2011年高考全国1卷(理数)

20112011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷全国卷 数学数学 注意事项 注意事项 1 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上指定位置 码粘贴在答题卡上指定位置 2 2 选择题每小题选出答案后 用选择题每小题选出答案后 用 2B2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答在试题卷上无效 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答在试题卷上无效 3 3 填空题和解答题用填空题和解答题用 0 50 5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内 答在毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内 答在 试题卷上无效 试题卷上无效 4 4 考试结束 请将本试题卷和答题卡一并上交 考试结束 请将本试题卷和答题卡一并上交 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是满足题目要求的 有一项是满足题目要求的 1 复数 为 z 的共轭复数 则 1zi z1zzz A 2i B i C i D 2i 2 函数的反函数为 20yx x A B 2 4 x yxR 2 0 4 x yx C D 2 4yxxR 2 40yxx 3 下面四个条件中 使成立的充分而不必要的条件是 ab A B C D 1ab 1ab 22 ab 33 ab 4 设为等差数列的前 n 项和 若 公差 则 k n S n a 1 1a 2 2 24 kk dSS A 8 B 7 C 6 D 5 5 设函数 将的图像向右平移个单位长度后 所得的 cos0f xx yf x 3 图像与原图像重合 则的最小值等于 A B 3 C 6 D 9 1 3 6 已知直二面角 点为垂足 为垂足 若l AACl C BBDl D 则 D 到平面 ABC 的距离等于 2 1ABACBD A B C D 1 2 2 3 3 6 3 7 某同学有同样的画册 2 本 同样的集邮册 3 本 从中取出 4 本赠送给 4 为朋友 每位朋 友 1 本 则不同的赠送方法共有 A 4 种 B 10 种 C 18 种 D 20 种 8 曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 2 1 x ye 0 20y yx A B C D 1 1 3 1 2 2 3 9 设是周期为 2 的奇函数 当时 则 f x01x 21f xxx 5 2 f A B C D 1 2 1 4 1 4 1 2 10 已知抛物线 C 的焦点为 F 直线与 C 交于 A B 两点 则 2 4yx 24yx cosAFB A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 11 已知平面截一球面得圆 M 过圆心 M 且与成二面角的平面截该球面得圆 N 60 若该球面的半径为 4 圆 M 的面积为 则圆 N 的面积为 4 A B C D 7 9 11 13 12 设向量满足 则的最大值等于 a b c 1 1 60 2 aba bac bc c A 2 B C D 132 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 请将答案填在答题卡对应题号的位请将答案填在答题卡对应题号的位 置上置上 一题两空的题一题两空的题 其答案按先后次序填写其答案按先后次序填写 13 的二项展开式中 的系数与的系数之差为 20 1x x 9 x 14 已知 则 2 5 sin 5 tan2 15 已知分别为双曲线的左 右焦点 点 点 M 的坐标为 12 FF 22 1 927 xy C AC AM 为的角平分线 则 2 0 12 F AF 2 AF 16 已知点 E F 分别在正方体 的棱上 且 1111 ABCDABC D 11 BBCC 1 2B EEB 则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 1 2CFFC 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 的内角 A B C 的对边分别为 已知 求 CABC a b c90 2ACacb 18 本小题满分 12 分 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为 0 5 购买乙种保险但不购买甲种 保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 求该地 1 为车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种的概率 X 表示该地的 100 为车主中 甲 乙两种保险都不购买的车主数 求 X 的期望 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 S ABCD 中 侧面 SAB 为等边三角形 ABCD BCCD AB BC 2 CD SD 1 证明 SDSAB 平面 求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小 20 本小题满分 12 分 设数列满足 n a 1 1 11 0 1 11 nn a aa 求的通项公式 n a 设 记 证明 1 1 n n a b n 1 n nk k Sb 1 n S 21 本小题满分 12 分 已知 O 为坐标原点 F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点 过 F 且斜率为 2 2 1 2 y C x 的直线 与 C 交于 A B 两点 点 P 满足 2 l0 OAOBOP 证明 点 P 在 C 上 设点 P 关于点 O 的对称点为 Q 证明 A P B Q 四点在同一个圆上 22 本小题满分 12 分 设函数 证明 当时 2 ln 1 2 x f xx x 0 x 0f x 从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张 然后放回 用这种方式连续 抽取 20 次 设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 证明 p 19 2 91 10 p e 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 数学 理工农医类 试题参考答案数学 理工农医类 试题参考答案 仅供参考仅供参考 一 选择题 本题考查基础知识和基本运算 每小题一 选择题 本题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分分 满分 60 分 分 1 B2 B3 A4 D5 C 6 C7 B8 D9 A10 D 11 D 12 A 二 填空题 本题考查基础知识和基本运算 每小题二 填空题 本题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 0 14 15 6 16 4 3 2 3 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 分 17 本小题满分 10 分 解 由 得90AC 2 2 BACC 故 sinsincos 2 ACC sinsin2cos2 2 BCC 由 2sinsin2sinacbACB 故 cossin2cos2CCC 22 cossin2 cossinCCCC 又显然 故 再由 2 C 2 cossin 2 CC 22 cossin1CC 解得 于是 62 cos 4 C 12 C 18 本小题满分 12 分 解 设购买乙种保险的概率为 因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为x 0 3 故 1 0 50 30 6xx 所以该地 1 为车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种的概率为 11 0 5 1 0 60 8 由 易知 甲 乙两种保险都不购买的概率为1 0 80 2 所以有 X 个车主甲 乙两种保险都不购买的概率为 100 100 0 20 8 XX X pC 显然 X 服从二项分布 即 100 0 2XB 所以100 0 220EX X 的期望为 20 19 本小题满分 12 分 证明 在直角梯形 ABCD 中 AB BC 2 CD 1 ABCD BCCD 易算得 5ADBD 又因为侧面 SAB 为等边三角形 SD 1 AB 2 所以 222 5SDSAAD 222 5SDSBBD 于是 SDSA SDSB 所以SDSAB 平面 设点 A 到平面 SBC 的距离为 d 因为 所以 从而 SDSAB 平面SDAB SDCD 因而可以算得 又 故2SC 2SBBC 7 2 SBC S 又因为 所以点 C 到平面 SAB 的距离为 CDSAB平面1SD 另外 显然 2 3 23 4 SBA S 所以 171 3 1 323 A SBCC SAB VdV 四棱锥四棱锥 得 2 21 7 d 设 AB 与平面 SBC 所成的角为 则 2 21 21 7 sin 27 即 AB 与平面 SBC 所成的角为 显然是锐角 21 sin 7 arc 20 本小题满分 12 分 解 由得 1 11 1 11 nn aa 数列是等差数列 首项为 1 1 n a 1 1 1 1 a 故 从而 1 111 1 n nn a 1 1 n a n 1 1 11 1111 1 11 n n ann n b nnn nnn 所以 1 111111 111 22311 n nk k Sb nnn 21 本小题满分 12 分 证明 易知 故 代入椭圆方程得 0 1F 21l yx 2 42 210 xx 设 则 1122 A x yB xyP x y 12 2 2 xx 1212 221yyxx 因为所以0 OAOBOP 1122 0 0 x yxyx y 将此坐标代入椭圆 1212 2 1 2 x yxxyy 2 2 21 1 22 所以点 P 在 C 上 由 及 得 2 42 210 xx 21l yx 因为 所以 263126 13 4242 AB 2 1 2 p 2 1 2 Q 于是可以算得 2 26 AP k 62 2 AQ k 2 26 BP k 62 2 BQ k tan4 2PBQ 2 tan6 3 APB tan4 2PAQ 2 tan6 3 AQB 于是四边形 APBQ 对角互补 从而 A P B Q 四点在同一个圆上 22 本小题满分 12 分 证明 时 0 x 2 22 2221 0 1 212 xxx fx x xxx 于是在上单调增 所以 f x 0 00f xf 2019 100 9982 8199 9881 100100 p 共有对数相乘