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第四章水文统计 研究对象 随机变量研究内容 随机变量的概率分布 频率计算 随机变量间的相关关系 相关分析 第一节概述 1水文现象水文现象是一种自然现象 它具有必然性的一面 也具有偶然性的一面 必然现象是指事物在发展 变化中必然会出现的现象 水文学中称水文现象的这种必然性为确定性 偶然现象是指事物在发展 变化中可能出现也可能不出现的现象 偶然现象也称随机现象 偶然现象仍然是有规律的 一般称为统计规律 2水文统计数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论 由随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为数理统计学 概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上 称为水文统计 3水文统计的任务水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统计变化特性 并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义下的定量预估 以满足工程规划 设计 施工以及运营期间的需要 水文统计的基本方法和内容具体有以下三点 1 根据已有的资料 样本 进行频率计算 推求指定频率的水文特征值 2 研究水文现象之间的统计关系 应用这种关系延长 插补水文特征值和作水文预报 第二节事件 概率 随机变量 事件随机试验的结果 概率在同等可能的条件下 随机事件在试验的结果中可能出现也可能不出现 其出现或不出现的可能性大小称为概率 频率随机事件A在重复n次试验中出现了m次 则称为事件A在n次试验中出现的频率 当试验次数n无限增大时 随机事件的频率稳定在某一个数附近 此时频率趋于概率 可以频率作为概率的近似值 随机变量表示随机试验结果的数量 随机变量的概率分布水文学习惯研究事件的概率及其分布 称为随机变量的分布函数 代表随机变量大于等于某一取值的概率 其几何图形称为随机变量的概率分布曲线 在水文学上通常称为随机变量的累积频率曲线 简称频率曲线 概率密度函数 密度曲线 随机变量落入区间的概率与区间长度之比值 第三节经验频率曲线 1 经验频率曲线的绘制设某一随机变量实测系列 则其经验频率曲线绘制步骤如下 1 根据实测水文资料 按从大到小的顺序排列 2 用经验频率公式计算系列中各项的频率 称为经验频率 3 以水文变量X为纵坐标 以经验频率P为横坐标 点绘经验频率点据 4 根据点群趋势绘出一条平滑的曲线 称为经验频率曲线 有了经验频率曲线 即可在曲线上求得指定频率P的水文变量值 对经验频率的计算 目前我国水文计算上广泛采用的是数学期望公式 式中p 等于和大于Xm的经验频率 m Xm的序号 即等于和大于Xm的项数 n 系列的总项数 2 经验频率曲线存在的问题经验频率曲线计算工作量小 绘制简单 查用方便 但受实测资料所限 往往难以满足设计上的需要 为此 提出用理论频率曲线来配合经验点据 这就是水文频率计算适线 配线 法 3频率与重现期的关系频率曲线绘制后 就可在频率曲线上求出指定频率p的设计值xp 由于 频率 较为抽象 水文上常用 重现期 来代替 频率 所谓重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次 又称多少年一遇 频率P与重现期T的关系有两种表示方法 1 当为了防洪研究暴雨洪水问题时 一般设计频率P 50 则 2 当考虑水库兴利调节研究枯水问题时 设计频率P 50 则 第四节水文频率曲线线型 1正态分布正态分布具有如下形式的概率密度函数 x 频率格纸正态频率曲线在普通格纸上是一条规则的S形曲线 它在P 50 前后的曲线方向虽然相反 但形状完全一样 水文计算中常用的一种 频率格纸 其横坐标的分划就是按把标准正态频率曲线拉成一条直线的原理计算出来的 2皮尔逊 P 型曲线皮尔逊 型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰 正偏曲线 数学上常称伽玛分布 P 概率密度函数为 式中 的伽玛函数 a0 分别为皮尔逊 型分布的形状尺度和位置未知参数 0 0 三个参数与总体三个参数x Cv CS具有如下关系 皮尔逊 型频率曲线及其绘制水文计算中 一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值Xp 也就是通过对密度曲线进行积分 即 求出等于及大于Xp的累积频率P值 直接由上式计算P值非常麻烦 实际做法是通过变量转换 根据拟定的Cs值进行积分 并将成果制成专用表格 从而使计算工作大大简化 令则有 是标准化变量 称为离均系数 其均值为0 标准差为1 经标准化变换后 式中被积函数只含有一个待定参数CS 其它两个参数xC v都包含在经验频率曲线 中 因此 只需要假定一个CS值 便可通过积分求出p与 之间的关系 对于若干个给定的CS值 p与 的对应数值表 已先后由美国福斯特和前苏联雷布京制作出来 皮尔逊 型频率曲线的离均系数 值表 给定参数后 由 就可以求出相应频率p的x值 皮尔逊 型频率曲线绘制步骤在统计参数已知情况下 可按以下步骤绘制皮尔逊 型频率曲线 1 从值表中选取若干个频率 2 由Cs值 查值表得出不同的值 3 利用值 通过式求出于各种相应的值 以为纵坐标 为横坐标 从而可绘出理论频率曲线 皮尔逊 型频率曲线计算表 实例 以频率为横坐标 为纵坐标 点绘理论频率曲线 下图为其示意图 第五节频率曲线参数估计方法 在概率分布函数中都含有一些表示分布特征的参数 例如皮尔逊III型分布曲线中就包含有平均数 离差系数 Cv 和偏差系数 Cs 三个参数 水文频率曲线线型选定之后 为了具体确定出概率分布函数 就得估计出这些参数 目前 由样本估计总体参数的方法主要有矩法 三点法 权函数法 适线法等 一 随机变量的统计参数1 位置特征参数平均数 中位数 众数平均数 反映随机变量的分布中心 代表随机变量的整体水平 2 离散特征参数均方差 离差系数 偏差系数均方差 离差平方的平均数的开方 离差系数 均方差与平均数的比值 偏差系数 衡量随机变量的取值对分布中心的对称程度 离差立方的平均数与均方差立方的比值 二 随机变量统计参数的估计由样本统计参数来估计总体统计参数 一 矩法矩法是用样本矩估计总体矩 并通过矩和参数之间的关系 来估计频率曲线参数的一种方法 一阶原点矩的计算式就是均值 均方差 的计算式为二阶中心矩开方 偏态系数Cs计算式中的分子则为三阶中心矩 由此 得到计算参数的公式 它们与相应的总体同名参数不一定相等 设随机变量样本系列为 样本统计参数计算式 无偏估计量 均值 均方差 离差系数 偏差系数 Cs抽样误差太大 水文计算上习惯称上述公式为无偏估值公式 并用它们估算总体参数 作为配线法的参考数值 配线法将在下面介绍 二 权函数法当样本容量较小时 用矩法估计参数 产生一定的计算误差 其中尤以Cs的计算误差较大 为提高Cs计算精度 近年来提出了不少方法 其中以权函数法比较有效 马秀峰于1984年提出 三 适线法第六节内容 第六节水文频率计算适线法 适线法 或称配线法 是以经验频率点据为基础 在一定的适线准则下 求解与经验点据拟合最优的频率曲线参数 是我国估计水文频率曲线统计参数的主要方法 适线法主要有两大类 即目估适线法和优化适线法 一 目估适线法1 目估适线法的步骤目估适线法是以经验频率点据为基础 给它们选配一条配合较好的理论频率曲线 并以此来估计随机变量总体的统计规律 具体步骤如下 1 将实测资料由大到小排列 计算各项的经验频率 在频率格纸上点绘经验点据 纵坐标为变量的取值 横坐标为对应的经验频率 2 选定水文频率分布线型 一般选用皮尔逊 型 3 先采用矩法或其它方法估计出频率曲线参数的初估值 Cv 而Cs凭经验初选为Cv的倍数 4 根据拟定的 Cv和Cs 查附表1或附表2 计算值 以X为纵坐标 P为横坐标 即可得到频率曲线 将此线画在绘有经验点据的图上 看与经验点据配合的情况 若不理想 可通过调整x cv和cs点绘频率曲线 5 最后根据频率曲线与经验点据的配合情况 从中选出一条与经验点据配合较好的曲线作为采用曲线 相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值 6 求指定频率的水文变量设计值 2 统计参数对频率曲线的影响为了避免配线时调整参数的盲目性 必须了解皮尔逊 型分布的统计参数对频率曲线的影响 固定皮尔逊 型频率曲线的两个参数 改变第三个统计参数 可以使频率曲线发生很大的变化 1 均值对频率曲线的影响 统计参数对皮尔逊型曲线的影响 2 变差系数Cv对频率曲线的影响为了消除均值的影响 我们以模比系数K为变量绘制频率曲线 Cs 1 0 Cv 0时 随机变量的取值都等于均值 此时频率曲线即为k 1的一条水平线 随着Cv的增大 频率曲线的偏离程度也随之增大 曲线显得越来越陡 3 偏态系数Cs对频率曲线的影响正偏情况下 Cs愈大 均值对应的频率愈小 频率曲线的中部愈向左偏 且上段愈陡 下段愈平缓 二 优化适线法优化适线法是在一定的适线准则 即目标函数 下 求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数的方法 优化适线法按不同的适线准则分为三种 即离差平方和最小准则 OLS 离差绝对值和最小准则 ABS 其中以离差平方和最小准则 OLS 最为常用 解释离差含义 离差平方和准则的适线法又称最小二乘估计法 频率曲线统计参数的最小二乘估计是使经验点据和同频率的频率曲线纵坐标之差的平方和达到极小 对于皮尔逊III型曲线 使下列目标函数取极小值 即式中Q 参数 频率曲线的纵坐标 说明 1 以离差平方和准则的优化适线法估计所得的参数 和目估适线法的结果比较接近 因此在以优化适线估计参数时 最好用离差平方和准则 2 对适线法而言 影响参数估计精度的关键是样本各项的经验频率估计 特别是序号为1 2 3等项的经验频率估计尤为重要 以期望公式估计的经验频率是基于样本处于平均情况的考虑 其抽样误差较大 但随着样本容量的增大 误差较小 3 减小抽样误差最有效的途径是增大样本容量 第五节相关分析 一 相关关系的概念1 相关的意义与应用按数理统计法建立两个或多个随机变量之间的联系 称之为相关关系 把对这种关系的分析和建立称为相关分析 相关分析可以用来延长和插补短系列 2 相关的种类根据变量之间相互关系的密切程度 变量之间的关系有三种情况 即完全相关 零相关 统计相关 简相关 复相关 3 相关分析的内容相关分析 或回归分析 的内容一般包括三个方面 1 判定变量间是否存在相关关系 若存在 计算其相关系数 以判断相关的密切程度 2 确定变量间的数量关系 回归方程或相关线 3 根据自变量的值 预报或延长 插补倚变量的值 二 简直线相关1 相关图解法设xi和yi代表两系列的观测值共有n对 把对应值点绘于方格纸上 得到很多相关点 如果相关点的平均趋势近似直线 即可通过点群中心绘出相关直线 由查相关图即可得出 2 相关分析法如果相关点据分布较散 目估定线存在一定的任意性 为此 最好采用分析法来确定相关线的方程 设直线方程的形式为 观测点与配合的直线在纵坐标方向的离差 要使直线拟合 最佳 须使离差的平方和为 最小 即为极小值 解得 其中 y倚x的回归方程 x倚y的回归方程 3 相关分析的误差回归线的误差回归线仅是观测点据的最佳配合线 通常观测点据并不完全落在回归线上 而是散布于回归线的两旁 因此 回归线只反映两变量间的平均关系 按此关系由推求的和实际值之间存在着误差 误差大小一般采用均方误来表示 相关系数误差在相关分析中 相关系数是根据有限的实测资料 样本 计算出来的 必然会有抽样误差 相关系数的统计检验总体不相关 r 0 的两变量 由于抽样原因 样本的相关系数不一定等于零 为此 需要对相关系数进行检验 统计检验 略 相关系数的机误 当时 则认为相关系数存在 插补延长系列时应注意的问题 1 变量间应具有成因联系 2 同期观测资料不能太少 3 相关系数大于0 8 三 简曲线相关许多水文现象间的关系 并不表现为直线关系而具有曲线相关的形式 水文上常采用幂函数 指数函数两种曲线 基本作法是将其转换为直线 再进行直线回归分析 1 幂函数幂函数的一般形式为两边取对数令则有对X和Y而言就是直线关系 可对其作直线回归分析 2 指数函数指数函数的一般形式为两边取对数令则有对X和Y同样也可作直线相关分析 四 复相关1 图解法复相关的计算 在工程上采用图解法选配相关线 倚变量z受自变量x和y两变量的影响 可以根据实测点绘出z与x的对应值于方格纸上 并在点旁注明y值 然后做出y值相等的 y等值线 这样点绘出来的图 就是复相关关系图 除图所示的复直线相关图外 还有复曲线相关图 它们在水文计算和水文预报中经常会遇到 2 分析法复相关计算除用图解法以外 还可用分析法 分析法主要用于复直线相关分析 或称复直线回归分析 多元线性回归分析 有关多个自变量的复直线回归分析 其原理与前面介绍的简直线 一元 回归分析大致相同 所不同的是回归直线方程中系数 回归系数 的确定需要求解更为复杂的线性代数方程组 本章小结水文统计包括频率计算和相关分析两部分内容 是工程水文学的理论基础和技术工具 频率计算主要用于水利水电工程的规划和设计 可以把年降水量 年径流量 年最大洪峰流量 年最小枯水流量等看作是随机变量 求它们的频率分布 频率曲线 并以此作为总体概率分布的估计 频率曲线的推求用适线法给经验频率点群选配一条最佳的配合线 适线法需要选定一种线型 在我国主要采用皮尔逊III型曲线 经验频率计算公式在我国主要采用数学期望公式 矩法 三点法 权函数法等都是配线过程中初估统计参数的方法 不论采用哪一种初估方法 都不应影响配线的最后结果 频率计算中有一些重要概念应当注意 它们是 总体 样本 概率 频率 频率与重现期的关系 经验频率曲线和理论频率曲线 抽样误差 样本参数的无偏估计值 频率格纸 统计参数对频率曲线的影响等 相关分析又叫回归分析 在水利水电工程规划设计中常用于展延样本系列以提高样本的代表性 同时 也广泛应用于水文预报 相关关系有直线相关 曲线相关 又有二变量 三变量和多变量相关 一元 二元和多元回归 相关分析方法有图解法和计算法两种 不论哪种情况 相关分析都需要求出变量间关系的表达式或图形 以及相关的密切程度 小测验 1 在流域径流消退过程中 退水速度最快 1 地表径流 2 壤中径流 3 地下径流2 某闭合流域多年平均雨量1100mm 多年平均径流深400mm 则多年平均蒸发量为 mm 1 400 2 700 3 15003 如果平原地区的雨量站稀疏且分布不均匀 采用 计算面平均雨量比较合适 1 算术平均法 2 加权平均法 3 等雨深线图法 4 城市化地区一般不采用直接由流量资料推求设计洪水