2.1.3超几何分布

备课大师 免费备课第一站 第二章第二章 2 一 选择题 1 袋中有除颜色外完全相同的 3 个白球和 2 个红球 从中任取 2 个 那么下列事件中 发生的概率为的是 7 10 A 都不是白球B 恰有 1 个白球 C 至少有 1 个白球D 至多有 1 个白球 答案 D 解析 P 都不是白球 P 恰有 1 个白球 P 至少有 1 个白球 C2 2 C2 5 1 10 C1 3C1 2 C2 5 3 5 C1 3C1 2 C2 3 C2 5 9 10 P 至多有 1 个白球 故选 D C2 2 C1 3C1 2 C2 5 7 10 2 有 20 个零件 其中 16 个一等品 4 个二等品 若从这 20 个零件中任取 3 个 那 么至少有一个是一等品的概率是 A B C 1 16C2 4 C 3 20 C 2 16C2 4 C 3 20 C D 以上均不对 C 2 16C1 4 C 3 16 C 3 20 答案 D 解析 至少有一个是一等品的概率是 C 1 16C2 4 C 2 16C1 4 C 3 16C0 4 C 3 20 3 某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中 随机抽取了 45 名电视观众 其中 20 至 40 岁的有 18 人 大于 40 岁的有 27 人 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众 中随机抽取 5 名 在这 5 名观众中再任取 2 人 则恰有 1 名观众的年龄在 20 至 40 岁的概 率为 A B 1 5 3 5 C D 3 10 1 10 答案 B 备课大师 免费备课第一站 解析 由于是分层抽样 所以 5 名观众中 年龄为 20 至 40 岁的有 5 2 人 设随 18 45 机变量 X 表示 20 至 40 岁的人数 则 X 服从参数为 N 5 M 2 n 2 的超几何分布 故 P X 1 C1 2C1 3 C2 5 3 5 二 填空题 4 在 3 名女生和 2 名男生中任选 2 人参加一项交流活动 其中至少有 1 名男生的概率 为 答案 0 7 解析 5 名学生中抽取 2 人的方法有 C 种 至少有 1 名男生参加的可能结果有 2 5 C C C 种 所以概率为 0 7 1 2 1 32 2 C1 2C1 3 C2 2 C2 5 5 从一副不含大小王的 52 张扑克牌中任意抽出 5 张 至少有 3 张 A 的概率是 答案 0 001 8 解析 因为一副扑克牌中有 4 张 A 所以根据题意 抽到扑克牌 A 的张数 X 为离散型 随机变量 且 X 服从参数为 N 52 M 5 n 4 的超几何分布 它的可能取值为 0 1 2 3 4 根据超几何分布的公式得至少有 3 张 A 的概率为 P X 3 P X 3 P X 4 C3 4C 2 48 C 5 52 C4 4C 1 48 C 5 52 0 001 8 4 1 128 2 598 960 1 48 2 598 960 故至少有 3 张 A 的概率约为 0 001 8 三 解答题 6 盒中有 16 个白球和 4 个黑球 从中任意取出 3 个 设 表示其中黑球的个数 求 出 的分布列 分析 显然这是一个超几何分布的例子 N 20 M 4 n 3 利用 P m 求出概率值 则分布列可得 Cm MCn mN M Cn N 解析 可能取的值为 0 1 2 3 P 0 P 1 C0 4C 3 16 C 3 20 C1 4C 2 16 C 3 20 P 2 P 3 C2 4C 1 16 C 3 20 C3 4C 0 16 C 3 20 备课大师 免费备课第一站 的分布列为 0123 P C0 4C 3 16 C 3 20 C1 4C 2 16 C 3 20 C2 4C 1 16 C 3 20 C3 4C 0 16 C 3 20 点评 超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型 要理解 P m 的意义 然后求出的相应的概率 列出分布列即可 Cm MCn mN M Cn N 一 选择题 1 10 名同学中有 a 名女生 若从中抽取 2 个人作为学生代表 则恰抽取 1 名女生的 概率是 则 a 16 45 A 1B 2 或 8 C 2D 8 答案 B 解析 设 X 表示抽取的女生人数 则 X 服从超几何分布 P X 1 C1 aC110 a C 2 10 解得 a 2 或 a 8 a 10 a 45 16 45 2 一个盒子里装有除颜色外完全相同的黑球 10 个 红球 12 个 白球 4 个 从中任取 2 个 其中白球的个数记为 X 则下列算式中等于的是 C 1 22C1 4 C 2 22 C 2 26 A P 0 X 2 B P X 1 C P X 1 D P X 2 答案 B 解析 由 CC C可知 是从 22 个元素中取 1 个与从 4 个元素中取 1 个的可能 1 22 1 42 22 取法种数之积 加上从 22 个元素中取 2 个元素的可能取法种数 即 4 个白球中至多取 1 个 故选 B 3 若在甲袋内装有 8 个白球 4 个红球 在乙袋内装有 6 个白球 6 个红球 今从两 袋里任意取出 1 个球 设取出的白球个数为 X 则下列概率中等于的是 C1 8C1 6 C1 4C1 6 C 1 12C 1 12 A P X 0 B P X 2 C P X 1 D P X 2 答案 C 解析 当 X 1 时 有甲袋内取出的是白球 乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是 备课大师 免费备课第一站 红球 乙袋内取出的是白球个数是 X 1 时 有 P X 1 C1 8C1 6 C1 4C1 6 C 1 12C 1 12 4 有 10 件产品 其中 3 件是次品 从中任取两件 若 X 表示取得次品的个数 则 P X 2 等于 A B 7 15 8 15 C D 1 14 15 答案 C 解析 由题意 知 X 取 0 1 2 X 服从超几何分布 它取每个值的概率都符合等可能事 件的概率公式 即 P X 0 P X 1 P X 2 于是 C2 7 C 2 10 7 15 C1 7 C1 3 C 2 10 7 15 C2 3 C 2 10 1 15 P X 2 P X 0 P X 1 7 15 7 15 14 15 5 盒中有 10 个螺丝钉 其中有 3 个是坏的 现从盒中随机抽取 4 个 那么等于 3 10 A 恰有 1 个是坏的概率 B 恰有 2 个是好的概率 C 4 个全是好的概率 D 至多有 2 个是坏的概率 答案 B 解析 A 中 恰有 1 个是坏的概率 为 P1 B 中 恰有 2 个是好的 C1 3C3 7 C 4 10 105 210 1 2 概率 为 P2 C 中 4 个全是好的概率 为 P3 D 中 至多有 2 个是坏 C2 7C2 3 C 4 10 3 10 C4 7 C 4 10 1 6 的概率 为 P4 P1 P2 P3 故选 B 29 30 二 填空题 6 某班有 50 名学生 其中 15 人选修 A 课程 另外 35 人选修 B 课程 从班级中任选 两名学生 他们是选修不同课程的学生的概率是 答案 3 7 解析 将 50 名学生看做一批产品 其中选修 A 课程为不合格品 选修 B 课程为合格 品 随机抽取两名学生 X 表示选修 A 课程的学生数 则 X 服从超几何分布 其中 N 50 M 15 n 2 依题意所求概率为 P X 1 C 1 15C 2 150 15 C 2 50 3 7 备课大师 免费备课第一站 7 一批产品共 50 件 其中 5 件次品 45 件合格品 从这批产品中任意抽两件 则其 中出现次品的概率为 答案 47 245 解析 设抽到次品的件数为 X 则 X 服从参数为 N 50 M 5 n 2 的超几何分布 于是出现次品的概率为 P X 1 P X 1 P X 2 C1 5C 2 150 5 C 2 50 C2 5C 2 250 5 C 2 50 9 49 2 245 47 245 即出现次品的概率为 47 245 三 解答题 8 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛 设随机变量 X 表示所选 3 人中 女生的人数 1 求 X 的分布列 2 求 所选 3 人中女生人数不大于 1 的概率 分析 这个问题与取产品的问题类似 从中发现两个问题在本质上的一致性 从而 可用超几何分布来解决此问题 解析 1 X 的可能取值为 0 1 2 P X k k 0 1 2 Ck 2C3 k4 C3 6 所以 X 的分布列为 X012 P 1 5 3 5 1 5 2 P X 1 P X 0 P X 1 1 5 3 5 4 5 点评 本题考查超几何分布及分布列等概念 考查运用概率知识解决实际问题的能 力 解此类题首先要分析题意 确定所给问题是否是超几何分布问题 若是 则写出参数 N M n 的取值 然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率 写出其分布列 9 甲 乙两人参加一次英语口语考试 已知在备选的 10 道试题中 甲能答对其中的 6 道试题 乙能答对其中的 8 道试题 规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试 答对一题得 5 分 答错一题得 0 分 求 1 甲答对试题数 X 的分布列 2 乙所得分数 Y 的分布列 解析 1 X 的可能取值为 0 1 2 3 备课大师 免费备课第一站 P X 0 C3 4 C 3 10 1 30 P X 1 C2 4C1 6 C 3 10 3 10 P X 2 C1 4C2 6 C 3 10 1 2 P X 3 C3 6 C 3 10 1 6 所以甲答对试题数 X 的分布列为 X k0123 P X k 1 30 3 10 1 2 1 6 2 乙答对试题数可能为 1 2 3 所以乙所得分数 Y 5 10 15 P Y 5 C2 2C1 8 C 3 10 1 15 P X 10 C1 2C2 8 C 3 10 7 15 P Y 15 C3 8 C 3 10 7 15 所以乙所得分数 Y 的分布列为 Y51015 P 1 15 7 15 7 15 点评 此题两问都属于典型的超几何分布 关键是根据计数原理 完成随机变量各 取值的概率计算 在分析第 2 问随机变量的可能取值时 极容易忽视已知条件 乙能答对 8 道题 而错误地认为 Y 0 5 10 15 可见分析随机变量的可能取值一定要正确 同时 应注意 在求解分布列时可运用分布列的性质来检验答案是否正确 10 2014 天津理 16 某大学志愿者协会有 6 名男同学 4 名女同学 在这 10 名同学 中 3 名同学来自数学学院 其余 7 名同学来自物理 化学等其他互不相同的七个学院 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学 到希望小学进行支教活动 每位同学被选到的可能 性相同 1 求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率 2 设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数 求随机变量 X 的分布列和数学期望 解析 1 设 选出的 3 名同学是来自互不相同的学