2008年复变函数与积分变换试题(A卷)评分标准

第 1 页 共 6 页 2008 2009 学年第一学期学年第一学期 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 课程考试试卷课程考试试卷 A 卷卷 解答解答 院院 系系 专业班级专业班级 学号学号 姓名姓名 考试日期考试日期 2008 年 11 月 24 日 考试时间考试时间 晚上 7 00 9 30 题号题号一二三四五六七八总分总分 得分得分 一 一 填空题 每空 2 分 共 20 分 1 复数的主辐角为 i i 23 32 2 函数在何处可导 3 3 2323 yxyiyxxzf 何处解析 3 的值为 43 Lni 4 级数是否收敛 是否绝对收敛 1n n n i 5 函数在点展开成泰勒 Taylor 级数的收敛半径 1 e z z zf0 z 为 6 区域在映射下的像为 0Im zzD z we 7 映射在处的旋转角为 23 32 zzzf iz 8 函数的 Fourier 变换为 ttttfcos 2 1 2 得得 分分 评卷人评卷人 解 答 内 容 不 得 超 过 装 订 线 2 点点0 0 处处不解析处处不解析 2k 3 arctan 4 ln5 i 是是否否 1 下半平面下半平面 4 3 j e1cos 第 2 页 共 6 页 二 计算题 每题 5 分 共 20 分 1 3 3422 15 d 1 1 z z zz z 解 解 令 则 3422 15 1 1 zz z zf 34222 1 1 11 1 zzzzz f 原式 3 分分 Res2 zfi 0 1 1 Res2 2 zz fi 5 分分 i zz i z 2 1 1 1 2 0 3422 2 3 d 1 cos z z z z 解 解 为的本性奇点 将在的邻域内展开得0 z z zzf 1 cos zf0 z 3 分分 1 6 11 4 11 2 1 1 1 cos 642 zzz z z z 3 1 4 11 2 1 zz z 原式 5 分分 ii z zi 2 1 2 0 1 cos Res2 3 1 2 0 a a cos d 解 解 令 则 i ez z z 2 1 cos 2 zi zd d 原式 2 分分 z zaziz d 12 12 1 2 zzf iz d 2 1 函数在只有一个一阶极点 3 分分 zf1 z1 2 1 aaz 原式 5 分分 Res2 2 1 zzfi i 1 22 1 2 2 zz az i i 1 2 2 a 得得 分分 评卷人评卷人 第 3 页 共 6 页 4 x x x d cos 0 5 2 解 解 令 则在上半平面只有一个一阶极点 5 2 z e zf zi zfiz5 1 3 分分 x x e I xi d 5 2 Res2 1 zzfi iz zi z e i 5 2 2 5 5 e 原式 5 分分 IRe 2 1 52 5 e 三 三 14 分 已知 求常数 ayxyaxyxu 22 以及二元函数 使得为 yxvviuzf 解析函数且满足条件 iif 1 解 解 1 由可得 3 分分 2 2 2 x u a y u 2 2 2 0 2 2 2 2 y u x u 1 a 即 yxyxyxu 22 2 由 7 分分 y v yx x u 2 ydyxv 2 2 1 2 2 xyxy 由 22xy x v xy y u 11 分分 xx Cxx 2 2 1 2 2 1 2 1 2222 Cyxyxiyxyxzf 3 由 得 13 分分 iif 1 2 1 C 即 14 分分 2 1 2 2 1 2 1 2222 yxyxiyxyxzf 四 14 分 将函数分别在点 2 1 1 z zf 0 z 得得 分分 评卷人评卷人 解 答 内 容 不 得 超 过 装 订 线 2 2 1 2 i z i 第 4 页 共 6 页 和点展开为洛朗 Laurent 级数 iz 解 解 1 在点展开0 z 当时 1 z 3 分分 1 1 2 z zf 0 2 1 n nn z 当时 1 z 6 分分 1 1 11 2 2 z z zf 0 22 1 1 1 n n n zz 0 22 1 1 n n n z 2 在点展开iz iiziziziz zf 2 11 1 当时 2 0 iz i iz iiz zf 2 1 1 2 11 0 2 2 11 n n n i iz iiz 10 分分 0 1 1 2 n n n i iz 当时 2 iz iz i iz zf 2 1 1 1 2 0 2 2 1 n n n iz i iz 14 分分 0 2 2 n n n iz i 五 6 分 求区域在映射 0Im 0Re zzzD 下的像 iz iz w 2 2 解 答 内 容 不 得 超 过 装 订 线 第 5 页 共 6 页 解 解 令 则 2 1 zz iz iz w 1 1 3 分分 6 分分 即像区域为单位圆的外部 如图 注 注 本题也可由 三步完成 2 1 zz iz iz z 1 1 2 2 1 z w 六 10 分 求把区域 2 3 arg0 1 zzzD 映射到上半平面的共形映射 解 解 3 分分 7 分分 9 分分 10 分分 七 10 分 利用 Laplace 变换求解微分方程 0 4 2 txtxtx1 0 0 0 xx 得得 分分 评卷人评卷人 z z1 z1 1 1 1 z 1 w 11 z2 w 3 2 1 zz 2 3 2 3 2 1 1 z z w 1 1 1 1 2 z z z 2 2 zw 2 3 2 3 2 1 1 z z w或 2 1 zz iz iz w 1 1 第 6 页 共 6 页 解 解 1 令 对方程的两边作 Laplace 变换得 sX tx 3 分分 0 4 21 2 sXsXssXs 5 分分 42 1 2 ss sX 51 51 1 ss 2 8 分分 51 1 51 1 52 1 ss sX 10 分分 tx 1 sX 52 1 51 51 ee tt 八 6 分 已知幂级数的系数满足 0n n nz a 1 10 aa 2 21 naaa nnn 该级数在内收敛到函数 证明 2 51 z zf d 1 1 2 1 6 0 2 zf z f i 6 0 z 证明 证明 1 由题意可知 在上解析 1 分分 f6 0 在上解析 2 分分 1 1 2 f 6 0 当时 由柯西积分公式有 6 0 z 4 分分 d