恒成立、能成立、存在数学题

恒成立 能成立 恰成立 任意与存在恒成立 能成立 恰成立 任意与存在 一 知识归纳 一 知识归纳 1 1 恒成立问题 恒成立问题 若不等式若不等式在区间在区间上恒成立上恒成立 则等价于在区间则等价于在区间上上 f xA DD minf xA 若不等式若不等式在区间在区间上恒成立上恒成立 则等价于在区间则等价于在区间上上 f xB DD maxf xB 2 2 能成立问题 有解问题 存在性问题 能成立问题 有解问题 存在性问题 若在区间若在区间上存在实数上存在实数 x x 使不等式使不等式成立成立 即即在在 D D 上有解上有解 D f xA Axf 则等价于在区间则等价于在区间上上 D maxf xA 若在区间若在区间上存在实数上存在实数 x x 使不等式使不等式成立 即成立 即在在 D D 上有上有D f xB Axf 解 解 则等价于在区间则等价于在区间上的上的 D minf xB 对于对于 有解有解Dx xfa Dxxfa 3 3 恰成立问题恰成立问题 若不等式若不等式在区间在区间上恰成立上恰成立 则等价于不等式则等价于不等式的解集的解集 f xA D f xA 为为 D 若不等式若不等式在区间在区间上恰成立上恰成立 则等价于不等式则等价于不等式的解集的解集 f xB D f xB 为为 D 4 4 任意与存在任意与存在 设函数设函数的定义域为的定义域为 A A 值域为值域为 B B 的定义域为的定义域为 C C 值域为值域为 D D xf xg 对任意的对任意的都有都有成立成立 则则 Ax 1 1 xfa Ba 对任意的对任意的 均有均有 则则Ax 1 Cx 2 21 xgxf minmax xgxf 对任意的对任意的 存在存在 均有均有 则则Ax 1 Cx 2 21 xgxf maxmax xgxf 对任意的对任意的 存在存在 均有均有 则则Ax 1 Cx 2 21 xgxf minmin xgxf 存在存在 使得使得 则 则Ax 1 Cx 2 21 xgxf minmax xgxf 对任意的对任意的 存在存在 使得使得成立成立 则则Ax 1 Cx 2 21 xgxf DB 存在存在 对任意的对任意的 使得使得成立成立 则则Ax 1 Cx 2 21 xgxf DB 存在存在 使得使得 则 则Ax 1 Cx 2 21 xgxf DB 二 注意点 二 注意点 1 恒成立恒成立 与与 存在存在 是参数讨论中的两类非常重要的问题 而通过是参数讨论中的两类非常重要的问题 而通过 求函数的最值是解决这两类问题的重要方法 在具体解决问题时又求函数的最值是解决这两类问题的重要方法 在具体解决问题时又 有两条基本思路 有两条基本思路 将将 参数参数 与与 变量变量 分离在不等号的两边 然后变量形成的函数分离在不等号的两边 然后变量形成的函数 的最值 的最值 参数参数 与与 变量变量 不分离 将整个式子看成一个函数 并求它的不分离 将整个式子看成一个函数 并求它的 最值最值 2 必须注意 如果 必须注意 如果在定义区间在定义区间 D 上没有最大或最小值 而只有上上没有最大或最小值 而只有上 xf 限或下限 则最后的结果可能要将限或下限 则最后的结果可能要将 改为改为 3 在具体的问题中 在具体的问题中 恒成立恒成立 与与 存在存在 有很多不同的等价形式有很多不同的等价形式 如如 恒成立恒成立 在有些问题中叙述为在有些问题中叙述为 对任意对任意 总有总有 无论无论 都都 有有 等等 而等等 而 存在存在 的等价说法有的等价说法有 不等式在不等式在 D 内有解内有解 集集 合合 等多种形式 注意总结经验等多种形式 注意总结经验 A 三 例题三 例题 例例 1 不等式不等式 x 2 x 2 x 4 a x 4 a 有解 有解 则 则 a a 的取值范围为的取值范围为 如已知不等式如已知不等式在实数集在实数集上的解集不是空集 求实上的解集不是空集 求实43xxa R 数数 的取值范围的取值范围 a 不等式不等式 x 2 x 2 x 4 a x 4 a 恒成立 则恒成立 则 a a 的取值范围为的取值范围为 解题策略 数形结合能将抽象的问题直观化解题策略 数形结合能将抽象的问题直观化 形象化 能使问题灵形象化 能使问题灵 活直观地获解 在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想活直观地获解 在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想 42 6 6 o 42 6 6 o y x 42 6 6 o 42 6 6 o y x y x 分析 就自变量分析 就自变量 x x 的范围讨论去掉绝对值 将函数表示为分段函数 的范围讨论去掉绝对值 将函数表示为分段函数 画出分段函数的图象 由图象即可得画出分段函数的图象 由图象即可得 y y 的范的范 围围 6 22 6 f xx 4 42 2 x x x 函数的图象如图 由图象即可得函数的图象如图 由图象即可得 y y 6 6 6 6 所以所以 a 6 a 6 例例 2 设关于设关于 x 的不等式的不等式在区间在区间上有解 求上有解 求 a 的取值范的取值范022 2 xax 2 2 1 围围 答 答 在在上等价于上等价于 在区间 在区间上有解 则上有解 则022 2 xax 2 2 1 2 22 x x a 2 2 1 min 2 22 x x a 22 2222 xxx x 2 1 2 11 2 2 x 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 所以所以 a 的取值范围的取值范围 min 2 22 x x 2 3 2 3 例例3 3 已知已知 是实数是实数 函数函数 如果函数如果函数在区间在区间 a 2 223f xaxxa yf x 1 1 1 1 上有零点上有零点 求求 的取值范围的取值范围 a 解析解析 若若 则则 令令 不符题意不符题意 故故0a 23f xx 3 0 1 1 2 f xx 0a 当当在在 1 1 1 1 上有一个零点时上有一个零点时 此时此时 f x 或或 解得解得或或 48 3 0 1 11 2 aa a 1 1 0ff 37 2 a 15a 当当在在 1 1 1 1 上有两个零点时上有两个零点时 则则 f x 48 3 0 1 11 2 1 1 0 aa a ff 解得解得即即 3737 22 11 22 15 aa aa aa 或 或 或 371 15 22 aaa 或或 综上综上 实数实数 的取值范围为的取值范围为 a 371 22 别解别解 题意转化为知题意转化为知求求 22 2230 21 32axxaxax 1 1 x 的值域的值域 令令得得转化对号函数问题转化对号函数问题 2 32 21 x a x 32 1 5 tx 2 7 6 a t t 例例 4 2 2 2 f xxx g xmx 对对 1 1 2 x 0 1 2 x 使 使 10 g xf x 则则m的取值范围是的取值范围是 例例 5 设函数设函数的定义域为的定义域为 D 如果对于任意 如果对于任意 存在唯一的 存在唯一的 xf 1 xD 2 xD 使使 c 为常数 成立 则称函数在为常数 成立 则称函数在 D 上均值为上均值为 c 给出下 给出下 12 2 f xf x c 列五个函数 列五个函数 xycos4 3 xy xylg x y2 1 xy 满足在其定义域上均值为满足在其定义域上均值为 2 的所有函数的序号是的所有函数的序号是 w w w k s 5 u c o m 作业作业 1 若若使得不等式使得不等式成立 则实数成立 则实数 x 的取值范围是的取值范围是 3 1 a02 2 2 xaax 2 若若使得不等式使得不等式成立 则实数成立 则实数 a 的取值范围是的取值范围是 3 1 x02 2 2 xaax 3 若若使得不等式使得不等式成立 则实数成立 则实数 x 的取值范围的取值范围 3 1 a02 2 2 xaax 是是 4 已知函数 已知函数 f x的值域为的值域为 0 4 2 2 x 函数 函数 1 2 2 g xaxx 1 2 2 x 总 总 0 2 2 x 使得 使得 01 g xf x 成立 则实数成立 则实数a的取值范围是的取值范围是 5 对于函数 对于函数 y f x x D 若存在常数 若存在常数 c 使对任意 使对任意 x1 D 存在唯一的 存在唯一的 x2 D 满足 满足 则称函数 则称函数 f x 在在 D 上的均值为上的均值为 c 现已知函 现已知函c xfxf 2 21 数 数 y 2x y x5 y 2sinx y lgx 则满足在其定义域上均值 则满足在其定义域上均值 为为 2 的函数的序号是的函数的序号是 填上所有符合要求的函数的序号 填上所有符合要求的函数的序号 6 已知函数 已知函数 若 若 22 243f xaxbbx 222 2 g xxaxaZbZ 存在存在 使 使 1 2 为为的最小值 的最小值 为为的最大值 则此的最大值 则此 0 x 0 f x f x 0 g x g x 时数对时数对为为 a b 7