22.3实际问题与一元二次方程（通用）

一元二次方程归纳 本大节内容是初中数学的重点 也是学习许多后续知识的基础 对这部分内容 学习和 考查的重点知识大致可分以下几类 一 定义类 1 一元二次方程的定义 1 从概念分析应具备三个条件 一元 二次 整式 方程 2 2 从形式上 应先将一个方程进行整理 看是否符合 ax bx c 0 的一般形式 其中 尤其 注意 a 0 的条件 若不能确定 a 0 并且 b 0 则需分类讨论 当 a 0 时 它是一元二次方程 当 a 0 时 它是一元一次方程 2 3 从题目的语言表述中 对于方程 ax bx c 0 的说明文字具有下列三者之一 即可认定它 是一元二次方程 一元二次方程 a 0 或表明方程有两个实数根 2 一元二次方程的根的定义 2 定义可以当作性质定理使用 即若有数 m 是一元二次方程 ax bx c 0 的根 则 m 必然 2 满足该方程 将 m 代入该方程 便有 am bm c 0 定义也可以当作判定定理使用 即若 有 22 数 m 能使 am bm c 0 成立 则 m 一定是 ax bx c 0 的根 我们经常用定义法来解一些常 规方法难以解决的问题 能收到事半功倍的效果 二 解法类 一元二次方程的解法主要有四种 应按照方程特点选用适当的解法 2 1 因式分解法是最常用的方法 一般情况下 如果一元二次方程 ax bx c 0 中等号左边的 部分比较容易分解 那么优先选用因式分解法 2 公式法是一种 万能 方法 在因式分解法不能轻易奏效时 往往用公式法 使用 2 该法 要先将方程整理成 ax bx c 0 的一般形式 2 3 直接开平方法适用于形如 a x m b 0 a 0 的形式的一元二次方程 解时先 2 将其变形为 x m b a 的形式 再利用平方根的定义解答 4 配方法是一种重要的数学方法 它是推导一元二次方程求根公式的基础 对于一 2 元二次方程 ax bx c 0 如果 b 是 a 的偶数倍 使用此法也较简单 不管用哪种方法解答 通常要将方程的系数进行化简 使之成为不便再约的简单系数 使 计算更简洁 三 定理类 21 一元二次方程的根的判别式 b 4ac 的性质定理及其逆定理 应用它们主要解答三种题 目 1 不解方程 判断根的情况 2 已知方程的根的情况 据此列出用 表达的等式或不等式 求出方程中所含的字母系数 的值或取值范围 3 证明方程的根具有某种情况 常要对表示 的代数式进行配方或因式分解 以便判断它 的值与 0 的大小关系 使用该定理注意两点 其一 方程有两个实数根 等价于 0 而不是 0 其二 方程有两个 实数根 0 的前提是原方程为一元二次方程 保证二次项系数 a 0 2 一元二次方程的根与系数的关系定理及其逆定理 韦达定理 其最根本的用途是用代数式表达出关于两根的对称式 这是由于两数之和 两数之积是最 简单 最基本的对称式的缘故 所有对称式 都能用这两个基本对称式表示出来 设一元 2 二次方程 ax bx c 0 的两根为 x x 则 x x b a x x c a 关于两根 x x 的常见对 12121212 称式重点掌握三个 222 1 x x x x 2xx 121212 2 1 x 1 x x x xx 121212 3 x x 12 特别需要注意的是 该定理的使用前提是方程有两个实数根 因此还应保证原方程为一元二 次方程 这三者之间的关系如下图所示的三层楼结构 不能出现 空中楼阁 的现象 所以 使 用该定理解题 一定要用 0 与 a 0 检验 四 应用类 一元二次方程应用题的解题思路 方法 格式等 与以前所学的方程应用题基本一样 主 要差别在于所列方程为一元二次方程 得到的两个根 要从实际意义的角度进行检验 舍 去不合题意的根 其它内容可以用类比思想和转化思想 对照一元一次方程学习 21 若关于 x 的一元二次方程 kx 2 k 1 x k 1 0 有两个实数根 则 k 的取值范围是 22 若 x x 是一元二次方程 3x x 1 0 的两个根 则 1 x 1 x 的值是 1212 A 1 B 0 C 1 D 2 3 宁夏 编一道关于增长率的一元二次方程应用题 并解答 编题要求 1 题目完整 题意清楚 2 题意与方程的解都要符合实际 分析 本题旨在训练逆向思维能力和语言表达能力 具有较强的开放性 一般可以先确定一 2 个方程 比如 100 1 x 144 再据此编题 4 湖南邵阳 如图 1 1 在宽为 20 米 长为 32 米的矩形耕地上 修筑三条同样宽的耕作 道路 使其中两条与 AB 平行 另一条与 AD 平行 要使耕地面积为 504 平方米 道路宽应 为多少 2225 江苏盐城 已知关于 x 的方程 kx 2 k 1 x k 1 0 与 x 2k 1 x k k 2 0 1 当 k 为何值时 方程 有实数根 2 若方程 的两个实数根 的倒数和等于方程 的一个实数根 求 k 的值 分析 1 对照例 5 可知 当方程 是一元二次方程时 k 1 3 且 k 0 但是 题干中并未明确 方程 是一元二次方程 它还有可能是一元一次方程 此时 k 0 方程 变为 2x 1 0 解得 1 2 当 k 1 3 时 方程 有实数根 2 在此小题中 方程 都是一元二次方程 对于方程 由根与系数关系 得 2 k 1 k k 1 k 1 1 2 k 1 k 1 对于方程 用因式分解法变形为 x k 2 x k 1 0 解得 x k 2 x k 1 12 由题意得 2 k 1 k 1 k 2 解得 k 0 或 k 5 或者由 2 k 1 k 1 k 1 解得 k 3 由 1 可知 方程 是一元二次方程 并且有实数根时 k 1 3 且 k 0 故舍去 k 0 k 的值为 3 或 5 解答此题 用到了定义 解法与性质三类知识 具有一定的综合性 5 三明 这是一位学生编制的初中数学练习题 222x x x x 是方程 x 2x 2 0 的两个实数根 求的值 1212 另一位初三学生的解答是 222x x x x xx 2 x x 2xx 22 2 2 0 1212121212 针对练习题和解答的正误作出判决 再简要说明理由 22x x 只对原练习题的方程进行变式 其它条件不变 求的值 12 6 宁夏 先从括号内 备选项中选出合适的一项 填在横线上 将题目补充完整后再解 答 第 1 小题 3 分 第 2 小题 5 分 2 1 如果 a 是关于 x 的方程 x bx a 0 的根 并且 a 0 求 的值 b ab a b a b a22 2 已知 7x 5y 12xy 并且 xy 0 求 的值 x xy x y x y y 22 mx 2m 1x 1 07 黑龙江 是否存在这样的非负整数 m 使关于 x 的一元二次方程 有 两个实数根 若存在 请求出 m 的值 若不存在 请说明理由 228 汕头 如果关于 x 的方程 x 2k 3 x k 3 0 的两个实数根的和等于这两个根的倒数和 求 1 K 的值 2 方程的两个实数根的平方和 29 漳州 已知关于 x 的一元二次方程 x 2x 2 m 0 1 若方程有两个不相等的实数根 求实数 m 的取值范围 2 请你利用 1 所得的结论 任取 m 的一个数值代入方程 并用配方法求出此方程的两个 实数根 210 达州 已知一元二次方程 2x 3x 5 0 不解方程 求以该方程的两根的倒数为根的一 元二次方程 222211 内江 如果 m n 是两个不相等的实数 且满足 m 2m 1 n 2n l 那么代数式 2m 4n 4n 1999 12 包头市 某钢铁厂一月份生产钢铁 560 吨 从二月份起 由于改进操作技术 使得第 一季度共生产钢铁 1850 吨 问二 三月份平均每月的增长率是多少 若设二 三月份平均每月的增长为 x 则可得方程 2 A 560 1 x 1850 2 B 560 560 1 x 1850 2 C 560 1 x 560 1 x 1850 2D 560 560 1 x 560 1 x 1850 213 包头 关于 x 的一元二次方程 x k 1 x k 0 的根的情况是 A 有两个不相等的实数根 B 总有实数根 C 有两个相等的实数根 D 没有实数根 2214 内江 关于 x 的一元二次方程 m 1 x x m 2m 3 0 有一根是 0 则 m 的值是 A m 3 或 m 1 B m 3 或 m 1 C m 1 D m 3 215 安徽省中考题 要建一个面积为 150m 的长方形养鸡场 为了节约材料 鸡场的一边靠 着原有的一条墙 墙长为 am 另三边用竹篱笆围成 如果篱笆的长为 35m 1 求鸡场的长与宽各是多少 2 题中 墙的长度 a 对题目的解起着怎样的作用 评析 第 2 小题着眼于作为条件出现的常数 a 探索这一条件对题目的解有何影响 需根据第 1 小题的结果进行研究 2 由题意可知 当 a 15 时 此题无解 当 15 a 20 时 此题只有一个解 当 a 20 时 此题两解 2218 南昌 已知关于 x 的方程 x 2 m 1 x m 0 1 当 m 取什么值时 原方程没有实数根 2 对 m 选取一个合适的非零整数 使原方程有两个实数根 并求这两个实数根的平 方和 25 本小题 8 分 2x 3x 1 m 0 已知关于 x 的一元二次方程