《小学数学专题研究》自考资料

1 小学数学教学研究自考复习资料小学数学教学研究自考复习资料 教材教材 小学数学专题研究小学数学专题研究 李星云著李星云著 第一章第一章小学数学课程目标及内容小学数学课程目标及内容 一 一 数学数学是一种研究客观世界中数量关系是一种研究客观世界中数量关系 和空间形式的一门科学 和空间形式的一门科学 数学本质 数学是一种研究思想事物的数学本质 数学是一种研究思想事物的 科学科学 恩格斯 恩格斯 二 二 数学的作用数学的作用 一种科学只有在成功运 一种科学只有在成功运 用数学时 才算达到了真正完美的地步 用数学时 才算达到了真正完美的地步 数数学学是是 一一切切科科学学技技术术的的基基础础 数数学学的的内内 容容 思思想想 方方法法和和语语言言已已广广泛泛渗渗入入自自然然 和社会科学中 数学作为一种文化 已成和社会科学中 数学作为一种文化 已成 人们的共识 人们的共识 三 我国数学课程及演变过程 三 我国数学课程及演变过程 1 1 萌芽时期 公元前 萌芽时期 公元前 600600 年前 年前 2 2 初等数学时期 初等数学时期 公元前公元前 600600 年年 1717 世纪中叶世纪中叶 3 3 变量数学时期 变量数学时期 1717 世纪中叶世纪中叶 1919 世纪世纪 2020 年代 年代 4 4 近代数学时期 近代数学时期 1919 世纪世纪 2020 年代年代 第二次世界大战 第二次世界大战 5 5 现代数学时期 第二次世界大战以来 现代数学时期 第二次世界大战以来 2 作为一门学科 作为一门学科 在在我我国国却却迟迟到到隋隋唐唐时时期期 才才 在在国国子子监监设设算算学学馆馆 置置博博士士 助助教教 选选定定和和 注注释释从从汉汉朝朝以以来来的的十十部部算算经经 以以 算算经经十十书书 著著 算算经经十十书书 是是我我 国国古古代代数数学学发发展展和和成成就就的的代代表表文文献献 构构成成 了了我我国国古古代代传传统统数数学学体体 系 系 周髀算周髀算 经经 勾股定理 勾股定理 九章算术九章算术 方程章中方程章中 第第 1313 题是著名题是著名 五家共井五家共井 最早的不定方最早的不定方 程问题 程问题 孙子算经孙子算经 知客几何知客几何 鸡兔同笼鸡兔同笼 尤其是尤其是 物不知数物不知数 是后来是后来 驰名于世的驰名于世的 大衍求一术大衍求一术 的起源 是中的起源 是中 国古代数学最具独创精神的成就之一 国古代数学最具独创精神的成就之一 张丘建算经张丘建算经 提出了有趣的不定方程和解法提出了有趣的不定方程和解法 百百鸡鸡问问题题 缉缉古古算算经经 三三次次方方程程的的代代数数解解法法 数数学学记记遗遗 九九宫宫图图 三国时期刘徽三国时期刘徽 用用割圆术割圆术求出了圆周率值为求出了圆周率值为 3 143 14 之后法 之后法 国数学家伟达用国数学家伟达用解析解析方法求出方法求出 值 值 世界上第一本讨论世界上第一本讨论排列组合排列组合的书是的书是 周易周易 3 算学作为小学课程算学作为小学课程则从近代光绪二十八年则从近代光绪二十八年 19021902 年 年 才正式开始 才正式开始 18921892 年编年编 笔算数学笔算数学 则是我国学校里的则是我国学校里的 第一部算第一部算学教科书学教科书 19031903 年春编制年春编制 最新教科书最新教科书 我国自己编我国自己编 写的写的第一本正式的小学算学课本第一本正式的小学算学课本问世 问世 19781978 年年 2 2 月月 全日制十年制小学数学教学全日制十年制小学数学教学 大纲大纲 试行草案 试行草案 明确将明确将小学算术改为统小学算术改为统 一的数学 一的数学 19921992 年三个面向年三个面向 面向现代化面向现代化 面向世面向世 界界 面向未来面向未来 四 四 国外数学课程变革的简况及趋势 国外数学课程变革的简况及趋势 2020 世纪初 德国数学家克莱因发起并领导世纪初 德国数学家克莱因发起并领导 了数学教育近代化运动 了数学教育近代化运动 现代数学运动发展是不平衡的 分现代数学运动发展是不平衡的 分三种类三种类 型 型 1 1 革新型革新型 如英美 如英美 2 2 进化型进化型 如苏如苏 联 联 3 3 中间型中间型 如日本 如日本 相似之处 相似之处 1 1 精简传统的算术内容 精简传统的算术内容 2 2 增减或渗透集合 函数 统计等现代增减或渗透集合 函数 统计等现代 数学内容 数学内容 4 3 3 用结构思想处理传统内容 用结构思想处理传统内容 回归基础回归基础 改为改为 走向基础走向基础 大众数学大众数学 目标让全体学生学好数学 学习目标让全体学生学好数学 学习 更多的数学而且是需要的数学 更多的数学而且是需要的数学 五 小学数学课程目标与分析 参考课标 五 小学数学课程目标与分析 参考课标 小学数学课程目标是小学教育方向和性质小学数学课程目标是小学教育方向和性质 的表征 也是小学数学教育活动 包括组的表征 也是小学数学教育活动 包括组 织教学内容 确定教学要求 选择教学方织教学内容 确定教学要求 选择教学方 法 进行质量评估 决定考试命题等进行法 进行质量评估 决定考试命题等进行 的依据 的依据 1 1 小学数学课程目标制定的依据小学数学课程目标制定的依据 2 2 小学数学课程目标 小学数学课程目标 3 3 小学数学课程内容小学数学课程内容 六 学科数学与科学数学六 学科数学与科学数学 课程内容的载体是教材课程内容的载体是教材 教科书 教科书 学科数学的内容是依赖于科学数学二建立学科数学的内容是依赖于科学数学二建立 和发展的 和发展的 1 1 作为作为科学的数学科学的数学 它不考虑人们是否 它不考虑人们是否 能够理解和接受 只要能完备而又精确地能够理解和接受 只要能完备而又精确地 阐明某种数学理论 更深刻地反应世界的阐明某种数学理论 更深刻地反应世界的 空间形式和数量关系就行 而作为学科的空间形式和数量关系就行 而作为学科的 5 数学必须遵循学生的认知规律和心理特点 数学必须遵循学生的认知规律和心理特点 往往日常生活 生产中的具体事例出发 往往日常生活 生产中的具体事例出发 对现象进行描述 然而转向定义 定律 对现象进行描述 然而转向定义 定律 性质等的揭露 性质等的揭露 2 2 作为科学数学 对所有的定理 法则作为科学数学 对所有的定理 法则 等都必须进行严格的论证和推导 而作为等都必须进行严格的论证和推导 而作为 学科的数学限于学生的接收水平 往往通学科的数学限于学生的接收水平 往往通 过列举一些事例用不完全归纳法得出结论 过列举一些事例用不完全归纳法得出结论 3 3 作为科学的数学 完全按照数学伦理作为科学的数学 完全按照数学伦理 的逻辑系统进行安排 可以难易起伏不均 的逻辑系统进行安排 可以难易起伏不均 作为学科数学在不影响科学性的前提下 作为学科数学在不影响科学性的前提下 兼顾小学生的认知规律 对某些内容可以兼顾小学生的认知规律 对某些内容可以 适当调整 适当调整 由此可见 科学数学是作为人类认识的结由此可见 科学数学是作为人类认识的结 果而呈现的 已完全揭示数量关系和空间果而呈现的 已完全揭示数量关系和空间 形式为目的 而学科数学可看作为认识对形式为目的 而学科数学可看作为认识对 象而存在 对作为小学象而存在 对作为小学学科的数学学科的数学而言 而言 除了正确反映科学数学的知识外 还必须除了正确反映科学数学的知识外 还必须 充分遵循小学生的认知规律 有利于使他充分遵循小学生的认知规律 有利于使他 们学懂 学好 学活 有利于发展他们的们学懂 学好 学活 有利于发展他们的 智能 有利于进行思想品德教育 智能 有利于进行思想品德教育 6 七 小学数学课程内容编排原则 七 小学数学课程内容编排原则 1 1 以数与计算为主线 以数与形式为重以数与计算为主线 以数与形式为重 点 把各部分内容按其彼此的内在联系结点 把各部分内容按其彼此的内在联系结 合起来 合起来 2 2 由浅入深 由易到难 循序渐进 螺由浅入深 由易到难 循序渐进 螺 旋上升 旋上升 3 3 突出重点 分散难点 突出重点 分散难点 4 4 把数学知识和数学应用结合起来 把数学知识和数学应用结合起来 5 5 注重趣味性 注重趣味性 数学学科的特点数学学科的特点 1 1 高度的抽象性高度的抽象性 2 2 严密严密 的逻辑性的逻辑性 3 3 应用的广泛性 应用的广泛性 第二章第二章小学数学解题的理论依据小学数学解题的理论依据 一 一 数学问题及其组成数学问题及其组成 1 1 1 数学问题虽然名称不同 叙述内容不 数学问题虽然名称不同 叙述内容不 同 但它们却有一个共同的特点 即是在同 但它们却有一个共同的特点 即是在 一定的知识背景中提出的 知识背景主要一定的知识背景中提出的 知识背景主要 包括已有的概念 理论和方法 因此 我包括已有的概念 理论和方法 因此 我 们认为们认为依照依照数学问题的解答与知识背景的数学问题的解答与知识背景的 关系 可以把数学问题大致分为两类 关系 可以把数学问题大致分为两类 常常 规问题和非常规问题 规问题和非常规问题 2 2 依照依照数学问题提法的意义是否明确 数学问题提法的意义是否明确 数学问题的条件是否充分 我们还可以把数学问题的条件是否充分 我们还可以把 7 数学问题划分为 数学问题划分为 可能问题和不可能问题可能问题和不可能问题 3 3 数学问题的 数学问题的组成成分组成成分是条件 目标是条件 目标 和运算 和运算 三大组成部分也叫构成要素 三大组成部分也叫构成要素 二 二 智力结构与活动方式智力结构与活动方式 1 1 智力两个方面 一是天赋的潜力 智力两个方面 一是天赋的潜力 特性和发展的容量 即健全的神经代谢的特性和发展的容量 即健全的神经代谢的 总和 二是发展得以进行下去的大脑功能 总和 二是发展得以进行下去的大脑功能 即能够决定操作和理解的功能 即能够决定操作和理解的功能 皮亚杰关于皮亚杰关于智力阶段的划分智力阶段的划分 感知运动阶段 感知运动阶段 0 0 2 2 岁 岁 前运算阶段 前运算阶段 2 2 7 7 岁 岁 具体运算阶段 具体运算阶段 7 7 1111 岁 岁 形式运算阶段 形式运算阶段 1111 岁以上 岁以上 同化和顺应是相对立的两种力量 同化同化和顺应是相对立的两种力量 同化 是一个人按照过去的经验 图示来活动 是一个人按照过去的经验 图示来活动 顺应则是根据面临的新信息所作的改变顺应则是根据面临的新信息所作的改变 和思考 和思考 2 2 智力活动方式 智力活动方式 1 1 根据基本的心理过程 分为知觉方 根据基本的心理过程 分为知觉方 式 记忆方式和思维方式 式 记忆方式和思维方式 2 2 根据完成的主要功能 分为定向方 根据完成的主要功能 分为定向方 8 式 执行和控制方式 式 执行和控制方式 3 3 根据标准和规范化程度 分为计算 根据标准和规范化程度 分为计算 性方式 算法指令性方式 启发性方式 性方式 算法指令性方式 启发性方式 4 4 根据动作的共同性 分为一般方根据动作的共同性 分为一般方 式和具体方式 式和具体方式 另外 根据智力活动在人类不同认知领另外 根据智力活动在人类不同认知领 域里的运用程度 又可以分为一般方式域里的运用程度 又可以分为一般方式 如分析 综合 抽象 概括 比较等 如分析 综合 抽象 概括 比较等 和限于某一认识领域的特殊方式 和限于某一认识领域的特殊方式 二 二 数学思维品质及其发展水平数学思维品质及其发展水平 1 1 1 思维 思维 人脑对客观事物的本质特征 人脑对客观事物的本质特征 相互关系及其内在规律性的概括的 间相互关系及其内在规律性的概括的 间 接的反映 是人们对外接输入的信息的接的反映 是人们对外接输入的信息的 感知的基础上经过分析 综合 比较 感知的基础上经过分析 综合 比较 抽象 概括等智力活动方式 对其加工 抽象 概括等智力活动方式 对其加工 推理和获得理性认识的心理过程 推理和获得理性认识的心理过程 2 2 思维的 思维的本质本质 思维是间接认识事物 思维是间接认识事物 是通过感知与被直接认识的事物有着合是通过感知与被直接认识的事物有着合 乎规律的联系的另一个对象而实现的 乎规律的联系的另一个对象而实现的 3 3 思维的 思维的类型类型 1 1 逻辑性思维逻辑性思维 2 2 非逻非逻 辑性思维 辑性思维 9 形式逻辑思维形式逻辑思维 是以概念 判断 是以概念 判断 推理等思维方式 同一律 矛盾律 推理等思维方式 同一律 矛盾律 排中律等思维规律 归纳 演绎 类排中律等思维规律 归纳 演绎 类 比 科学假设等思维方法为其研究对比 科学假设等思维方法为其研究对 象 象 辩证逻辑思维辩证逻辑思维 研究的是思维形式如 研究的是思维形式如 何正确反映客观事物的运动变化 事何正确反映客观事物的运动变化 事 物的内部矛盾 事物的有机联系和转物的内部矛盾 事物的有机联系和转 化等问题 其主要特点是用有限量来化等问题 其主要特点是用有限量来 描述和刻画 描述和刻画 4 4 数学思维数学思维 又叫数学型思维 就是 又叫数学型思维 就是 以数和形为思维的对象 以数学的语以数和形为思维的对象 以数学的语 言和符号为思维的载体 以认识和发言和符号为思维的载体 以认识和发 现数学规律为目的的一种思维 现数学规律为目的的一种思维 数学思维品质数学思维品质 灵活性 积极性 目 灵活性 积极性 目 的性 记忆性 广阔性 深刻性 批的性 记忆性 广阔性 深刻性 批 判性 准确性 简捷性 独创性和证判性 准确性 简捷性 独创性和证 明性 明性 数学思维水平的评定数学思维水平的评定 第一级水平 第一级水平 第五级水平第五级水平 前两级水平是小学年级的学生所特有前两级水平是小学年级的学生所特有 的 第三级水平是初中年级学生所特的 第三级水平是初中年级学生所特 10 有的 第四级水平是高中年级学生所有的 第四级水平是高中年级学生所 特有的 至于第五级水平无论是几何特有的 至于第五级水平无论是几何 方面还是代数方面的 均属于数学思方面还是代数方面的 均属于数学思 维的现代水平 一般的中学阶段的学维的现代水平 一般的中学阶段的学 生是难以达到的 生是难以达到的 四 影响小学数学解题的心理因素 四 影响小学数学解题的心理因素 两大 两大 一 一 问题解决的特征问题解决的特征 1 1 问题情境问题情境 因素因素 2 2 解题者的个体特征 解题者知解题者的个体特征 解题者知 识经验基础和个性品质 识经验基础和个性品质 3 3 解题中的解题中的 认知策略 解题者用来调节注意 回认知策略 解题者用来调节注意 回 忆和思维的技能 忆和思维的技能 二 二 迁移与思维定势 迁移与思维定势 迁移迁移是指一种知识 技能的学习和应用是指一种知识 技能的学习和应用 对另一种知识 技能的学习和应用所施加对另一种知识 技能的学习和应用所施加 的影响 的影响 思维定势思维定势 指的是一种思维的定向预备指的是一种思维的定向预备 状态 在思维不受到新干扰的情况下 人状态 在思维不受到新干扰的情况下 人 们按照既定的方向或者方法去思考 们按照既定的方向或者方法去思考 第三章第三章 小学数学解题的认知过程小学数学解题的认知过程 一 一 小学数学学习及认知小学数学学习及认知 学习学习 从广义上理解 学习是有机体从广义上理解 学习是有机体 11 凭借经验的获得而产生的比较持久的凭借经验的获得而产生的比较持久的 行为 思维 想象行为 思维 想象 记忆 感知等内记忆 感知等内 部心理活动和语言 表情 动作等外部心理活动和语言 表情 动作等外 部活动 变化 部活动 变化 从狭义上理解 学习是指学生在老师从狭义上理解 学习是指学生在老师 指导下 有目的 有计划 有组织 有步指导下 有目的 有计划 有组织 有步 骤地进行的获得知识 形成技能 培养能骤地进行的获得知识 形成技能 培养能 力 发展个性的过程 力 发展个性的过程 桑代克桑代克 刺激反应理论 学习是刺刺激反应理论 学习是刺 激和反应的联结 激和反应的联结 苛勒苛勒 完形理论 学习是零碎和知完形理论 学习是零碎和知 觉信息的再组织过程 觉信息的再组织过程 托尔曼托尔曼 认知理论 学习是对环境认知理论 学习是对环境 中的刺激 依其关系形成一种新的认知结中的刺激 依其关系形成一种新的认知结 构的过程 是意义的获得和实现期望的过构的过程 是意义的获得和实现期望的过 程等等 程等等 小学数学学习 小学数学学习 是在教师指导下获得是在教师指导下获得 数学知识 数学技能和数学能力 发展个数学知识 数学技能和数学能力 发展个 性数学品质的过程 由于数学自身具有逻性数学品质的过程 由于数学自身具有逻 辑的严谨性 高度的抽象性及应用的广泛辑的严谨性 高度的抽象性及应用的广泛 性 所以 小学数学学习的核心内容和最性 所以 小学数学学习的核心内容和最 终母的是解决小学数学问题 终母的是解决小学数学问题 12 小学数学解题 小学数学解题 作为小学生的一种特作为小学生的一种特 殊心理活动 综合起来说 它属于一种认殊心理活动 综合起来说 它属于一种认 知学习 小学数学解题是一种逐渐深入的 知学习 小学数学解题是一种逐渐深入的 具体某种程度创新性和思维对策的心理活具体某种程度创新性和思维对策的心理活 动 认知 过程 不求甚解 生搬硬套 动 认知 过程 不求甚解 生搬硬套 机械呆板等等 都不是小学数学解题的真机械呆板等等 都不是小学数学解题的真 实含义 实含义 二 二 认知结构 认知结构 是指个体在感知及理是指个体在感知及理 解客观现实的基础上 在头脑里形成的一解客观现实的基础上 在头脑里形成的一 种心理结构 简单点说认知结构就是在个种心理结构 简单点说认知结构就是在个 体头脑里的知识结构 体头脑里的知识结构 小学数学解题作为小学数学学习的主小学数学解题作为小学数学学习的主 要内容和方式 其意义也就在于不断积极要内容和方式 其意义也就在于不断积极 主动地建立 扩大和重新组织数学认知结主动地建立 扩大和重新组织数学认知结 构 并伴随着同化和顺应等特征 构 并伴随着同化和顺应等特征 小学数学解题并不是数学知识的简单小学数学解题并不是数学知识的简单 应用 而是以原有数学认知结构为依据 应用 而是以原有数学认知结构为依据 对新知识进行加工 对新知识进行加工 三 三 技能 技能 是顺利完成某种任务的一是顺利完成某种任务的一 种心智或动作的活动方式 她需要通过练种心智或动作的活动方式 她需要通过练 习才能形成 习才能形成 动作动作 泛指在完成一项具体任务中所泛指在完成一项具体任务中所 13 涉及的一系列操作 以完善 合理方式组涉及的一系列操作 以完善 合理方式组 织起来并顺利进行时 就成为动作技能 织起来并顺利进行时 就成为动作技能 心智系指借助于内部语言在头脑中进行的心智系指借助于内部语言在头脑中进行的 认识活动 它包括感知 记忆 想象和思认识活动 它包括感知 记忆 想象和思 维 但以抽象思维为它的主要成分 维 但以抽象思维为它的主要成分 技能和能力技能和能力 是不同的概念 二者既是不同的概念 二者既 有联系 又有区别 技能是指完成一定任有联系 又有区别 技能是指完成一定任 务的活动方式 能力则是顺利完成任务的务的活动方式 能力则是顺利完成任务的 个性心理特征 技能的形成以一定的能力个性心理特征 技能的形成以一定的能力 为前提 反过来又对能力的发展起重要的为前提 反过来又对能力的发展起重要的 促进作用 促进作用 数学动作技能数学动作技能 指运用工具绘图的技指运用工具绘图的技 能 测量技能 使用计算工具的技能等 能 测量技能 使用计算工具的技能等 数学心智技能数学心智技能 指数的计算技能 式指数的计算技能 式 的恒等变形技能 解方程 解不等式的技的恒等变形技能 解方程 解不等式的技 能 推理论证技能 运用数学方法的技能能 推理论证技能 运用数学方法的技能 等 等 这两种数学技能既有这两种数学技能既有联系又有区别联系又有区别 一方面数学心智技能的形成 与数学动作一方面数学心智技能的形成 与数学动作 技能有关 另一方面 数学动作技能又受技能有关 另一方面 数学动作技能又受 数学心智技能控制 数学心智技能控制 数学认知技能数学认知技能 的形成 也有一个过的形成 也有一个过 14 程 就小学数学解题而言 可以概括成认程 就小学数学解题而言 可以概括成认 知阶段 联结形成阶段和自动阶段 知阶段 联结形成阶段和自动阶段 小学数学解题中的数学认知技能尽管小学数学解题中的数学认知技能尽管 有上述的几个阶段 有上述的几个阶段 但最终得以形成 都但最终得以形成 都 要经历一个从要经历一个从 会会 到到 熟熟 的过程 其的过程 其 间必须不断通过有计划 有目的的练习 间必须不断通过有计划 有目的的练习 才能完成这一转变 才能完成这一转变 发展 作为一般意义上的理解是指人发展 作为一般意义上的理解是指人 的各种特性在结构上和机能上的变化 发的各种特性在结构上和机能上的变化 发 展有生理发展和心理发展之分 展有生理发展和心理发展之分 四 认知发展 四 认知发展 是指与大脑生长和知是指与大脑生长和知 识技能有关的发展方面 涉及人在知觉 识技能有关的发展方面 涉及人在知觉 记忆 思维 语言 智力等方面种种功能记忆 思维 语言 智力等方面种种功能 的发展变化 的发展变化 小学数学认知发展小学数学认知发展可以理解为小学数可以理解为小学数 学认知结构和数学认知技能的发展 是通学认知结构和数学认知技能的发展 是通 过小学数学活动过程来体现的 过小学数学活动过程来体现的 认知发展认知发展 一般包含这几个阶段 一般包含这几个阶段 1 1 输入阶段输入阶段 2 2 同化同化 和顺应阶段和顺应阶段 3 3 应用阶段 以上三个阶段是应用阶段 以上三个阶段是 密切联系的 密切联系的 第四章第四章小学数学解题的实质和结构小学数学解题的实质和结构 一 小学数学解题的含义 小学数学解题的含义 15 小学数学解题小学数学解题即小学数学领域中的问即小学数学领域中的问 题解决 不但要关心问题的结果 而且要题解决 不但要关心问题的结果 而且要 关心求得结果的过程 也就是问题解决的关心求得结果的过程 也就是问题解决的 整个思考活动 所以小学数学解题指的是整个思考活动 所以小学数学解题指的是 按照一定的思维对策进行的一个思维过程 按照一定的思维对策进行的一个思维过程 一步一步地靠近目标 最终达到目标 其一步一步地靠近目标 最终达到目标 其 含义就是思考的活动及探索的过程 含义就是思考的活动及探索的过程 1919 世纪中叶 德国数学家格拉斯曼才世纪中叶 德国数学家格拉斯曼才 成功地建立了一个算术基本公理体系 解成功地建立了一个算术基本公理体系 解 决和统一礼物在此之前人们一直混淆的上决和统一礼物在此之前人们一直混淆的上 述问题 述问题 小学数学解题也就意味着找出这样一小学数学解题也就意味着找出这样一 个数学的一般原理 定义 公理 法则 个数学的一般原理 定义 公理 法则 定律 公式 的序列 当应用他们到问题定律 公式 的序列 当应用他们到问题 的条件或者条件的推论 解法的中间结果 的条件或者条件的推论 解法的中间结果 时 就能得到问题所要求的答案 时 就能得到问题所要求的答案 二 二 小学数学解题的结构小学数学解题的结构 奥苏伯尔解题结构模式 奥苏伯尔解题结构模式 1 1 呈现问题的呈现问题的 情境情境 2 2 明确问题的目标与已知条件明确问题的目标与已知条件 3 3 填补空隙的过程填补空隙的过程 4 4 解答后的检验 解答后的检验 小学数学解题的几个阶段 小学数学解题的几个阶段 1 1 分析题分析题 意意 2 2 寻找解法寻找解法 3 3 实行解法实行解法 4 4 回顾解法回顾解法 16 三 三 小学数学解题的趋向小学数学解题的趋向 教育心理学认为根据解题者寻求解答的教育心理学认为根据解题者寻求解答的 趋向可以把解题分为趋向可以把解题分为两种主要方式两种主要方式 一 一 种是尝试错误式 另一种是顿悟式 种是尝试错误式 另一种是顿悟式 尝试错误式尝试错误式是由进行无定向的尝试 是由进行无定向的尝试 重复无效动作 纠正暂时性尝试错误 直重复无效动作 纠正暂时性尝试错误 直 至出现解决问题得以成功的一系列反应所至出现解决问题得以成功的一系列反应所 组成的行动 组成的行动 顿悟式顿悟式解决问题尝试错误式不同 它解决问题尝试错误式不同 它 具有一定的具有一定的 心向心向 努力发现手段与目标 努力发现手段与目标 之间的有意义的联系 而这种联系正是问之间的有意义的联系 而这种联系正是问 题赖以解决的基础 题赖以解决的基础 在小学数学解题中 尝试错误式和顿在小学数学解题中 尝试错误式和顿 悟式实际上司不能绝对化的 尝试错误式悟式实际上司不能绝对化的 尝试错误式 解决可能是隐含在内而不表露于外的 所解决可能是隐含在内而不表露于外的 所 以看不出是尝试错误式 未必就是顿悟式 以看不出是尝试错误式 未必就是顿悟式 顿悟式解题也不一定是彻底的 完善的和顿悟式解题也不一定是彻底的 完善的和 即时的 尽管看上去解答是突然出现的 即时的 尽管看上去解答是突然出现的 事实上却往往经历着一定的甚至是相当曲事实上却往往经历着一定的甚至是相当曲 折的过程 折的过程 四 四 小学数学解题的规则小学数学解题的规则 常规问题解题规则 常规问题解题规则 1 1 公式规则公式规则 2 2 恒等恒等 17 式规则式规则 3 3 定理规则定理规则 4 4 定义规则定义规则 非常规问题就是没有一般解题规则的非常规问题就是没有一般解题规则的 数学问题 它的解题步骤序列 数学问题 它的解题步骤序列 可以利用可以利用 技巧将其转化为等价的常规问题 或分解技巧将其转化为等价的常规问题 或分解 为若干个小常规问题 或通过分析 综合为若干个小常规问题 或通过分析 综合 等方法来寻求 等方法来寻求 算术基本公式体系是小学数学中的定算术基本公式体系是小学数学中的定 义 公理 定理 法则等之间的逻辑关系 义 公理 定理 法则等之间的逻辑关系 小学数学解题是以思考为内涵 以问小学数学解题是以思考为内涵 以问 题目标为定向的心理活动过程 题目标为定向的心理活动过程 第五章第五章 小学数学解题的思想方法小学数学解题的思想方法 化归化归 类比类比 归纳归纳 美籍匈牙利数学家波利亚在美籍匈牙利数学家波利亚在 怎样解怎样解 题题 数学与合情推理数学与合情推理 关于数学解题关于数学解题 的核心观点就是发现与再创造 的核心观点就是发现与再创造 苏联苏联 娅诺夫斯卡娅娅诺夫斯卡娅 解题意味着什么解题意味着什么 解题也就意味着把所要解的问题转化解题也就意味着把所要解的问题转化 到已经解过的问题 到已经解过的问题 法国法国 笛卡尔笛卡尔 我所解决的每一个问题我所解决的每一个问题 都将成为范例 以用于解决其他问题 都将成为范例 以用于解决其他问题 一 化归法的一般模式为 一 化归法的一般模式为 18 化归法的特点 化归法的特点 在于它具有较强的目在于它具有较强的目 的性 方向性和概括性的性 方向性和概括性 基本原则 基本原则 是由未知到已知 由难到是由未知到已知 由难到 易 由繁到简 易 由繁到简 它的方向就是如何实现由所要解决的它的方向就是如何实现由所要解决的 问题向已解决的或较容易解决的问题的转问题向已解决的或较容易解决的问题的转 化 这里蕴含着发现 发明及创造性的活化 这里蕴含着发现 发明及创造性的活 动 动 从广义上的理解化归是一种思想 如从广义上的理解化归是一种思想 如 果从狭义上来看 果从狭义上来看 化归乃是重要的常用的化归乃是重要的常用的 和具体的解决方法之一 而且又有分割组和具体的解决方法之一 而且又有分割组 合 映射反演等分别 合 映射反演等分别 分割组合的一般模式分割组合的一般模式 分割组合 分割组合 就是把所要求的问题 按就是把所要求的问题 按 照可能和需要 分割成若干部分 使他们照可能和需要 分割成若干部分 使他们 更容易于求解 再将这些解答有机地组合更容易于求解 再将这些解答有机地组合 起来 过渡到问题的最终结论 起来 过渡到问题的最终结论 映射反演映射反演就是映射和反演两种方法并就是映射和反演两种方法并 用 用 映射 映射 就是在两类数学对象或两个数就是在两类数学对象或两个数 学集合的元素之间建立的某种对应关系 学集合的元素之间建立的某种对应关系 反演 反演 就是从已知运算往回推 每一就是从已知运算往回推 每一 19 步运算都以其逆运算来代替 相对映射而步运算都以其逆运算来代替 相对映射而 言 反演就是逆映射 言 反演就是逆映射 在数学解题中 这种在数学解题中 这种映射反演具体表映射反演具体表 现现为坐标法 复数定向法 换元法等 为坐标法 复数定向法 换元法等 万能发现法 笛卡尔 万能发现法 笛卡尔 这种模式在某些情况下是不适用的 这种模式在某些情况下是不适用的 这种方法包含了这种方法包含了 数学化数学化 代数化代数化 计算化计算化 等合理的化归思想方法 等合理的化归思想方法 二 二 类比法类比法 是根据两个或两类不同是根据两个或两类不同 的对象在某些方面 如特征 属性 关系的对象在某些方面 如特征 属性 关系 等 的类同之处 猜测着两个对象在其它等 的类同之处 猜测着两个对象在其它 方面也可能有类同之处 并作出某种判断方面也可能有类同之处 并作出某种判断 的推理方法 的推理方法 基本模式 基本模式 类比的结论属于或然性推论 因为从类比的结论属于或然性推论 因为从 前提到结论并不具备逻辑必然性 也就是前提到结论并不具备逻辑必然性 也就是 说 类比也有一定的局限性 其结论常常说 类比也有一定的局限性 其结论常常 是不可靠地的 甚至是完全错误的 是不可靠地的 甚至是完全错误的 三 归纳法三 归纳法 是指通过对特殊情形的是指通过对特殊情形的 分析引出普遍的结论的推理方法 德国大分析引出普遍的结论的推理方法 德国大 数学家高斯就曾说过 他的许多定理靠的数学家高斯就曾说过 他的许多定理靠的 是归纳法发明的 证明只是一个补行的手是归纳法发明的 证明只是一个补行的手 20 续 归纳常常是建立在有目的 有计划的续 归纳常常是建立在有目的 有计划的 观察和试验基础上的 观察和试验基础上的 根据对象是否完备 归纳法又分为完根据对象是否完备 归纳法又分为完 全归纳法和不完全归纳法两种 全归纳法和不完全归纳法两种 完全归纳法完全归纳法 是根据某类事物中每一是根据某类事物中每一 个对象的情况或每一个子类的情况 而作个对象的情况或每一个子类的情况 而作 出该类事物的一般性结论的推理 出该类事物的一般性结论的推理 上面两种安全归纳推理 前者根据每上面两种安全归纳推理 前者根据每 一个情况而得出一般性结论 后者根据每一个情况而得出一般性结论 后者根据每 一类特殊 子类 情况而得出一般性结论 一类特殊 子类 情况而得出一般性结论 它们子本质上是相互联系的 前者是后者它们子本质上是相互联系的 前者是后者 的特例 后者死前者的推广 所以 通常的特例 后者死前者的推广 所以 通常 也可以把后者作为完全归纳推理的一般形也可以把后者作为完全归纳推理的一般形 式 式 完全归纳法实质上也是一种演绎推理 完全归纳法实质上也是一种演绎推理 不完全归纳法不完全归纳法 是根据对某类事物中是根据对某类事物中 的一部分对象的情况 而作出关于该事物的一部分对象的情况 而作出关于该事物 的一般性结论的推理 不完全归纳法的推的一般性结论的推理 不完全归纳法的推 理形式 理形式 和归纳法不同 数学归纳法属于论证和归纳法不同 数学归纳法属于论证 的范畴 而不是猜测的方法 但是在归纳的范畴 而不是猜测的方法 但是在归纳 21 法与数学归纳法之间也存在着相互依赖 法与数学归纳法之间也存在着相互依赖 相互渗透的辩证关系 换言之 数学归纳相互渗透的辩证关系 换言之 数学归纳 法所证明的往往是由归纳法所得出的猜测 法所证明的往往是由归纳法所得出的猜测 而归纳法所得出的猜测有些可用数学归纳而归纳法所得出的猜测有些可用数学归纳 法来证明 而且 更为重要的是 归纳的法来证明 而且 更为重要的是 归纳的 过程往往为应用数学归纳法去证明相应的过程往往为应用数学归纳法去证明相应的 结论打下了基础 反之证明的过程则加深结论打下了基础 反之证明的过程则加深 了对原来猜测的理解 了对原来猜测的理解 四四 创造性及其体现创造性及其体现 创造 创造 一般是指创造者的主观意识活动 一般是指创造者的主观意识活动 通过科学实践而对自然界的某一方面或通过科学实践而对自然界的某一方面或 某些方面的合乎规律的反映 它是一种某些方面的合乎规律的反映 它是一种 现象 现象 创造的三大基本特征创造的三大基本特征 1 1 实践性实践性 2 2 创创 造者的创造能力充分发挥造者的创造能力充分发挥 3 3 创新性 即开创新性 即开 创性和新颖性 创性和新颖性 创造性作为一个认知范畴的概念 系创造性作为一个认知范畴的概念 系 指一种能力或特性 按教育心理学的观点 指一种能力或特性 按教育心理学的观点 它和人的智力 智慧品质以及人格等有着它和人的智力 智慧品质以及人格等有着 密切的关系 密切的关系 创造和创造性不能等同 不可相互替创造和创造性不能等同 不可相互替 代 但两者共处一体 因为如果强调过程 代 但两者共处一体 因为如果强调过程 22 着眼于心理机制的话 那么创造即是一种着眼于心理机制的话 那么创造即是一种 特殊的解决问题的活动 是解决问题的最特殊的解决问题的活动 是解决问题的最 高表现 而任何问题的解决都需要一定的高表现 而任何问题的解决都需要一定的 创造性作为基础 创造性作为基础 创造性既然贯穿在始于问题提出 终创造性既然贯穿在始于问题提出 终 于问题解决这一创造过程中 就起内涵来于问题解决这一创造过程中 就起内涵来 说 它也具有一定的阶段性 说 它也具有一定的阶段性 想象 灵感和直觉 通常被人们称做想象 灵感和直觉 通常被人们称做 创造性的精华 创造性的精华 核心 核心 想象 想象 是在头脑中改造记忆中的表象是在头脑中改造记忆中的表象 而创造新形象的过程 它既是一种具有极而创造新形象的过程 它既是一种具有极 大的自由度的思维活动形式 同时又是可大的自由度的思维活动形式 同时又是可 以自觉地引导进行的一种积极主动的心理以自觉地引导进行的一种积极主动的心理 形象 形象 灵感灵感 是指人们在创造过程中 由于是指人们在创造过程中 由于 某种诱因的作用而突发的一种非逻辑的思某种诱因的作用而突发的一种非逻辑的思 维活动 维活动 灵感的特点 灵感的特点 灵感引发的随机性 灵灵感引发的随机性 灵 感显现的暂时性 灵感显现过程中的情感感显现的暂时性 灵感显现过程中的情感 性 性 灵感的产生不是凭空生产的 不是考灵感的产生不是凭空生产的 不是考 等待就能来临的 它的诱发有着漫长的有等待就能来临的 它的诱发有着漫长的有 23 意识的活动 有着相当的辛勤努力和实践意识的活动 有着相当的辛勤努力和实践 为基础 如爱迪生说 天才乃是为基础 如爱迪生说 天才乃是 99 99 的勤奋的勤奋 加上加上 1 1 的灵感 的灵感 小学数学解题中 我们也应该通过有小学数学解题中 我们也应该通过有 意识的思考 去诱发灵感 意识的思考 去诱发灵感 直觉简单得说就是直接去觉察 直觉简单得说就是直接去觉察 直觉的三个明显的特征 直觉的三个明显的特征 1 1 它对问题的内在规律 即客观事它对问题的内在规律 即客观事 物的本质联系 的深刻理解 物的本质联系 的深刻理解 2 2 这种理解来自经验的积累 这种理解来自经验的积累 3 3 经验积累到一定的程度突然理性经验积累到一定的程度突然理性 与感性产生共鸣时 表现为豁然贯与感性产生共鸣时 表现为豁然贯 通的一种顿悟式的理解 通的一种顿悟式的理解 直觉 直觉 是从感性经验达到理性飞跃是从感性经验达到理性飞跃 的人的认识过程的一种特殊表现形的人的认识过程的一种特殊表现形 式 是逻辑顺序的高度简缩 式 是逻辑顺序的高度简缩 总之想象 灵感 直觉的出现 不总之想象 灵感 直觉的出现 不 仅意味着常规思维中的仅意味着常规思维中的 跳跃跳跃 逻 逻 辑顺序的辑顺序的 中断中断 及由此而得到的 及由此而得到的 创造性 而且三者常常又是紧密联创造性 而且三者常常又是紧密联 系和相互作用的 或是想象诱发了系和相互作用的 或是想象诱发了 灵感和直觉 或是灵感和直觉唤起灵感和直觉 或是灵感和直觉唤起 24 了活跃的想象 了活跃的想象 第六章第六章 小学数学解题能力分析小学数学解题能力分析 一 一 小学数学解题能力的成分小学数学解题能力的成分 从广义上讲 从广义上讲 数学能力数学能力是顺利完成数学活是顺利完成数学活 动所必备的 且直接影响其活动效率的一动所必备的 且直接影响其活动效率的一 种心理特征 它是在数学活动过程中形成种心理特征 它是在数学活动过程中形成 和发展起来的 并在这类活动中主要变现和发展起来的 并在这类活动中主要变现 出来的比较稳定的心理特征 从狭义上讲 出来的比较稳定的心理特征 从狭义上讲 数学能力即理解为解决数学问题的个性特数学能力即理解为解决数学问题的个性特 征 征 运算能力运算能力 这些运算能力最初表现为这些运算能力最初表现为 对其知识的理解和技能的形成上 进而体对其知识的理解和技能的形成上 进而体 现在根据具体问题的特点 恰当地合理运现在根据具体问题的特点 恰当地合理运 用运算 与其他各种运算的灵活运用和巧用运算 与其他各种运算的灵活运用和巧 妙的结合上 这也就表现出一种解题的能妙的结合上 这也就表现出一种解题的能 力 即运算能力 力 即运算能力 空间想象能力 空间想象能力 在空间形式的问题中 在空间形式的问题中 所要研究的是图形的形状 图形的大小 所要研究的是图形的形状 图形的大小 图形与图形的位置的关系等 在研究过程图形与图形的位置的关系等 在研究过程 中 除直接给出一些基本图形的性质外 中 除直接给出一些基本图形的性质外 总是要根据所给具体图形的特点和解决它总是要根据所给具体图形的特点和解决它 的需要 把它分解和重新组合 即在头脑的需要 把它分解和重新组合 即在头脑 25 中进行感知和操作 出现或构造出一些异中进行感知和操作 出现或构造出一些异 于所给图形的新图形 并找到新的关系 于所给图形的新图形 并找到新的关系 这又表现出一种解题的能力即空间想象能这又表现出一种解题的能力即空间想象能 力 力 逻辑思维能力 逻辑思维能力 数学问题的解决是解数学问题的解决是解 题者从感知获得的感性材料出发 通过分题者从感知获得的感性材料出发 通过分 析和综合 抽象和概括 判断和推理等逻析和综合 抽象和概括 判断和推理等逻 辑思维方法 去粗取精 去伪取真 由此辑思维方法 去粗取精 去伪取真 由此 及彼 由表及里的改造 才上升到理性认及彼 由表及里的改造 才上升到理性认 识 从而领会和掌握数学的规律和本质 识 从而领会和掌握数学的规律和本质 因此 这仍然表现出一种解题的能力 逻因此 这仍然表现出一种解题的能力 逻 辑思维能力这三者之间的关系既相互区别 辑思维能力这三者之间的关系既相互区别 又相互联系和制约的 所以习惯上把他们又相互联系和制约的 所以习惯上把他们 概括成数学解题能力的主要成分 概括成数学解题能力的主要成分 瑞典心理学家魏德林为代表的欧美心瑞典心理学家魏德林为代表的欧美心 理学家认为组成数学解题能力的因素有 理学家认为组成数学解题能力的因素有 1 1 一般因素一般因素 G G 主要指智力因素 主要指智力因素 2 2 数因素数因素 N N 对数概念的理解和应用 对数概念的理解和应用 3 3 空间因素空间因素 S S 对空间形式的理解 想 对空间形式的理解 想 象和抽象 象和抽象 4 4 语言因素语言因素 V V 用语言表达数学关系 用语言表达数学关系 5 5 推理因素推理因素 R R 运用逻辑思维 形象思 运用逻辑思维 形象思 26 维和直觉思维 维和直觉思维 日本的大桥正夫等学者 认为数学解题日本的大桥正夫等学者 认为数学解题 能力包括以下三个方面 能力包括以下三个方面 A A 数理性的领会能力 具体要求是使数理性的领会能力 具体要求是使 之抽象化 使之数量化和图形化 之抽象化 使之数量化和图形化 使之记号化或形式化 使之记号化或形式化 B B 概括能力 具体要求是使之扩展 概括能力 具体要求是使之扩展 集中归纳 改变观点和改变条件 集中归纳 改变观点和改变条件 C C 思维能力 具体要求是有计划按步思维能力 具体要求是有计划按步 骤地进行思考 进行类比或对比 骤地进行思考 进行类比或对比 有根据地进行证明 有根据地进行证明 苏联心理学家鲁捷茨基 苏联心理学家鲁捷茨基 1 1 使数学使数学 材料形式化能力材料形式化能力 2 2 概括数学材料的能力概括数学材料的能力 3 3 用数学和其他符号进行运算能力用数学和其他符号进行运算能力 4 4 连连 续而有节奏的逻辑推理能力续而有节奏的逻辑推理能力 5 5 缩短推理缩短推理 过程的能力过程的能力 6 6 逆转心理过程的能力逆转心理过程的能力 7 7 灵灵 活的思维能力活的思维能力 8 8 数学记忆能力数学记忆能力 9 9 形成空形成空 间概念的能力间概念的能力 10 10 借助形象化 直观 借助形象化 直观 努力 努力 我们认为小学数学解题能力是取决我们认为小学数学解题能力是取决 于数学学科和数学活动的个人特性 是于数学学科和数学活动的个人特性 是 小学生顺利完成解题这种特殊的数学活小学生顺利完成解题这种特殊的数学活 27 动时所表现出来的心理品质的综合 动时所表现出来的心理品质的综合 概概 括数学材料 逆转心理过程 灵活性 括数学材料 逆转心理过程 灵活性 借助形象化等即是这种心理品质综合体借助形象化等即是这种心理品质综合体 中的具体成分 中的具体成分 二 二 概括数学材料能力主要表现 概括数学材料能力主要表现 1 1 在在 从所给数学材料的形成和结构中 能迅从所给数学材料的形成和结构中 能迅 速抓住事物的速抓住事物的 数数 和和 形形 找出或发 找出或发 现具有数学意义的关系与特征现具有数学意义的关系与特征 2 2 正确辨正确辨 认出或分离出某些对解决问题有效的成认出或分离出某些对解决问题有效的成 分与有数学意义的结构 分与有数学意义的结构 概括数学材料 还在于感知题目的概括数学材料 还在于感知题目的 形式结构 所谓题目的形式结构是指构形式结构 所谓题目的形式结构是指构 成题目实质的相互关联的量的综合体 成题目实质的相互关联的量的综合体 概括数学材料的能力还充分体现在概括数学材料的能力还充分体现在 这样两个方面 一是从特殊的和具体的这样两个方面 一是从特殊的和具体的 事物中 概括出某些一般的熟识的教学事物中 概括出某些一般的熟识的教学 模式 二是从孤立的和特殊的事物中 模式 二是从孤立的和特殊的事物中 概括出未知的数学模式 综合起来也就概括出未知的数学模式 综合起来也就 是从具体内容摆脱出来 并且在各种对是从具体内容摆脱出来 并