湖南省长郡中学2009届高三第二次月考数学试卷(理科)-266

归海木心 QQ 634102564 归海木心 QQ 634102564 湖南省长郡中学湖南省长郡中学 20092009 届高三第二次月考数学试卷届高三第二次月考数学试卷 理科理科 时 量 120 分钟 满 分 150 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 设集合设集合 则等于 222 2 Py yxQy xy PQ A 1 B 1 1 1 1 C 0 D 0 22 2 方程有解 则 a 的最小值为 1 2 log 2 2 x ax A 2B 1C D 2 3 2 1 3 2008 年春 我国南方部分地区遭受了罕见的特大雪灾 大雪无情人有情 长沙某中学组织学 生在社区开展募捐活动 第一天只有 10 人捐款 人均捐款 10 元 之后通过积极宣传 从第 二天起 每天的捐款人数是前一天的 2 倍 且人均捐款数比前一天多 5 元 则截止第 5 天 包括第 5 天 捐款总数将达到 A 4800 元 B 8000 元 C 9600 元 D 11200 元 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边为 a b c 若 则角 A 3 2 45abB A 30 B 30 或 105 C 60 D 60 或 120 5 直线和圆的关系是 1 1 l yk x 22 20 xyy A 相离B 相切或相交 C 相交D 相切 6 函数的最小值为 2007 1 n f xxn A 1003 1004 B 1004 1005 C 2006 2007 D 2005 2006 7 若实数 满足且的最大值等于 34 则正实数的值等于xy 220 3 0 xy y axya 22 xy a A B C D 3 5 3 4 5 3 4 3 8 在正整数数列中 由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色 先染 1 再染 2 个偶数 2 4 再染 4 后面最邻近的 3 个连续奇数 5 7 9 再染 9 后面最邻近的 4 个连续偶数 10 12 14 16 再染此后最邻近的 5 个连续奇数 17 19 21 23 25 按此规则一直染下去 得到一红色子数列 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 17 则在这个红色子数列中 由 归海木心 QQ 634102564 归海木心 QQ 634102564 1 开始的第 2003 个数是 A 3844 B 3943 C 3945 D 4006 9 若实数满足 则的取值范围是 zyx 222 1xyz xyyzzx A B C D 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 10 过 ABC 内部一点 M 任作一条直线 EF AD EF 于 D BE EF 于 E CF EF 于 F 都有 0ADBECF 则点 M 是 ABC 的 A 三条高的交点B 三条中线的交点 C 三边中垂线的交点D 三内角平分线的交点 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 11 过点 C 作圆的切线 切点为 A B 那么点 C 到直线 AB 的距离为 22 25xy 12 已知数列是非零等差数列 又 a1 a3 a9组成一个等比数列的前三项 则的 n a 139 2410 aaa aaa 值是 13 函数 R 的最小值是 cos cos2 yxxx 14 已知定义域为 R 的函数对任意实数 x y 满足 xf 且 给出下列结论 2 cosf xyf xyf xy 0 0 1 2 ff p 为奇函数 1 42 f p xf 为周期函数 内单调递减 xf 0 在xf 其中 正确的结论序号是 15 集合 若 为中最大数与最小数的和 若集 1 2 2008M XM X x aX 合中只有一个元素 则此元素既为最大数 又为最小数 那么 对的所有非空子集 XMX 全部的平均值为 x a 归海木心 QQ 634102564 归海木心 QQ 634102564 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 若函数的图象与直线 y m 相切 2 sinsincos 0 f xaxaxax a 并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列 2 1 求 m 的值 2 若点图象的对称中心 且 求点 A 的坐标 00 A xyyf x 是 2 0 0 x 17 本小题满分 12 分 如右图 两条相交成 60 角的直路 EF 和 MN 交于 O 起初甲在 OE 上距 O 点 3km 的点 A 处 乙在 OM 上距 O 点 1km 的点 B 处 现在他们同时以 4km h 的速度行走 且甲沿 EF 方向 乙沿 NM 的方向 1 求行走 t 小时后两人之间的距离 用 t 表示 2 当 t 为何值时 甲乙两人之间的距离最近 18 本小题满分 12 分 已知圆方程为 C 22 4xy 直线 过点 且与圆交于 两点 若 求直线 的方程 l 1 2PCAB 2 3AB l 过圆上一动点作平行于轴的直线 设与轴的交点为 若向量CMxmmyN 求动点的轨迹方程 并说明此轨迹是什么曲线 OQOMON Q 归海木心 QQ 634102564 归海木心 QQ 634102564 19 本小题满分 13 分 某厂生产一种仪器 由于受生产能力和技术水平的限制 会产生一些次品 根据经验知该厂 生产这种仪器 次品率 p 与日产量 x 件 之间大体满足关系 P 1 194 N 96 2 94 N 3 xx x xx 已知每生产一件合格的仪器可盈利 A 元 但每生产一件次品将亏损元 厂方希望定出适当的 2 A 日产量 1 试判断 当日产量 件 超过 94 件时 生产这种仪器能否赢利 并说明理由 2 当日产量 x 件不超过 94 件时 试将生产这种仪器每天的赢利额 T 元 表示成日产量 x 件 的函数 3 为了获得最大利润 日产量 x 件应为多少件 20 本小题满分 13 分 已知数列 an 满足 a1 5 a2 5 an 1 an 6an 1 n 2 n N 若数列 是等比数列 1 nn aal 求数列 an 的通项公式 求证 当 k 为奇数时 1 1 114 3k kk aa 求证 12 1111 2 n nN aaa 时 7 分 2 2 3 48247 0 4 3 4 4 3 48247 4 ttt PQt ttt 2 由 1 知 当时 3 0 4 t 9 分 2211 4824748 42 44 PQtttt 时等号成立 又 t 上为增函数 2313 48 4 444 PQt 时在 归海木心 QQ 634102564 归海木心 QQ 634102564 11 分 231 48 44 44 PQ 由上述推理可知 当小时 1 0 25 4 t min 2PQ 即甲 乙两人之间的距离最小为 2km 12 分 18 解 当直线 垂直于轴时 则此时直线方程为 与圆的两个交点坐标为lx1x l 和 其距离为 满足题意 1 3 1 3 32 若直线 不垂直于轴 设其方程为 即 lx 21yk x 20kxyk 设圆心到此直线的距离为 则 得 d 2 2 32 4d 1d 2 2 1 1 k k 3 4 k 故所求直线方程为 3450 xy 综上所述 所求直线为或 6 分3450 xy 1x 设点的坐标为 点坐标为M 00 xy 0 0y Q x y 则点坐标是 N 0 0 y OQOMON 即 00 2x yxy 0 xx 0 2 y y 又 22 00 4xy 2 2 4 0 4 y xy 点的轨迹方程是 Q 22 1 0 416 xy y 轨迹是一个焦点在轴上的椭圆 除去短轴端点 12 分x 19 解 1 当 x 94 时 p 故每日生产的合格品约为x 件 次品约为x 件 合格 3 2 3 1 3 2 品共可赢利xA 元 次品共亏损x xA 元 3 1 3 2 2 A 因盈亏相抵 故当日产量超过 94 件时 不能赢利 4 分 归海木心 QQ 634102564 归海木心 QQ 634102564 2 当 1 x 94 时 p 1 96x 每日生产的合格品约为 x 1 件 次品约为件 T x 1 A 1 96x 96 x x 1 96x x A 1 x 94 8 分 96 x x 2 A 3 2 96 x x 3 由 1 可知 日产量超过 94 件时 不能盈利 当 1 x 94 时 31441144 96 96 296296 TxAxA xx x 94 96 x 0 T 1144147 972 96 0 2962 xAA x 当且仅当 96 x 时 即 x 84 时 等号成立 故要获得最大利润 日产量应为 84 144 96x 件 13 分 20 解 为等比数列 1 nn aal 111 111 6 1 6 nnnnnnn nnnnnn aaaaaaa aaaaaa lll lll 应为常数 1 1 6 1 1 nn nn aa aa l l l 6 1 l l 得 2 或 3 2 分 当 2 时 可得为首项是 公比为 3 的等比数列 1 2 nn aa 21 215aa 则 1 1 215 3n nn aa 当 3 时 为首项是 公比为 2 的等比数列 1 3 nn aa 21 310aa 1 1 310 2 n nn aa 得 4 分3 2 nn n a 注 也可由 利用待定系数或同除 2n 1得通项公式 当 k 为奇数时 1111 1 114114 332323 kkkkkk kk aa 111111 3 4 87 76842 0 3 32 32 3 32 32 kk kk kkkkkkkkkk 归海木心 QQ 634102564 归海木心 QQ 634102564 8 分 1 1 114 3k kk aa 由 知 k 为奇数时 10 分 11 1 11411 333 kkk kk aa 当 n 为偶数时 2 12 111111111 1 322 333 nn n aaa 当 n 为奇数时 12121 1111111 nnn aaaaaaa 13 分 211 111111 1 322 333 nn 2 c a 0 20 abc ac cb 1 2 c a 1 2 2 c a 4 2 1 3 12 a c a c A1B1 2 7 分33 2 设二次三项式为 f x a x x x x a N 12 依题意知 0 x 1 0 x 1 且 x x 于是有 1