2016考研数学中值定理证明思路总结

2016 考研数学中值定理证明思路总结 中值定理这块一直都是很多考生的 灾难区 一直没有弄清楚看到一个题目到 底怎么思考处理 因此也是考研得分比较低的一块内容 如果考生能把中值定理的证 明题拿下 那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶 也可以说这是一套 拉 仇恨 的题目 下面小编就和大家来一起分析一下这块内容 1 具体考点分析 首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么 相当于我们的工具 那需 要哪些工具呢 第一 闭区间连续函数的性质 最值定理 闭区间连续函数的必有最大值和最小值 推论 有界性 闭区间连续函数必有界 介值定理 闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数 都可以在区间 上找到一点 使得这一点的函数值与之相对应 零点定理 闭区间连续函数 区间端点函数值符号相异 则区间内必有一点函数 值为零 第二 微分中值定理 一个引理 三个定理 费马引理 函数 f x 在点 的某邻域 U 内有定义 并且在 处可导 如果对于 任意的 x U 都有 f x f 或 f x f 那么 f 0 罗尔定理 如果函数 f x 满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 在区间端点处的函数值相等 即 f a f b 那么在 a b 内至少有一点 a 柯西中值定理 如果函数 f x 及 F x 满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 对任一 x a b F x 0 那么在 a b 内至少有一点 使等式 f b f a F b F a f F 成立 第三 积分中值定理 如果函数 f x 在积分区间 a b 上连续 则在 a b 上至少存在一个点 使下 式成立 加强版 如果函数 f x 在积分区间 a b 上连续 则在 a b 上至少存在一个点 使下式成立 第四 变限积分求导定理 如果函数 f x 在区间 a b 上连续 则积分变上限函 数在 a b 上具有导数 并且导数为 第五 牛顿 莱布尼茨公式 如果函数 f x 在区间 a b 上连续 并且存在原函数 F x 则 2 注意事项 针对上文中具体的考点 佟老师再给出几点注意事项 这几个注意事项也是在证 明题中的 小信号 希望大家理解清楚并掌握 1 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的 所属区间是闭区间 2 拉格朗日中值定理是函数 f x 与导函数 f x 之间的桥梁 3 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁 4 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数 而柯西中值定理处理的 对象是两个函数 如果结论中有两个函数 形式与柯西中值定理的形式类似 这时就 要想到我们的柯西中值定理 5 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用 必须先证明 其次对于中值定理证明一般分为两大类题型 第一应用罗尔定理证明 也可又分 为两小类 证明结论简单型和复杂型 简单型一般有证明 f 0 f k k 为任意 常数 f 1 g 2 f 0 f g 像这样的结论一般只需要找罗尔定理的 条件就可以了 一般罗尔定理的前两个条件题目均告知 只是要需找两个不同点的函 数值相等 需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质 积分中值定理 拉格朗日 中值定理 极限的性质 导数的定义等知识点 复杂型就是结论比较复杂 需要建立 辅助函数 再使辅助函数满足罗尔定理的条件 辅助函数的建立一般借助于解微分