附采样定理及z变换ppt课件.ppt

第一节采样控制系统的基本概念 一 采样控制系统的基本结构 二 采样过程与采样定理 三 采样信号的复现 第一节采样控制系统的基本概念 一 采样控制系统的基本结构 r t e t e t c t 反馈 脉冲控制器 保持器 对象 e t 连续信号 e t 离散信号 T 采样周期 T 连续信号的采样过程 一般 T 第一节采样控制系统的基本概念 数字控制系统结构图 系统中的A D转换器相当于一个采样开关 D A转换器相当于一个保持器 计算机控制系统典型结构图 采样过程如图所示 通过采样开关 将连续信号转变成离散信号 实为理想脉冲序列 T t 对e t 幅值的调制过程 二 采样过程与采样定理 1 采样函数的数学表示 二 采样过程与采样定理 e 0 t e T t T e 2T t 2T 采样函数的数学表示 t 0时 e t 0 则 在计算机控制系统中 采样信号是一数字序列 可分解成一系列单脉冲之和 式中 为时刻的单脉冲 脉冲的幅值为 为时刻的单脉冲 脉冲的幅值为 为时刻的单脉冲 脉冲的幅值为 则 只有在时刻 才有 而在的所有时刻 都有 量化过程 图3量化过程 所谓量化 就是采用一组数码 如二进制码 来逼近离散模拟信号的幅值 将其转换成数字信号 这个经量化使采样信号成为数字信号的过程称为量化过程 为保证采样信号的频谱是被采样信号的频谱无重叠的重复 沿频率轴方向 以便采样信号能反映被采样信号的变化规律 采样频率至少应是的频谱的最高频率的两倍 即 采样定理奠定了选择采样频率的理论基础 但对于连续对象的离散控制 不易确定连续信号的最高频率 因此 采样定理给出了选择频率的准则 在实际应用中还要根据系统的实际情况综合考虑 2 采样定理 三 采样信号的复现 信号的复现 保持器 采样信号经过保持器后 保持器的输出就将采样信号恢复成相应的连续信号 该过程就是信号恢复的过程 将采样信号复现为原来连续信号的装置 零阶保持器的输入输出特性 恒值外推原理 把采样时刻kT的采样值e kT 保持到下一个采样时刻 k 1 T kT t k 1 T eh t e kT 零阶保持器的单位脉冲响应为 零阶保持器的单位脉冲响应曲线 T T 1 1 1 gh t 1 t 1 t T 零阶保持器的传递函数 零阶保持器用RC网络来近似实现 传递函数为 T R2C 传递函数中的e Ts展开为级数形式 欧拉公式 频率特性如下 相频特性 幅频特性 第二节采样控制系统的数学基础 一 Z变换的定义 二 求Z变换的方法 三 Z变换的基本定理 四 Z反变换 连续函数f t 的拉氏变换为 离散函数 一 Z变换的定义 对离散函数求拉氏变换 引入新变量 则 F z 为f t 的Z变换 记作 F z Z f t 1 只有采样函数才能定义Z变换 注意 2 比较下面两式 中 决定幅值 决定时间 3 Z变换是由采样函数决定的 它反映不了非采样时刻的信息 图7采样值相同连续函数不同 二 求Z变换的方法 1 级数求和法 根据定义式展开 f 0 z0 f T z 1 f 2T z 2 f 3T z 3 利用级数求和法可求得常用函数的z变换 1 单位阶跃函数 f t 1 t f kT 1 kT 1 z 1 1 e aTz 1 e 2aTz 2 e 3aTz 3 zeat 1 2 指数函数 f t e at f kT e akT 3 单位脉冲函数 f t t f kT kT 2 部分分式展开法求F s 的z变换F z 例已知 求F z 解 部分分式法 已知 具有N个不同的极点 有个重极点 1 为单极点 则 留数法 若 三 Z变换的基本定理 1 线性定理 2 滞后定理 Z f t k1T Z k1F z 求Z t T Z t T Z t z 1 例 3 超前定理 例求1 t 2T 的Z变换 例求te at的Z变换 解 5 初值定理 6 终值定理 4 复数位移定理 四 Z反变换 记作 从函数F z 求出原函数f t 的过程 Z 1 F z f t 由于F z 只含有连续函数f t 在采样时刻的信息 因而通过z反变换只能求得连续函数在采样时刻的数值 求反变换一般有两种方法 按Z 1的升幂级数展开 即 1 长除法 例1求F z 反变换f t 解 f t t t T t 2T 例2求F z 反变换f t 解 Z 1 F z t T 3 t 2T 7 t 3T 15 t 4T 例3用长除法求函数的Z反变换 解 2 部分分式法 例1求F z 反变换f t 解 f kT 1 0 5k k 0 1 2 f t f 0 t f T t T f 2T t 2T 例2求F z 反变换f t 解 f kT 1 e akT k 0 1 2 3 留数计算法 已知函数F z 及其全部极点pi 可由留数计算公式求z反变换 式中 ri为z pi的极点重数 例3用留数计算法求的Z反变换 例4求F z 的z反变换f kT 解 4 0 5k 1 2k 第三节离散系统的数学模型 二 脉冲传递函数的定义 三 开环系统的脉冲传递函数 四 闭环系统的脉冲传递函数 一 差分方程及其求解 一 差分方程及其求解 差分又分为前向差分和后向差分 1 差分的定义 差分 f k t k 1 k 1 k f k 0 离散函数两数之差 f k 令 T 1s 一阶前向差分定义为 f k f k 1 f k 二阶前向差分定义为 2f k f k f k 1 f k f k 1 f k f k 2 2f k 1 f k n阶前向差分定义为 nf k n 1f k 1 n 1f k 一阶后向差分定义为 二阶后向差分定义为 f k 2f k 1 f k 2 2f k f k f k f k f k 1 f k f k 1 f k f k 1 n阶后向差分定义为 nf k n 1f k n 1f k 1 2 差分方程 如果方程中除了含有f k 以外 还有f k 的差分 则此方程称为差分方程 差分方程的一般表达式为 c k a1c k 1 an 1c k n 1 anc k n b0r k b1r k 1 bm 1r k m 1 bmr k m 描述线性连续系统的数学模型是微分方程 而描述线性离散系统的数学模型是差分方程 用差分方程来近似表示微分方程 称为离散化 例如图所示为一阶系统 一阶微分方程为 试将系统的微分方程离散化 解 t kT k 0 1 2 得 KcT 1 c kT c k 1 T KrT kT 例已知差分方程 式中r k 1 k 试求c k 对差分方程求Z变换 c k 2 5c k 1 6c k r k 解 3 用Z变换解差分方程 求z反变换得 注 用变换求解差分方程主要用到变换的平移定理 例用Z变换解下列差分方程 初始条件为 查表得 为了书写方便 通常将写成 代入初始条件 解得 二 脉冲传递函数的定义 脉冲传递函数的定义 零初始条件下 离散输出信号的Z变换与离散输入信号的Z变换之比 G z 大多数采样系统的输出是连续信号c t 而不是离散信号c t 为了应用脉冲传递函数的概念 通常在输出端虚设一个采样开关 如图中虚线所示 它与输入端采样开关同步工作 T c t C z G z R z T 输出的采样信号可根据下式求得 c t Z 1 C z Z 1 R z G z 三 开环系统的脉冲传递函数 采样系统的脉冲传递函数的求取与连续系统求传递函数类似 但脉冲传递函数与采样开关的位置有关 当采样系统中有环节串联时 根据它们之间有无采样开关 其等效的脉冲传递函数是不相同的 1 串联环节间无采样开关 G1G2 z 由图可见 例求系统的脉冲传递函数G z 解 2 串联环节间有采样开关 G1 z G2 z G z D z R z G1 z C z D z G2 z R z G1 z G2 z G1 z G2 z G1G2 z 例求系统的脉冲传递函数G z 解 G1 z G2 z G1G2 z 3 带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数 开环传递函数为 设 则 G s 1 e Ts G2 s Z G2 s G2 z Z e TsG2 s z 1G2 z G z Z 1 e Ts G2 s 1 z 1 G2 z 例系统结构如上图所示 求G z 解 T 1s G z 1 z 1 G2 z 四 闭环系统的脉冲传递函数 在连续系统中 闭环传递函数和开环传递函数之间有着确定的关系 而在采样系统中 闭环脉冲传递函数还与采样开关的位置有关 Z变换是对离散信号进行的一种数学变换 为了方便分析系统中的连续信号都假设离散化了 用虚线表示采样开关 1 采样系统的结构如图 E z R z B z B z GH z E z E z R z GH z E s C z G z E z 2 采样系统结构如图 r t c t T C z G2 s D s D z C s c t R s H s G1 s d t T D s R s G1 s 对于这种系统 只能求出C z 求不出系统的闭环脉冲传递函数 3 采样系统结构如图 G1 s G2 s H s c t c t C z e t E s r t R s T T e t T T E z C z 系统的闭环脉冲传递函数为 环节之间都有采样开关 可直接写出输出的Z变换式 4 采样系统结构如图 系统的闭环脉冲传递函数为 5 采样系统结构如图 第四节离散系统的稳定性与稳态误差 在采样系统的稳定性分析中 可以从s平面和z平面之间的关系中 找出分析采样控制系统稳定性的方法 一 z平面内的稳定条件 二 z平面和s平面的关系 三 劳斯稳定判据 四 离散系统的稳态误差 z变量和s变量的关系为 其中s是复变量 Z平面和s平面的对应关系 一 z平面和s平面的关系 z eTs s j z eTs eT ej T z ej z eT T 系统稳定 临界稳定 系统不稳定 0 0 0 z 1 z 1 z 1 二 z平面内的稳定条件 采样系统稳定的条件 闭环脉冲传递函数的极点均位于z平面上以原点为圆心的单位圆内 即 zi 1 若闭环脉冲传递函数有位于单位圆外的极点 则闭环系统是不稳定的 例试判断图示系统的稳定性 其中T 0 25s 解 特征方程式为 z2 1 21z 0 368 0 z1 2 0 605 j0 044441 所以系统是稳定的 z1 z2 1 因为 三 劳斯稳定判据 劳斯判据是判断线性连续系统是否稳定的一种简捷的方法 在采样系统中 由于稳定的边界是单位圆而不是虚轴 所以不能直接引用劳斯判据 必须把Z平面上的单位圆内部映射为另一W左半平面 单位圆的外部映射为W右半平面 然后再应用劳斯判据 根据复变函数双线性变换公式 w u jv u jv W平面内 Z平面内 u 0 u 0 u 0 将Z平面上的特征方程式经过Z W变换 就可应用劳斯判据判别系统的稳定性 例已知闭环特征方程如下 试判稳 解 D z 45z3 117z2 119z 39 0 45 w 1 3 117 w 1 2 w 1 119 w 1 w 1 2 39 w 1 3 0 将Z W变换代入特征方程式 经整理得 w3 2w2 2w 40 0 有二个根在w右半平面 即有两个根在Z平面上的单位圆外 故系统为不稳定 稳态误差是分析和设计控制系统的一个重要性能指标 通过对连续系统的分析可知 系统的稳态误差与输入信号的大小和形式 系统的型别以及开环增益有关 这一结论同样也适用于采样系统 四 离散系统的稳态误差 单位反馈误差采样系统的结构图 闭环稳定的采样控制系统 由终值定理可求得其稳态误差 系统开环脉冲传递函数一般表达式 定义系统的静态位置误差系数 1 v 0 2 v 1 e 0 Kp 常数 Kp 3 v 2 e 0 Kp 定义系统的静态速度误差系数 则有 1 v 0 e 2 v 1 Kv 0 Kv 常数 3 v 2 Kv e 0 定义系统的静态加速度误差系数 e 1 v 0 Ka 0 2 v 1 e Ka 0 3 v 2 Ka 常数 闭环实极点分布与相应的动态响应形式 Im Re 0 1 1 双边指数发散