州销售，按计划 15 辆汽车都要装满县每辆汽车只能装同一种品质的脐橙，每种脐橙所用车辆都不少于 3 辆 （ 1）设装运 x 辆，装运 y 辆，根据下表提供的信息，求出 y与 x 之间的函数关系式； 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载（吨） 10 8 6 每吨脐橙所获利润（元） 600 1000 800 （ 2）在（ 1）条件下，求出该函数自变量 x 的取值范围，车辆的安排方案共有几种？请写出每种安排方案； （ 3）为了减少脐橙 积压，奉节县政府制定出台了促进脐橙销售的优惠政策，在外地运销客户原有获利不变的情况下，政府对外地运销商按每吨 60 元的标准实行运费补贴若外地运销商要想所获利润W（元）最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润 W（元）的最大值？ 24（ 1）如图 1，在正方形 ， E 是 F 是 长线上一点，且 E求证：F； 分析：由 F， 0， D 可得 而 F （ 2）如图 2，在正方形 ， E 是 一点， G 是 一点，如果 5，请你利用（ 1）的思路证明： E+ （ 3）运用（ 1）、（ 2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 3，在四边形 ， B=90， C， E 是 5， 0，求四边形 面积 8页（共 34 页） 六、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（本题 12分） 25如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、 3， 0），与 y 轴交于 C（ 0， 3）点，点 P 是直线 方的抛物线上一动点 （ 1）求这个二次函数的表达式 （ 2）连接 把 折，得到四边形 ，那么是否存在点 P，使四边形 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 9页（共 34 页） 2015 年四川省达州市开江 县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题 10 个小题，每小题 3 分，共计 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 的倒数为（ ） A 6 B C 6 D 【考点】 倒数 【分析】 根据倒数的定义作答 【解答】 解：因为 （ 6） =1， 所 以 的倒数为 6 故选 A 【点评】 本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 2为改善居民生活环境及投资环境，县政府通过讨论决定：由政府投入一亿二千万元对污水处理厂的处理进行全面改造升级，使生活、工业生产污水达到排放标准，其中一亿二千万元用科学记数法表示为（ ） A 09 元 B 08 元 C 07 元 D 08 元 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表 示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解：将一亿二千万元用科学记数法表示为 08 元 故选 B 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 10 页（共 34 页） 3下列算式中，正确的是（ ） A（ 2= a C D（ 2= 考点】 整式的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘同底数幂的除法，法则为：底数不变，指数相减 a p= 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 【解答】 解： A、（ 2=本选项正确； B、 a3=1 a）；故本选项错误； C、 =a（ 2 1 1） =；故本选项错误； D、（ 2=（ 1） 2=本选项错误 故选 A 【点评】 本题考查了整式的混合运算关于整式乘除法的法则和一些相关的知识点需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错 4某特警部队为了选拔 “神枪手 ”，举行了 1000 米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶 10 次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是 ，甲的方差是 的方差是 下列说法中，正确的是（ ） A甲的成 绩比乙的成绩稳定 B乙的成绩比甲的成绩稳定 C甲、乙两人成绩的稳定性相同 D无法确定谁的成绩更稳定 【考点】 方差 【分析】 根据方差的意义可作出判断方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 【解答】 解： 甲的方差是 的方差是 S 甲 2 S 乙 2， 乙的成绩比甲的成绩稳定； 故选 B 11 页（共 34 页） 【点评】 本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不 稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 5一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶下面是汽车行驶路程 S（千米）关于时间 t（小时）的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图象是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 行程问题 【分析】 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论 【解答】 解：通过分析题意可知，行走规律是：匀速走停匀速走，速度是前慢后快所以图象是 【点评】 主要考查了函数图象的读图能力 6如图，菱形 ， E 是 中点，将 叠后，点 恰好 重合，若菱形 面积为 4 ，则菱形 周长是（ ） A 8 B 16 C 8 D 16 【考点】 菱形的性质；翻折变换（折叠问题） 12 页（共 34 页） 【分析】 先证明 等边三 角形，根据锐角三角函数得出 菱形的面积求出 可得出周长 【解答】 解： 四边形 菱形， D， 又 C， D= 即 等边三角形， D=60， D 菱形 面积 =E= ， ， 菱形 周长为 2 4=8 ； 故选： A 【点评】 本题考查了菱形的性质、翻折变换以及锐角三角函数的运用；证明 等边三角形，根据面积求出边长是解决问题的关键 7如图，是二次函数 y=bx+c（ a0）的图象的一部分，则关于 x 的一元二次方程 bx+c=0（ a0）的解 值 分别是（ ） A 2， 1 B 3， 1 C 1， 1 D不能确定 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 根据二次函数 y=bx+c 图象的一部分可知该抛物线的对称轴是 x= 1，然后由抛物线的对称性求得该图象与 x 轴的另一个交点，即方程 bx+c=0 的另一个解 【解答】 解：根据图示知，抛物线 y=bx+c 图象的对称轴是 x= 1，与 x 轴的一个交点坐标为（ 1，0）， 根据抛物线的对称性知，抛物线 y=bx+c 图象与 x 轴的两个交点 关于直线 x= 1 对称，即 13 页（共 34 页） 抛物线 y=bx+c 图象与 x 轴的另一个交点与（ 1， 0）关于直线 x= 1 对称， 另一个交点的坐标为（ 3， 0）， 方程 bx+c=0 的另一个解是 x= 3； 方程 bx+c=0 的两根分别为： 1， 3 故选 B 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点解该题时，充分利用了抛物线的对称性 8 “某市为处理污水，需要铺设一条长为 4000 米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时 设原计划每天铺设管道 x 米，则可得方程 ”根据此情境，题中用 “”表示得缺失的条件，应补为（ ） A每天比原计划多铺设 10 米，结果延期 20 天才完成任务 B每天比原计划少铺设 10 米，结果延期 20 天才完成任务 C每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 20 天完成任务 D每天比原计划少铺设 10 米，结果提前 20 天完成任务 【考点】 由实际问题抽象出分式方程 【专题】 应用题 【分析】 工作时间 =工作总量 工作效率那么 4000x 表示原来的工作时间，那么 4000（ x+10）就表示现在的工作时间， 20 就代表原计划比现在多的时间 【解答】 解：原计划每天铺设管道 x 米，那么 x+10 就应该是实际每天比原计划多铺了 10 米， 而用 则表示用原计划的时间实际用的时间 =20 天， 那么就说明每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 20 天完成任务 故选 C 【点评】 本题是根据方程来判断缺失的条件，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断 9如 图，把 在平面直角坐标系内，其中 0， 0，点 A、 2， 0），（ 8， 0），将 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x 4 上时，线段 过的面积为（ ） 14 页（共 34 页） A 8 B 16 C 16 D 32 【考点】 一次函数图象与几何变换 【分析】 首先根据题意作出图形，则可得线段 过的面积应为平行四 边形 的面积，其高是 长，底是点 C 平移的路程则可由勾股定理求得 长，由点与一次函数的关系，求得A的坐标，即可求得 值，继而求得答案 【解答】 解： 点 A、 2， 0）、（ 8， 0）， 0， 0， =8 AC=8 点 C在直线 y=2x 4 上， 2x 4=8，解得： x=6 即 6 2=4， S=48=32， 即线段 过的面积为 32 故选 D 【点评】 此题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用 15 页（共 34 页） 10如图，在等腰直角 ， 0，点 O 为斜边 D、 E 分别在直角边 C 上，且 0， 点 P，则下列结论： 图中全等三角形有三对； 面积等于四边形 积的 倍； E=2 C 正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 【分析】 结论（ 1）正确因为图中全等的三角形有 3 对； 结论（ 2）错误由全等三角形的性质可以判断； 结论（ 3）正确利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断 结论（ 4）正确利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断 【解答】 解：结论（ 1）错误理由如下： 图中全等的三角形有 3 对，分别为 由等腰直角三角形的性质，可知 C=得 在 ， 同理可证： 结论（ 2）错误理由如下： S 16 页（共 34 页） S 四边形 即 面积等于四边形 面积的 2 倍 结论（ 3）正确，理由如下： D， E=D= （ E） 2=E=E=2 结论（ 4）正确，理由如下： E； D 在 ，由勾股定理得： E， 又 等腰直角三角形， 5 5， = ， 即 C= C， C 综上所述，正确的结论有 3 个， 故选： C 【点评】 本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点难点在于结论（ 4）的判断，其中对于 “C”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题 二、填空题（本题 6 个小题，每小题 3 分，共 18分） 17 页（共 34 页） 11分解因式： 4y= y（ a+2）（ a 2） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 先提取公因式 y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】 解： 4y， =y（ 4）， =y（ a+2）（ a 2） 故答案为： y（ a+2）（ a 2） 【点评】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 12四张完全相同的卡片上，分别画有线段、等边三角形、平行四边形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是 【考点】 概率公式；中心对称图形 【分析】 由线段、等边三角形、平行四边形、 圆中是中心对称图形的有线段、平行四边形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解： 线段、等边三角形、平行四边形、圆中是中心对称图形的有线段、平行四边形、圆， 现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是： 故答案为： 【点评】 此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 13如图， O 的直径，弦 0， 图中阴影部分的面积 S 阴影 = 【考点】 扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理 18 页（共 34 页） 【分析】 根据垂径定理求得 D=2 ，然后通过解直角三角形求得线段 长度，最后将相关线段的长度代入 S 阴影 =S 扇形 S 【解答】 解：如图 O 的 直径，弦 D=2 ， 0， E2 =2， ， S 阴影 =S 扇形 S D+ C= 22 + 22 = 故答案为 【点评】 本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键 14如果实数 x， y 满足 y= x 1，那么 22 的值为 1 【考点】 因式分解的应用 【分析】 由 y= x 1，得出 x 3y=3，再进一步利用提取公因式法和完全平方公式因式分解，整体代入求得答案即可 【解答】 解： y= x 1， x 3y=3， 22 = （ 6 2 = （ x 3y） 2 2 =3 2 19 页（共 34 页） =1 故答案为： 1 【点评】 此题考查因式分解的实际运用，利用提取公因式法和完全平方公式因式分解，整体代入是解决问题的关键 15若对于实数 a， b，规定 a*b= ，例如： 2*3，因 2 3，所以 2*3=23 22=2若方程 2x 3=0 的两根，则 x1*12 或 4 【考点】 解一元二次方程 【专题】 新定义 【分析】 首先解出方程 2x 3=0 的两根，然后根据新定义解答即可 【解答】 解： 方程 2x 3=0， （ x 3）（ x+1） =0， x=3 或 1， 当 ， 1 时， x1*x2=+3=12， 当 1， 时， x1*x2= 3 1= 4， 故答案为 12 或 4 【点评】 本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握题干新定义以及因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大 16如图，在一单位为 1 的方格纸上， ，都是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2， 4， 6， 的等腰直角三角形若 顶点坐标分别为 2， 0）， 1， 1）， 0， 0），则依图中所示规律， 坐标为 （ 2， 1006） 20 页（共 34 页） 【考点】 等腰直角三角形；点的坐标 【专题】 压轴题；规律型 【分析】 由于 2012 是 4 的倍数，故 每 4 个为一组，可见， x 轴上方，横坐标为 2，再根据纵坐标变化找到规律即可解答 【解答】 解： 2012 是 4 的倍数， 每 4 个为一组， 20124=5030 x 轴上方，横坐标为 2， 纵坐标分别为 2， 4， 6， 纵坐标为 2012 =1006 故答案为：（ 2， 1006） 【点评】 本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答 三、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（本题 2个小题，共 12分） 17计算：（ ） 1（ ） 0+ |3 | 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】 计算题 【分析】 原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 【解答】 解：原式 = 2 1+ 3 +3= 2 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 21 页（共 34 页） 18某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校 园内一棵树 高度（如图所示），当这棵树顶点 D 的影子刚好落在旗台的台阶下点 C 处时，他们测得此时树顶点 D 的仰角为 60；当点D 的影子刚好落在台阶上点 顶点 D 的仰角为 30，台阶坡度为 ： 3，台阶高度 米，点 B、 C、 E 在同一水平线上，求树高 角仪高度忽略不计） 【考点】 解直角三角形的应用 直角三角形的应用 【分析】 作 P，设树高 h 米 ，在 ，根据 ，在 ， ，分别求出 根据 ，求出 后根据 P 入计算即可得出答案 【解答】 解：作 P，设树高 h 米，在 ， = ， 则 ， 在 ， = ， 则 ， = ， ， ， P 2 = ， h=4， 树高 4 米 22 页（共 34 页） 【点评】 此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是仰角、特殊角的三角函数值，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 四、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（本题 2个小题， 共 14分） 19先化简，再求值：（ +1） + ，其中 m 的取值满足方程： 2016m+2015=0 【考点】 分式的化简求值；解一元二次方程 【专题】 计算题 【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到 m 的值，代入计算即可求出值 【解答】 解：原式 = = ， 方程 2016m+2015=0，变形得：（ m 1）（ m 2015） =0， 解得： m=1（舍去）或 m=2015， 则原式 = 【点评】 此题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20某校为了践行 “每天锻炼 1 小时，幸福生活一辈子 ”的理念，决定开设以下体育课间活动，活动项目为： A、篮球， B、乒乓球， C、羽毛球， D、足球；为了解学生最喜欢哪种活动项目，随机抽取了该校 8%的学生进行调查，现将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （ 1）这次被调查的学生共有 200 人，请将图 2 的条形统计图补充完整； （ 2）学校共有 2500 人； （ 3）为了迎接县上的艺体节比赛，决定从平行的训练中表现优秀的甲、乙、丙、丁四人中任选两名参加县上的比赛，求恰好选中乙、丙两位同学的概率（用树状图或列表解答） 23 页（共 34 页） 【考点】 列表法与树状图法；扇形统计图 ；条形统计图 【分析】 （ 1）由圆心角为 36，可求得占的百分比，又由喜欢篮球的有 20 人，即可求得这次被调查的学生数； （ 2）由随机抽取了该校 8%的学生进行调查，可求得学校总人数； （ 3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中乙、丙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：（ 1） 圆心角为 36， 36 360=10%， 喜欢篮球的有 20 人， 被调查的学生共有： 2010%=200（人）， 故答案为： 200； （ 2） 2008%=2500（人）； 故答 案为： 2500； （ 3）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，恰好选中乙、丙两位同学的有 2 种情况， 恰好选中乙、丙两位同学的概率为： = 24 页（共 34 页） 【点评】 此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图与扇形统计图用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 五、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（本题 2个小题 ，共 17分） 21如图，已知四边形 矩形， O 为坐标原点，点 0， 6），点 C 的坐标为（ 8，0），点 P 是线段 一动点，已知点 D 是直线 位于第一象限的任意一点，直线 x 轴交于点 E（ 3， 0）； （ 1）求直线 关系式； （ 2）连接 P、 0时，求图象经过点 D 的反比例函数的关系式； （ 3）若将直线 右科移 6 个单位后，在该直线上是否存在一点 D，使 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由 【考点】 一次函数综合题 【分析】 （ 1）设出直线解析式后将点 的坐标代入组成方程组，解答即可； （ 2）如图 1 所示，作 y 轴于 E 点，作 y 轴于 F 点，可得 0，再由三角形等腰直角三角形，得到 P，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用 到三角形 三角形 等，由全等三角形的对应边相等得到 F，由 A 求出 长，即为 D 的纵坐标，代入直线解析式求出 D 的横坐标，即可确定出 D 的坐标； （ 3）存在点 D，使 等腰直角三角形，理由为：利用平移规律求出 y=2x+6 向右平移后的解析式，分三种情况考虑：如图 2 所示，当 0时， D，设 D 点坐标为（ x， 2x 6），利用三角形全等得到 x+6（ 2x 6） =8，得 x=4，易得 D 点坐标；如图 3 所示，当 0时， D，设点 P 的坐标为（ 8， m），表示出 D 点坐标为（ 14 m， m+8），列出关于 m 的方程，求出 m 的值，即可确定出 D 点坐标；如图 4 所示，当 0时， D 时，同理求出 D 的坐标，综上，得到所有满足题意 D 得坐标 【解答】 解：（ 1） 设直线 y=b， 点 A（ 0， 6）， E（ 3， 0）在直线 ， 25 页（共 34 页） ， ， 直线 解析式是： y=2x+6， （ 2）如图 1 所示，作 y 轴于 E 点，作 y 轴于 F 点，可得 0， 等腰直角三角形， P， 0， 0， 0， 在 ， ， F=8， A+4， 设点 D 的横坐标为 x，由 14=2x+6，得 x=4， 点 D 的坐标是（ 4， 14）； 设过点 D 的反比例函数的关系式为： ，则 44=56， 反比例函数的关系式为： ； （ 3）存在点 D，使 等腰直角 三角形，理由为： 直线 y=2x+6 向右平移 6 个单位后的解析式为 y=2（ x 6） +6=2x 6， 如图 2 所示，当 0时， D，易得 D 点坐标（ 4， 2）； 如图 3 所示，当 0时， D，设点 P 的坐标为（ 8， m）， 则 D 点坐标为（ 14 m， m+8），由 m+8=2（ 14 m） 6，得 m= ， D 点坐标（ ， ）； 26 页（共 34 页） 如图 4 所 示，当 0时， D 时，同理可求得 D 点坐标（ ， ）， 综上，符合条件的点 D 存在，坐标分别为（ 4， 2），（ ， ），（ ， ） 【点评】 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平移规律，利用了分类讨论及数形结合的思想，本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏 22阅读材料，解答问题： 为了解方程（ 1） 2 5（ 1） +4=0，如果我们把 1 看作一个整体，然后设 1=y，则原方程可化为 5y+4=0，易得 ， 当 y=1 时，即： 1=1， x= ； 当 y=4 时，即： 1=4， x= ， 综上所求，原方程的解为： ， ， ， 我们把以上这种解决问题的方法通常叫换元法，这种方法它体现了数学中复杂问题简单化、把未知化成 已知的转化思想；请根据这种思想完成： （ 1）直接应用：解方程 6=0 （ 2）间接应用：已知实数 m， n 满足： 7m+2=0， 7n+2=0，则 + 的值是 D 27 页（共 34 页） A. B. C. 或 2 D. 或 2 （ 3）拓展应用：已知实数 x， y 满足： =3， y4+，求 + 【考点】 换元法解一元二次方程；根与系数的关系 【专题】 阅读型 【分析】 （ 1）先设 y=原方程变形为 y 6=0，运用因式分解法解得 2， ，再把y= 2 和 3 分别代入 y=到关于 x 的一元二次方 程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解 （ 2）此题应分情况计算当 m=n 时，则原式 =2；当 mn 时，则 m， n 是方程 7x+2=0 的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解 （ 3）根据题意得到 、 方程 t2+t=3 的两个根，通过解该方程可以得到 t 的值，即可易求 、值，然后代入求值 【解答】 解：（ 1）设 y=原方程变为： y 6=0 分解因式，得（ y 3）（ y+2） =0， 解得， 2， ， 当 y= 2 时， 2， =0， =0 42 0，此方程无实数解； 当 y=3 时， ，解得 ， ， 所以原方程的解为 ， （ 2）当 m=n 时，则原式 =1+1=2； 当 mn 时，则 m， n 是方程 7x+2=0 的两个不相等的根， m+n=7， 原式 = = = 综上所述，原式的值是 2 或 故选： D； （ 3）由题意： =（ ） 2+（ ） =3，（ 2+， 28 页（共 34 页） 可知： ， 方程 t2+t=3 的根， 解得 t= 0， 0， = ， ， + ） 2+（ 2=（