近两年来江苏高考应用题的分析与展望

1 近两年来江苏高考应用题的分析与展望近两年来江苏高考应用题的分析与展望 扬扬州市邗江区蒋王中学州市邗江区蒋王中学 王王跃跃 应用题在以往历年高考中是 可怕题 是学生心中 永远的痛 但今年命题者能以一等的襟抱 站在人文关怀的视点 不仅提供了函数模型 还提供了坐标系 以贴近生活的数学背景 为考生带来了 无障碍的审题快感 考查学生而不刁难学生 授人以渔而不授人以鱼 更着眼于优化学生思维品质 提 升精神境界 使试题不再是高中学习的终点 而是学生发展和提高的新起点 2014 年应用题位于第 18 题 即解答题第四题 16 分 是关于保护古桥和建造新桥的问题 主要运 用解析几何的思维方式 综合运用直线和圆 不等式或三角函数等知识解决问题 题目创新程度较高 但也体现了数学建模的思维方式 是一道思维程度较高的试题 有很大的难度 但并不代表未来的出题 方向 今年应用题位于第 17 题 14 分 可以说是近年来最简单的一道应用题 当应用题出现在 17 这个位 置的时候 显然是不会怎么难的 对应用题有恐惧的学生做到这里应该仍然会心里暗爽 直接带进去算 算 细心一些 第一问就顺利搞定 第二问与 08 11 的应用题类似 用导数写出切线方程 再用导数求 出最值 也可用基本不等式 4 2 22 4 2 1 2 1 t m tt 此题源于教材而不拘泥于教材 并能充分挖掘深层次内涵 细心的解题者不难从课本中窥出一些端 倪 如此命题导向 无疑是对中学数学教学中普遍存在的 重教辅 轻教材 的倾向的有力矫正 今年高考应用题的分析今年高考应用题的分析 题目 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路 为进一步改善山区的交通现状 计划修建一条连 接两条公路的山区边界的直线型公路 记两条相互垂直的公路为 12 ll 山区边界曲线为 C 计划修建的 公路为 l 如图所示 M N 为 C 的两个端点 测得点 M 到 12 ll 的距离分别为 5 千米和 40 千米 点 N 到 12 ll 的距离分别为 20 千米和 2 5 千米 以 12 ll 所在的直线分别为 x y 轴 建立平面直角坐 标系 xOy 假设曲线 C 符合函数 2 a y xb 其中 a b 为常 数 模型 1 求 a b 的值 2 设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点 P 的横坐标为 t 请写出公路 l 长度的函数解析式 f t 并写出其定义域 当 t 为何值时 公路 l 的长度最短 求出最短长度 试题分析 试题分析 1 由题意得函数过点 列方程就可解出的值 2 bx a y 2 5 2 20 40 5 ba 2 Ox y P A B x a y 求公路 长度的函数解析式 就是求出直线 与轴交点 再利用两点间距离公式计算即可 关l tflyx 键是利用导数几何意义求出直线 方程 也可用三角函数求出 再根据为的两个端点的限l tfNM C 制条件得定义域为 对函数解析式的根式内部单独求导 也可也可用基本不等式 求最值 20 5 tf 乍看本题无需建模 貌似披着应用题外衣的函数题 潜心研究之下 掩卷感慨 本题浓缩了命题专乍看本题无需建模 貌似披着应用题外衣的函数题 潜心研究之下 掩卷感慨 本题浓缩了命题专 家的智慧 它的特征 规律 背景等都给我们教学有很大的启示 家的智慧 它的特征 规律 背景等都给我们教学有很大的启示 实际上 它的几何背景是有关函数图像的切线问题 而高中学过的所有初等函数的切线 切点以及实际上 它的几何背景是有关函数图像的切线问题 而高中学过的所有初等函数的切线 切点以及 切线线段最短长是有规律的 甚至是定值 先从本题的幂函数背景分析 切线线段最短长是有规律的 甚至是定值 先从本题的幂函数背景分析 如果曲线 C 改为 过曲线上点作切线 则切点无论在何处 x a y PP 切点始终是公路 即切线段 AB 的中点 即定值 既与参数无Pl 2 1 AB AP a 关也与切点的选取位置无关 且当时 公路 即切线段 AB 最Paxt P l 短 而本题曲线 C 改为 则切点无论在何处 切点始终是公路 2 x a y PP 即切线段 AB 的点 即定值 且当时 公路l 3 1 3 1 AB AP 6 1 2 8axt P 即切线段 AB 最短 l 而本题曲线 C 改为 则切点无论在何处 切点始终是公路 即切线段 AB 的点 3 x a y PPl 4 1 即定值 且当时 公路 即切线段 AB 最短 4 1 AB AP 8 1 2 18axt P l 推广 如果曲线 C 改为 则切点无论在何处 切点始终是公路 即切线段 AB 的 n x a y PPl 点 即定值 且当时 公路 即切线段 AB 最短 1 1 n1 1 nAB AP 22 1 22 2 n P anxtl 证明如下 则 因为切点 所以切线为 n x a y 0Nnx 1 1 n x nay n t a tPAB 易得 1 1 tx x na t a y nn n t an Bt n n A 1 0 0 1 显然 点始终是切线段 AB 的点 即定值 P 1 1 n1 1 nAB AP 再看函数 过此函数图像上任意一点 非原点 作此图像 2 axy P 的切线 分别交轴分别与两点 则切点无论在何处 点始终是yx BA PA Ox y P A B 2 x a y P A B x y o 3 线段的中点 即定值 既与参数无关也与切点的选取位置无关 PB1 AB AP aP 若把函数改为 则有 定值 既与参数无 3 axy 2 1 AB AP a 关也与切点的选取位置无关 P 同样 可推广 若函数为 则有 定值 n axy 1 1 nAB AP 再看指数函数 也有类似的定值 即过此函数图像上任 x ay 意一点 非原点 作此图像的切线 则切点的横坐标与该切线的横PP 截距之差始终为定值 aln 1 类比对数函数 也有类似结论 即过此函数图像上任意一点 非原点 作此图像xy a log P 的切线 则切点的纵坐标与该切线的纵截距之差始终为定值 P aln 1 由此可见 数学本身的博大精深促动着 高考应用题正在摆脱其背景必须为社会热点问题的束缚 从而给命题者有更大的空间 使今后的高考应用题更具有数学本身知识的内涵 更富有创意 应用题难度变化对教学展望应用题难度变化对教学展望 1 题目并不是那种直接来自生活 远离数学 需要很多社会知识的应用题 数据经过精心设计 不再需 要繁琐的计算 有些试题仅仅是数学知识内部的应用 2 图形给出 这几年的应用题都无一例外地给出了示意图 这样处理使题意变得更加明确 直观 也降 低了思维的强度 3 变量明确 这两年的高考中几乎所有应用题都直接给出变量 不需要学生自己引入变量 一方面有利 于解答的一致性 另一方面明确了解题的方向 也减少了学生的思考时间 4 今后高考应用题的 本 不会变 虽然试题可以千变万化 但万变不离其宗 问题的解决还需回到中 学数学重点知识内容和重要思想方法这个 本 上来 因而应用题的复习切莫忽略数学基本功的落实 随着新课改的推进及高考模式的发展变化 无论从涉及的知识还是方法上讲 应用题教学和考试的 P A B x y o P Ax y o P A x y o 4 重点都发生了变化 原来概率 数列 线性规划等方面的应用题逐渐淡出高考 取而代之的是导数 分 段函数等新兴力量 在复习中正确分清这些主次重点 关注典型包含常考知识和重要方法的应用题 摒 弃一些非主流的或过时的问题 对提高复习效率具有重要意义 我想 高考命题求稳求新 命题不会突变 是一种自然的渐变发展 这样的试题留给我们的不应是 教学的点缀与教研的调味品 它对我们的教学启示是不言而明的 即不管问题来源如何 结合课本学习 解题是明智之举 这就需要我们处理好 模仿与迁移 的关系 模仿不能是简单浅层次的 摹仿 也不 是靠多做题 总结解题模式 而是深层次有效的方法迁移 一种独立的创造活动 数学思想方法是基 于