利用教学内容的逻辑体系培养学生的逻辑思维能力

1 解析几何教学中的几个问题 1 曲线方程 渗透 2 几何 代数双管齐下 3 核心是解析法 4 从代数到几何 利用教学内容的逻辑体系 培养学生的逻辑思维能力 谈新教材上几个问题的 教学处理 陶维林 江苏南京师大附中 210003 高中数学新教材是教材编写人员根据教育部颁布的 普通高中数学课程标准 实验 以下称 新课程标准 周密思考 认真研究的结果 教学中对教材应该尊重 但教材 也是一家之言 因此未必需要照搬 根据具体情况 认真研究 灵活地使用教材是教学研 究的一项重要工作 本文就高中数学新教材 新课程标准 苏教版 教材 必修模块 数学 2 3 教学中 几个问题的处理 谈谈学习新课程标准 带着对数学本质认识 带着对数学教学所承载的 任务 培养学生的思维能力的认识来组织教学的体会 供同行参考 欠妥之处 恳请指 正 1 1 直线的倾斜角与斜率的教学处理直线的倾斜角与斜率的教学处理 解析几何的本质是用代数的方法研究解析几何的本质是用代数的方法研究 几何问题 教学中可以保持两条线并进 几何问题 教学中可以保持两条线并进 一是几何对象 一是代数方法 始终注意一是几何对象 一是代数方法 始终注意 数与形之间的紧密联系 数与形之间的紧密联系 1 1 为什么要定义倾斜角 为了刻画直线在坐标平面中的位置 为了刻画直线在坐标平面中的位置 2 为了区别经过同一点的不同直线的位置关为了区别经过同一点的不同直线的位置关 系系 需要定义倾斜角 明确了定义概念的目的 作用 也就明确了定义的必要性以及如 何定义这个概念 要用角来区别直线位置就需要一个基准 一个参照物 这个参照物就是 x 轴及它的正方向 角是由同一点出发的两条射线组成的图形 因此还需要规定直线的方 向 这就是向上或向右的方向 这样 直线的倾斜角是哪个角就明确了 由于目的清楚 自然直线的倾斜角的范围就应该是0 180 为什么不要 180 那是因为与 0 所刻画的是同一种位置状态 为什么不是 0 180 那是能用较小 的不用较大的 能用正的就不用负的 计算方便 合理 这样定义的倾斜角 平面内的任意一条直线都有倾斜角 很容易知道 倾斜角相等的 直线是平行的 反之 平行的直线的倾斜角相等 1 21 2 为什么要定义斜率为什么要定义斜率 是为了是为了对倾斜角进行代数刻画对倾斜角进行代数刻画 便于 便于 以后参与运算 用代数的方法处理几何问以后参与运算 用代数的方法处理几何问 题 题 我们规定 直线的斜率 k tan 90 这个规定是合理的 加上同学们有关于坡度意义的感受 乐意接受它 但是 斜率有 一个缺点 就是不能表示与 x 轴垂直的直线 换句话说 倾斜角不是 90 的直线的倾斜角 的正切值才称为该直线的斜率 至此 对直线倾斜程度的几何 代数两方面的刻画工作都已经完成 既然直线的倾斜角与斜率都是用来刻画直线的倾斜程度的 对他们之间的关系 k tan 就需要理解认识 比如 当直线的倾斜角是锐角时 直线的斜率是正数 当直线 的倾斜角是钝角时 直线的斜率是负数 当直线的倾斜角是零度时 直线的斜率等于零 同样 如果两条 不重合 直线都有斜率 那么 两直线平行时 倾斜角相等 斜率 相等 反过来 两直线的斜率相等时 倾斜角相等 它们平行 这样来进行两直线平行的 判断既合理又简单 顺利成章 而不是象新教材那样 构造两个直角三角形 利用它们相 似 对应边的比相等 来说明为什么两平行直线斜率相等 1 3 斜率公式是怎么回事 斜率公式k x1 x2 是斜率概念的一个应用 解决 y y2 2 y y1 1 x x2 2 x x1 1 的一个数学问题 两点确定一条直线 已知直线经过两点确定一条直线 已知直线经过 的两点可以求它的斜率 又是从几何到代的两点可以求它的斜率 又是从几何到代 数 并不同于前面的定义概念 数 并不同于前面的定义概念 3 弄清了以上关系 自然也就明确了教学顺序应该是什么 这样做学生会感到 数学是 自然的 清楚的 逻辑性强 而且是典型的解析几何研究问题的手法 从几何到代数 也 更符合新课程标准指出的 理解直线的倾斜角和斜率的概念 经历用代数方法刻画直线斜 率的过程 掌握过两点的直线斜率的计算公式 的要求 而不是象新教材那样 先由坡度 概念引进斜率公式 作为斜率的定义 最后再讲倾斜角 淡化了倾斜角与斜率之间的重要 关系 k tan 90 这样的顺序 可能打乱了数学知识之间的逻辑体系 对于培养 学生的逻辑思维能力不利 也许有人认为 学生在初中已经了解坡度的概念 应该从学生已有的认知结构出 发 我不反对从学生已经有的认知结构出发来组织教学这个观点 但是 对于学生已经有 的认知结构有个如何尊重 如何利用的问题 比如在学习了斜率以及斜率公式之后 问一 问学生 过去你们见过类似的概念吗 让学生把新知识与旧知识联系起来 感受到新知识 的生长点在哪里 未必不可 打乱数学知识之间的逻辑联系 迁就学生已经有的 又不是 非借助不可的知识结构来组织教学 可能是得不偿失的 2 直线方程的教学处理直线方程的教学处理 2 1 一个 定理 从几何上讲 一个点与一个方向可以确从几何上讲 一个点与一个方向可以确 定一条直线 从代数上讲 一个点的坐标定一条直线 从代数上讲 一个点的坐标 和一条直线的斜率可以确定直线的方程 和一条直线的斜率可以确定直线的方程 首先提出问题 首先提出问题 已知直线已知直线 l 经过点经过点 P x0 y0 斜率为 斜率为 k 求直线 求直线 l 的方程 的方程 所谓所谓 求直线求直线 l 的方程的方程 就是建立直线 就是建立直线 l 上任意一点上任意一点 M x y 坐标之间的关系 坐标之间的关系 式 于是 设式 于是 设 M x y 是直线 是直线 l 上任意一上任意一 点 点 根据斜率公式 有 k x x0 y y0 x x0 化简 得 y y0 k x x0 那么 这个方程有没有资格作为直线 l 的方程呢 直线 l 上的点的坐标都满足这个方程 从几何到代数 没有问题 问题在于 坐标满足这个方程的点都在这条直线 l 上 从代 数到几何 吗 这是需要证明的 设设 M x y 满足方程 满足方程 即有 即有 4 y y0 k x x0 如果如果 x x0 则 则 y y0 点 点 M 在直线在直线 l 上 没有问题 上 没有问题 如果如果 x x0 则 则 k y y y y0 0 x x x x0 0 这说明这说明 P M M 三点共线 点三点共线 点 M 在直在直 线线 l 上 也没有问题 上 也没有问题 由此 坐标满足方程由此 坐标满足方程 的点一定在直线的点一定在直线 l 上 上 这样一来 我们可以把它作为一个 定理 一个 公式 即 经过点 P x0 y0 斜率为 k 的直线 l 的方程是 y y0 k x x0 既然有了这样一个 定理 今后就可以利用这个 定理 求其他直线的方程了 2 22 2 三个三个 推论推论 教学中 可以把直线的斜截式方程 教学中 可以把直线的斜截式方程 截距式方程 两点式方程都作为直线的点截距式方程 两点式方程都作为直线的点 斜式方程这个斜式方程这个 定理定理 的的 推论推论 来处来处 理 理 这几种形式的方程都是表现直线的 它们之间也是可以互相转换的 理清这一脉络 让学生感受到教学内容之间的这一逻辑联系 培养学生逻辑思维能 力 不然学生不知道为什么要讲这些 他们的关系到底是什么 注意到解析几何的本质 我在处理直线的斜截式方程的教学时 改变教材三种直线方 程同一种处理方式的教学方法 采用从代数到几何的方式 提出问题 比如 求证 方程求证 方程 y kx b 表示一条直表示一条直 线 线 P94 因为有了前面的 定理 学生明白 只要把方程 y kx b 化成点斜式就可以了 这 是容易的 由 y kx b 得 y b k x 0 这是直线的点斜式方程 它表示一条经过点 0 b 斜率为 k 的直线 然后再提出截距的有关概念 等等 之所以这样来提出问题 是还注意到 在初中 学生已经熟悉一次函数 代数 y kx b k 0 它的图象是一条直线 几何 打通代数与几何之间的联系 体会斜截 5 式与一次函数的关系 帮助学生不断地体会 数形结合 的思想方法 1 贯穿解析几 何的本质 3 柱 锥 台 球体积的教学处理 让学生感受到体积公式建立过程中的逻辑顺序 培养学生的逻辑思维能力 我是按照这样的顺序组织教学的 我是按照这样的顺序组织教学的 1 什么是体积 几何体占有空间的 什么是体积 几何体占有空间的 大小称为几何体的体积 大小称为几何体的体积 2 公理 公理 5 长方体的体积是 长方体的体积是 V abc 前面已经学习了 4 个公理 这里再提出第 5 个公理 学生并不会感到意外 3 介绍祖暅原理 介绍祖暅原理 从平面到空间 这是我国古代数学家的杰 出贡献 借机进行爱国主义的教育 4 介绍柱体体积公式 介绍柱体体积公式 这由公理 5 及祖暅原理很容易 理解 5 介绍锥体体积公式 介绍锥体体积公式 锥体体积是等底等高的柱 体体积的三分之一 这个公式初中曾经用 倒沙 的方法验证过 这里借助信息技术工具 几何画板的演示并证明它 不难理解 6 介绍球的体积公式建立过程 介绍球的体积公式建立过程 这是 祖暅原理的又一次应用 而且可以明确球 的体积是它的外切圆柱体积的三分之二 7 介绍球的表面积 介绍球的表面积 球就是球就是 锥锥 由 锥体体积公式 球的体积公式推出球的面积公式 说球就是 锥 开始时学生感到困 惑 因为学生有扇形面积公式如同三角形面积公式一样的经验 很快理解了其中的缘 故 这里还借机进行了一次 以直代曲 极限思想的渗透 教学实践表明 这样做逻辑体系清晰 学生接受并不感到有什么困难 没有增加学生 的负担 相反却增加了学生的兴趣与乐趣 增强了教学效果 在初中 由于学生的思维特点 用 倒沙 的方法解释锥体体积是等底等高柱体体积 的三分之一的教学处理是可以理解和接受的 但对于高一学生 再用 倒沙 的方法来验 证球的体积是 V R 可能是不必要的 应该相信证明过程 这样更符合高中学生理性 3 4 3 6 思维的特点 4 几点思考 4 1 新课程强调学生的动手操作 亲身参与 这是正确的 但是 研究表明 人的智力与 能力发展具有年龄特征 整个中学阶段以抽象逻辑思维占主导地位 初中阶段主要是以经 验型为主的抽象逻辑思维 而高中阶段主要是以理论型为主的抽象逻辑思维 这些结论是 需要我们在教材编写 教学设计中引起注意 认真思考的 比如在讲平面上两点间距离公 式 点到直线的距离公式 直线的点斜式方程时 是否有必要先设置一个具体的例子 再 引入一般情况呢 我以为是不要的 另外 对于高中学生来说 讲操作更要讲推理 讲思 维 4 2 数学教学承载着培养学生思维能力的特殊任务 因此 数学教师也应该注意把培养学 生的逻辑思维能力放在十分重要的位置 让学生从教学内容的顺序中感受到逻辑 让学生 从数学解题中感受到逻辑 让学生从知识体系中感受到逻辑 4 3 新教材带来了许多新问题 如何用好新教材需要我们花大力气研究 我以为 教师必 须加强学习 加强教育教学理论的学习 读好 原著 这就是教育部颁布的新课程标准 加强各种版本教材对同一教学内容处理方法的比较研究 这样 可以提高自身的识别 判