数学人教版六年级下册数学广角——鸽巢问题

第五单元 数学广角 鸽巢问题 一 教材分析 本教材专门安排 数学广角 这一单元 向学生渗透一些重要的数学思想方法 和以往的义 务教育教材相比 这部分内容是新增的内容 本单元教材通过几个直观例子 借助实际操 作 向学生介绍 鸽巢问题 使学生在理解 鸽巢问题 这一数学方法的基础上 对一些简单 的实际问题加以 模型化 会用 鸽巢问题 加以解决 在数学问题中 有一类与 存在性 有 关的问题 在这类问题中 只需要确定某个物体 或某个人 的存在就是可以了 并不需 要指出是哪个物体 或人 这类问题依据的理论我们称之为 抽屉原理 抽屉原理 最先 是 19 世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的 所以又称 狄利克雷原理 也称 之为 鸽巢问题 鸽巢问题 的理论本身并不复杂 甚至可以说是显而易见的 但 鸽巢问 题 的应用却是千变万化的 用它可以解决许多有趣的问题 并且常常能得到一些令人惊异 的结论 因此 鸽巢问题 在数论 集合论 组合论中都得到了广泛的应用 鸽巢原理 的变式很多 在生活中运用广泛 学生在生活中常常遇到此类问题 教学时 要引导学生先判断某个问题是否属于 鸽巢原理 可以解决的范畴 能不能将这个问题同 鸽 巢原理 结合起来 是本次教学能否成功的关键 所以 在教学中 应有意识地让学生理解 鸽巢原理 的 一般化模型 六年级的学生理解能力 学习能力和生活经验已达到能够掌握 本章内容的程度 教材选取的是学生熟悉的 易于理解的生活实例 将具体实际与数学原 理结合起来 有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力 二 三维目标 1 知识与技能 引导学生通过观察 猜测 实验 推理等活动 经历探究 鸽巢原理 的过程 初步了解 鸽巢原理 的含义 会用 鸽巢原理 解决简单的实际问题 2 过程与方法 1 经历探究 鸽巢原理 的学习过程 体验观察 猜测 实验 推理等 活动的学习方法 渗透数形结合的思想 2 学会与人合作 并能与人交流思维过程和结果 3 情感态度与价值观 1 积极参与探索活动 体验数学活动充满着探索与创造 2 体会数学与生活的紧密联系 感受数学在实际生活中的作用 体 验学数学 用数学的乐趣 3 通过 鸽巢原理 的灵活应用 感受数学的魅力 4 理解知识的产生过程 受到历史唯物注意的教育 三 教学重点 应用 鸽巢原理 解决实际问题 引导学会把具体问题转化成 鸽巢问题 四 教学难点 理解 鸽巢原理 找出 鸽巢问题 解决的窍门进行反复推理 五 教学措施 1 让学生经历 数学证明 的过程 可以鼓励 引导学生借助学具 实物操作或画草图的 方式进行 说理 通过 说理 的方式理解 鸽巢原理 的过程是一种数学证明的雏形 通过这 样的方式 有助于提高学生的逻辑思维能力 为以后学习较严密的数学证明做准备 2 有意识地培养学生的 模型 思想 当我们面对一个具体的问题时 能否将这个具体问题 和 鸽巢原理 联系起来 能否找到该问题中的具体情境与 鸽巢原理 的 一般化模型 之间的 内在关系 找出该问题中什么是 待分的东西 什么是 鸽巢 是解决问题的关键 教学时 要引导学生先判断某个问题是否属于用 鸽巢原理 可以解决的范畴 再思考如何寻找隐藏 在其背后的 鸽巢问题 的一般模型 这个过程是学生经历将具体问题 数学化 的过程 从纷 繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型 是学生数学思维和能力的重要体现 3 要适当把握教学要求 鸽巢原理 本身或许并不复杂 但它的应用广泛且灵活多变 因 此 用 鸽巢原理 解决实际问题时 经常会遇到一些困难 例如 有时要找到实际问题与 鸽巢原理 之间的联系并不容易 即使找到了 也很难确定用什么作为 鸽巢 要用几个 鸽巢 因此 教学时 不必过于要求学生 说理 的严密性 只要能结合具体问题 把大致 意思说出来就可以了 鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测 验证 六 课时安排 3 课时 鸽巢问题 1 课时 鸽巢问题 的具体应用 1 课时 练习课 1 课时 第 1 课时 教学课题 鸽巢问题 教学内容 教材第 68 70 页例 1 例 2 及 做一做 及第 71 页练习十三的 1 2 题 三维目标 1 知识与技能 了解 鸽巢问题 的特点 理解 鸽巢原理 的含义 使学生学会用此原理解 决简单的实际问题 2 过程与方法 经历探究 鸽巢原理 的学习过程 体验观察 猜测 实验 推理等活动的 学习方法 渗透数形结合的思想 3 情感 态度和价值观 通过用 鸽巢问题 解决简单的实际问题 激发学生的学习兴趣 使学生感受数学的魅力 教学重点 引导学生把具体问题转化成 鸽巢问题 教学难点 找出 鸽巢问题 解决的窍门进行反复推理 教具准备 多媒体课件 教学过程 一 创设情境 导入新知 老师组织学生做 抢椅子 游戏 请 3 位同学上来 摆开 2 条椅子 并宣布游戏规则 师 象这样的现象中隐藏着什么数学奥秘呢 这节课我们就一起来研究这个原理 出示课题 二 合作交流 探究新知 1 教学例 1 课件出示例题 1 情境图 思考问题 把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中 不管怎么放 总有 1 个笔筒里至少有 2 支铅笔 为什么呢 总有 和 至少 是什么意思 学生通过操作发现规律 理解关键词的含义 探究证明 认识 鸽巢问题 的学习过程来解 决问题 1 操作发现规律 通过吧 4 支铅笔放进 3 个笔筒中 可以发现 不管怎么放 总有 1 鸽笔 筒里至少有 2 支铅笔 2 理解关键词的含义 总有 和 至少 是指把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中 不管怎么放 一 定有 1 个笔筒里的铅笔数大于或等于 2 支 3 探究证明 方法一 用 枚举法 证明 方法二 用 分解法 证明 把 4 分解成 3 个数 由图可知 把 4 分解成 3 个数 与枚举法相似 也有 4 中情况 每一种情况分得的 3 个数 中 至少有 1 个数是不小于 2 的数 方法三 用 假设法 证明 通过以上几种方法证明都可以发现 把 4 只铅笔放进 3 个笔筒中 无论怎么放 总有 1 个 笔筒里至少放进 2 只铅笔 4 认识 鸽巢问题 像上面的问题就是 鸽巢问题 也叫 抽屉问题 在这里 4 支铅笔是要分放的物体 就相 当于 4 只 鸽子 3 个笔筒 就相当于 3 个 鸽巢 或 抽屉 把此问题用 鸽巢问题 的语言描 述就是把 4 只鸽子放进 3 个笼子 总有 1 个笼子里至少有 2 只鸽子 这里的 总有 指的是 一定有 或 肯定有 的意思 而 至少 指的是最少 即在所有方法中 放的鸽子最多的那个 笼子 里鸽子 最少 的个数 小结 只要放的铅笔数比笔筒的数量多 就总有 1 个笔筒里至少放进 2 支铅笔 如果放的铅笔数比笔筒的数量多 2 那么总有 1 个笔筒至少放 2 支铅笔 如果放的铅笔比 笔筒的数量多 3 那么总有 1 个笔筒里至少放 2 只铅笔 小结 只要放的铅笔数比笔筒的数量多 就总有 1 个笔筒里至少放 2 支铅笔 5 归纳总结 鸽巢原理 一 如果把 m 个物体任意放进 n 个抽屉里 m n 且 n 是非零自然数 那 么一定有一个抽屉里至少放进了放进了 2 个物体 2 教学例 2 课件出示例题 2 情境图 思考问题 一 把 7 本书放进 3 个抽屉 不管怎么放 总有 1 个抽屉里至少有 3 本书 为什么呢 二 如果有 8 本书会怎样呢 10 本书呢 学生通过 探究证明 得出结论 的学习过程来解决问题 一 1 探究证明 方法一 用数的分解法证明 把 7 分解成 3 个数的和 把 7 本书放进 3 个抽屉里 共有如下 8 种情况 由图可知 每 种情况分得的 3 个数中 至少有 1 个数不小于 3 也就是每种分法中最多那个数最小是 3 即总有 1 个抽屉至少放进 3 本书 方法二 用假设法证明 把 7 本书平均分成 3 份 7 3 2 本 1 本 若每个抽屉放 2 本 则还剩 1 本 如 果把剩下的这 1 本书放进任意 1 个抽屉中 那么这个抽屉里就有 3 本书 2 得出结论 通过以上两种方法都可以发现 7 本书放进 3 个抽屉中 不管怎么放 总有 1 个抽屉里至 少放进 3 本书 学生通过 假设分析法 归纳总结 的学习过程来解决问题 二 1 用假设法分析 8 3 2 本 2 本 剩下 2 本 分别放进其中 2 个抽屉中 使其中 2 个抽屉都变 成 3 本 因此把 8 本书放进 3 个抽屉中 不管怎么放 总有 1 个抽屉里至少放进 3 本书 10 3 3 本 1 本 把 10 本书放进 3 个抽屉中 不管怎么放 总有 1 个抽屉里 至少放进 4 本书 2 归纳总结 综合上面两种情况 要把 a 本书放进 3 个抽屉里 如果 a 3 b 本 1 本 或 a 3 b 本 2 本 那么一定有 1 个抽屉里至少放进 b 1 本书 鸽巢原理 二 古国把多与 kn 个的物体任意分别放进 n 个空抽屉 k 是正整数 n 是 非 0 的自然数 那么一定有一个抽屉中至少放进了 k 1 个物体 三 巩固新知 拓展应用 1 完成教材第 70 页的 做一做 学生独立思考解答问题 集体交流 纠正 2 完成教材第 71 页练习十三的 1 2 题 学生独立思考解答问题 集体交流 纠正 四 课堂总结 1 通过今天的学习你有什么收获 2 回归生活 你还能举出一些能用 鸽巢问题 解释的生活中的例子吗 五 作业 个人调整意见 教学反思 第 2 课时 教学课题 鸽巢问题 的具体应用 教学内容 教材第 70 页例 3 及 做一做 及第 71 页练习十三的 3 4 题 三维目标 1 知识与技能 在了解简单的 鸽巢原理 的基础上 使学生学会用此原理解决简单的实际 问题 2 过程与方法 经历探究 鸽巢原理 的学习过程 体验观察 猜测 实验 推理等活动的 学习方法 渗透数形结合的思想 3 情感态度和价值观 通过用 鸽巢问题 解决简单的实际问题 激发学生的学习兴趣 使 学生感受数学的魅力 教学重点 引导学生把具体问题转化成 鸽巢问题 教学难点 找出 鸽巢问题 中的 鸽巢 是什么 鸽巢 有几个 在利用 鸽巢原理 进行反向 推理 教具准备 多媒体课件 教学过程 一 创设情境 引入新课 师 一天晚上 有一个小女孩正要从抽屉里拿袜子 抽屉里有黑白两种颜色的袜子各 10 双 突然停电了 小女孩至少摸出多少只袜子 才能保证拿出相同颜色的袜子 学生思考 发言 师 学习了这节课我们就能解决类似的问题了 出示课题 二 合作交流 探究新知 一 出示例 3 盒子里有同样大小的红球和蓝球各 4 个 要想摸出的球一定有 2 个同色 的 至少要摸出几个球 1 学生提出猜想 2 用预先准备的学具 小组合作交流 3 小组反馈 师相机板书 4 得出结论 把颜色看作抽屉 有两种颜色 只要摸出的球比他们的颜色至少多 1 就能保证有两个球同色 二 研究规律 师 如果盒子里有蓝 红 黄球各 6 个 从盒子里摸出两个同色的球 至少要摸出几个 球 分小组讨论后汇报 再出示 做一做 第 2 题 汇报后得出 问题结论只与球的颜色种数也就是抽屉数有关 小结 确定什么是抽屉什么是物体是解决抽屉问题的关键 三 巩固新知 拓展应用 1 第 70 页 做一做 第 1 题 2 解决课前有趣的问题 3 有红色 白色 黑色的筷子各 10 根混放在一起 让你闭上眼睛去摸 1 你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的 2 至少拿几根 才能保证有两双同色的筷子 为什么 4 练习十三第 3 4 题 四 全课总结 畅谈收获 1 通过今天的学习你有什么收获 2 回归生活 你还能举出一些能用抽屉原理解释的生活中的例子吗 五 作业 个人调整意见 教学反思 第 3 课时 教学课题 鸽巢原理 练习课 教学内容 教材 71 页练习十三的 5 6 题 及相关的练习题 三维目标 1 知识与技能 进一步熟知 鸽巢原理 的含义 会用 鸽巢原理 熟练解决简单的实际问题 2 过程与方法 经历探究 鸽巢原理 的学习过程 体验观察 猜测 实验 推理等活动的 学习方法 渗透数形结合的思想 3 情感 态度和价值观 通过用 鸽巢问题 解决简单的实际问题 激发学生的学习兴趣 使学生感受数学的魅力 教学重点 应用 鸽巢原理 解决实际问题 引导学会把具体问题转化成 鸽巢问题 教学难点 理解 鸽巢原理 找出 鸽巢问题 解决的窍门进行反复推理 教具准备 多媒体课件 教学过程 一 谈话导入 出示课题 二 指导练习 一 基础练习题 1 填一填 1 鱼岳三小六年级有 30 名学生是二月份 按 28 天计算 出生的 六年级至少有 名学生的生日是在二月份的同一天 2 有 3 个同学一起练习投篮 如果他们一共投进 16 个球 那么一定有 1 个同学至少投 进了 个球 3 把 6 只鸡放进 5 个鸡笼 至少有 只鸡要放进同 1 个鸡笼里 4 某班有个小书架 40 个同学可以任意借阅 小书架上至少要有 本书 才可以 保证至少有 1 个同学能借到 2 本或 2 本以上的书 学生独立思考解答 集体交流纠正 2 解决问题 1 易错题 六 1 班有 50 名同学 至少有多少名同学是同一个月出生的 2 书籍里混装着 3 本故事书和 5 本科技书 要保证一次一定能拿出 2 本科技书 一次 至少要拿出多少本书 3 把 16 支铅笔最多放入几个铅笔盒里 可以保