2019-2020学年九年级数学下册 第24章 圆 24.2 圆的基本性质作业设计 （新版）沪科版

24 224 2 圆的基本性质圆的基本性质 一 选择题 共一 选择题 共 1515 小题 小题 1 如图 将大小两块量角器的零度线对齐 且小量角器的中心 o2恰好在大量角器的圆周 上 设它们圆周的交点为 p 且点 p 在小量角器上对应的刻度为 75 那么点 p 在大量角 器上对应的刻度为 第 1 题图 a 75 b 60 c 45 d 30 2 如图 坐标平面上 a b 两点分别为圆 p 与 x 轴 y 轴的交点 有一直线 l 通过点 p 且 与 ab 垂直 点 c 为 l 与 y 轴的交点 若点 a b c 的坐标分别为 a 0 0 4 0 5 其中 a 0 则 a 的值为多少 第 2 题图 a 2 b 2 c 8 d 7 3 如图 ab 是 o 的直径 ab 10 p 是半径 oa 上的一动点 pc ab 交 o 于点 c 在半 径 ob 上取点 q 使得 oq cp dq ab 交 o 于点 d 点 c d 位于 ab 两侧 连结 cd 交 ab 于点 e 点 p 从点 a 出发沿 ao 向终点 o 运动 在整个运动过程中 cep 与 deq 的面积 和的变化情况是 第 3 题图 a 一直减小 b 一直不变c 先变大后变小 d 先变小后变大 4 如图 o 经过菱形 abco 的顶点 a b c 若 op ab 交 o 于点 p 则 pab 的大小为 第 4 题图 a 15 b 20 c 25 d 30 5 在半径为 10cm 的圆中 两条平行弦分别长为 12cm 16cm 则这两条平行弦之间的距离 为 a 28cm 或 4cm b 14cm 或 2cm c 13cm 或 4cm d 5cm 或 13cm 6 如图 在三个等圆上各自有一条劣弧 如果 那么 ab cd 与 ef 的大小关系是 第 6 题图 a ab cd ef b ab cd ef c ab cd ef d 不能确定 7 已知 ab 是半径为 1 的圆 o 的一条弦 且 ab a 1 以 ab 为一边在圆 o 内作正 abc 点 d 为圆 o 上不同于点 a 的一点 且 db ab a dc 的延长线交圆 o 于点 e 则 ae 的长为 第 7 题图 a b 1 c d a 8 下列说法正确的个数共有 1 如果圆心角相等 那么它们所对的弦一定相等 2 弦的中垂线一定是这条弦所在圆的对称轴 3 平分弦的直径一定垂直于这条弦 4 两条边相等的两个直角三角形一定全等 a 1 个 b 2 个 c 3 个 d 0 或 4 个 9 如图 等边三角形 abc 的边长是定值 点 o 是它的外心 过点 o 任意作一条直线分别交 ab bc 于点 d e 将 bde 沿直线 de 折叠 得到 b de 若 b d b e 分别交 ac 于点 f g 连接 of og 则下列判断错误的是 第 9 题图 a adf cge b b fg 的周长是一个定值 c 四边形 foec 的面积是一个定值 d 四边形 ogb f 的面积是一个定值 10 下列命题 真命题的个数是 经过三点一定可以作圆 任意一个圆一定有一个内接三角形 并且只有一个内接三角 形 任意一个三角形一定有一个外接圆 并且只有一个外接圆 三角形的外心到三角 形的三个顶点的距离相等 a 4 个 b 3 个 c 2 个 d 1 个 11 已知 点 a 0 4 b 0 6 c 为 x 轴的正半轴上一点 且满足 acb 45 则 第 11 题图 a abc 外接圆的圆心在 oc 上 b bac 60 c abc 外接圆的半径等于 5 d oc 12 12 如图所示 在边长为 1 的单位正方形组成的网格中 abc 的顶点都在网格的交点上 则 abc 的外接圆的半径 r 为 第 12 题图 a b c d 13 如图 等边三角形内接于 o 点 p 在弧 bc 上 pa 与 bc 相交于点 d 若 pb 3 pc 6 则 pd 第 13 题图 a 1 5 b c 2 d 14 如图 坐标平面上有 a 0 a b 9 0 c 10 0 三点 其中 a 0 若 bac 95 则 abc 的外心在第几象限 第 14 题图 a 一 b 二 c 三 d 四 15 下列给定的三点能确定一个圆的是 a 线段 ab 的中点 c 及两个端点 b 角的顶点及角的边上的两点 c 三角形的三个顶点 d 矩形的对角线交点及两个顶点 二 填空题 共二 填空题 共 1010 小题 小题 16 如图 大圆和圆的半径都分别是 4cm 和 2cm 两圆外切于点 c 一只蚂蚁由点 a 开始 abcdefcga 的顺序沿着两圆圆周不断地爬行 其中各点分别是两圆周的四等分点 蚂蚁直 到行走 2010 cm 后才停下来 则这只蚂蚁停在点 第 16 题图 17 如图 m 交 x 轴于 b c 两点 交 y 轴于点 a 弦 ce ab 于点 h m 的纵坐标为 2 b 3 0 c 0 则圆心 m 的坐标为 线段 af 的长为 第 17 题图 18 如图 直径 ab cd 所夹的锐角为 60 p 为上的一个动点 不与点 b c 重合 pm pn 分别垂直于 cd ab 垂足分别为 m n 若 o 的半径为 2cm 则在点 p 移动过程中 mn 的长是否有变化 填 是 或 否 若有变化 写出 mn 的长度范围 若无变 化 写出 mn 的长度 cm 第 18 题图 19 如图 在平面直角坐标系中 o 的半径为 2 ac bd 是 o 的两条相互垂直的弦 垂 足为 m 1 则四边形 abcd 的面积的最大值与最小值的差为 第 19 题图 20 如图 正方形 abcd 的顶点 a b 和正方形 efgh 的顶点 g h 在一个半径为 5cm 的 o 上 点 e f 在线段 cd 上 正方形 abcd 的边长为 6cm 则正方形 efgh 的边长为 cm 第 20 题图 21 如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片 为求其外圆半径 小林在外圆上任取一点 a 然后过点 a 作 ab 与残片的内圆相切于点 d 作 cd ab 交外圆于点 c 测得 cd 15cm ab 60cm 则这个摆件的外圆半径是 cm 第 21 题图 22 如图 abc 内接于 o ab bc 直径 mn bc 于点 d 与 ac 边相交于点 e 若 o 的 半径为 2 oe 2 则 od 的长为 第 22 题图 23 如图 c 是以 ab 为直径的半圆 o 上一点 连结 ac bc 分别以 ac bc 为边向外作正 方形 acde bcfg de fg 的中点分别是 m n p q 若 mp nq 14 ac bc 18 则 ab 的长是 第 23 题图 24 在平面直角坐标系中 已知 a 3 0 b 是以 m 3 4 为圆心 1 为半径的圆周上的 一个动点 连结 bo 设 bo 的中点为 c 则线段 ac 的最小值为 25 一个直角三角形的两条直角边长是方程 x2 7x 12 0 的两个根 那么这个直角三角形 外接圆的半径等于 三 解答题 共三 解答题 共 5 5 小题 小题 26 如图 已知 oc 是 o 的半径 点 p 在 o 的直径 ba 的延长线上 且 oc pc 垂足为 c 弦 cd 垂直平分半径 ao 垂足为 e pa 6 求 1 o 的半径 2 求弦 cd 的长 第 26 题图 27 如图 ab 是 o 的直径 延长 ba 到点 d 使 da ao ae 垂直于弦 ac 垂足为 a 点 e 在 dc 上 求 s aec s aoc 第 27 题图 28 如图 o 的半径为 10cm g 是直径 ab 上一点 弦 cd 经过点 g cd 16cm ae cd 于 点 e bf cd 于点 f 求 ae bf 的值 第 28 题图 29 如图 o 的直径 ab 和弦 cd 相交于点 e 已知 ae 1cm eb 5cm deb 60 1 求 cd 的长 2 若直线 cd 绕点 e 顺时针旋转 15 交 o 于点 c d 直接写出弦 cd 的长 第 29 题图 参考答案参考答案 一 一 1 d 解析 设大量角器的左端点是 a 小量角器的圆心是 b 连接 ap bp 则 apb 90 abp 75 因而 pab 90 75 15 在大量角器中弧 pb 所对的圆心 角是 30 因而 p 在大量角器上对应的度数为 30 故选 d 第 1 题答图 点评 本题主要考查了直径所对的圆周角是 90 度 能把实际问题转化为数学问题是解决 本题的关键 2 a 解析 连接 ac 如答图 由题意 得 bc ob oc 9 直线 l 通过点 p 且与 ab 垂直 直线 l 是线段 ab 的垂直平分线 ac bc 9 在 rt aoc 中 ao 2 a 0 a 2 故选 a 第 2 题答图 点评 本题考查的是垂径定理 坐标与图形的性质以及勾股定理 掌握垂径定理的推论 是解题的关键 3 c 解析 如答图 连接 oc od pd cq 设 pc x op y pc ab qd ab cpo oqd 90 pc oq oc od rt opc rt dqo op dq y s阴 s四边形 pcqd s pfd s cfq x y 2 y2 x2 xy 观察图象可知 xy 的值先变大后变小 故选 c 第 3 题答图 点评 本题考查勾股定理 全等三角形的判定和性质 三角形的面积等知识 解题的关 键是学会添加常用辅助线 构造全等三角形解决问题 学会用分割法求面积 属于中考选 择题中的压轴题 4 a 解析 连接 ob 如答图 四边形 abco 是菱形 oa ab oa ob aob 为等边 三角形 aob 60 op ab bop aob 30 由圆周角定理得 pab bop 15 故选 a 第 4 题答图 点评 本题考查的是菱形的性质 圆周角定理 垂径定理 掌握菱形的性质 圆周角定 理 垂径定理是解题的关键 5 b 解析 有两种情况 如图 当 ab 和 cd 在点 o 的两旁时 过点 o 作 mn ab 于点 m 交 cd 于点 n 连接 ob od ab cd mn cd 由垂径定理 得 bm ab 8 cm dn cd 6 cm ob od 10cm 由勾股定理 得 om 6 cm 同理 on 8cm mn 8 6 14 cm 当 ab 和 cd 在点 o 的同旁时 mn 8 6 2 cm 故选 b 第 5 题答图 点评 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用 关键是理解题意 能得出两种情况 题 目比较典型 难度适中 注意要进行分类讨论 6 b 解析 如图 在弧 ef 上取一点 m 使弧 em 弧 cd 则弧 fm 弧 ab ab fm cd em 在 mef 中 fm em ef ab cd ef 故选 b 第 6 题答图 点评 本题主要考查对三角形的三边关系定理 圆心角 弧 弦的关系等知识点的理解 和掌握 能正确作辅助线是解此题的关键 7 b 解析 abc 是等边三角形 ab bc ac bd a cab acb 60 ab bd aed aob bc ab bd d bcd 四边形 eabd 内接于 o eab d 180 即 eac 60 d 180 又 eca 60 bcd 180 eca eac 即 eac 是等腰三角形 在等腰 eac 和等腰 oab 中 aec aob ac ab eac oab ae oa 1 故选 b 第 7 题答图 点评 此题考查了圆心角 弧 弦的关系 等边三角形的性质 圆内接四边形的性质 全等三角形的判定和性质等知识 综合性强 难度较大 能够发现并证得 eac oab 是 解答此题的关键 8 解 1 在同圆或等圆中 如果圆心角相等 所对的弦相等 故本选项错误 2 根 据垂径定理推出弦的中垂线是这条弦所在圆的对称轴 故本选项正确 3 平分弦 弦不 是直径 的直径垂直于这条弦 故本选项错误 4 如果有一条直角边和斜边相等 则这 两个直角三角形不全等 故本选项错误 正确的有 1 个 故选 a 点评 本题主要考查对圆心角 弧 弦的关系 全等三角形的判定 垂径定理等知识点 的理解和掌握 能正确运用性质进行判断是解此题的关键 9 d 解析 a 连接 oa oc 点 o 是等边三角形 abc 的外心 ao 平分 bac 点 o 到 ab ac 的距离相等 由折叠 得 do 平分 bdb 点 o 到 ab db 的距离相等 点 o 到 db ac 的距离相等 fo 平分 dfg dfo ofg fad adf 由折叠 得 bde odf daf afd ofd odf fad adf daf afd 120 dof 60 同理可得 eog 60 fog 60 dof eog dof gof goe od og oe of ogf odf odb ofg oeg oeb oad ocg oaf oce ad cg af ce adf cge 故选项 a 正确 b dof gof goe df gf ge adf b gf cge b g ad b fg 的周长 fg b f b g fg af cg ac 定值 故选项 b 正确 c s四边形 foec s ocf s oce s ocf s oaf s aoc 定值 故选项 c 正确 d s四边形 ogb f s ofg s b gf s ofd adf s四边 形 ofad s oad s oaf s ocg s oaf s oac s ofg 过点 o 作 oh ac 于点 h s ofg fg oh 由于 oh 是定值 fg 变化 故 ofg 的面积变化 从而四边形 ogb f 的面积也变化 故选项 d 不一定正确 故选 d 第 9 题答图 点评 本题考查了等边三角形的性质 三角形全等的性质和判定 角平分线的性质和判 定 三角形和四边形的面积及周长的确定以及折叠的性质 有难度 本题全等的三角形比 较多 要注意利用数形结合 并熟练掌握三角形全等的判定 还要熟练掌握角平分线的逆 定理的运用 证明 fo 平分 dfg 是本题的关键 10 c 解析 经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆 错误 任意一个圆一定有 内接三角形 并且有多个内接三角形 错误 任意一个三角形一定有一个外接圆 并 且只有一个外接圆 正确 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点 到三角 形的三个顶点距离相等 正确 故选 c 点评 本题考查了确定圆的条件和三角形的外接圆与外心的应用 主要考查学生运用性 质进行说理的能力 题目比较好 但是一道比较容易出错的题目 11 d 解析 设线段 ba 的中点为 e 点 a 0 4 b 0 6 ab 10 e 0 1 如答图 过点 e 在第四象限作 ep ba 且 ep ab 5 则易知 pba 为等腰直角三角形 bpa 90 pa pb 5 以点 p 为圆心 pa 或 pb 长为半径作 p 与 y 轴的正半轴 交于点 c bca 为 p 的圆周角 bca bpa 45 即则点 c 即为所求 过点 p 作 pf x 轴于点 f 则 of pe 5 pf oe 1 在 rt pfc 中 pf 1 pc 5 由勾股定理 得 cf 7 oc of cf 5 7 12 故选 d 第 11 题答图 点评 本题主要考查了坐标与图形性质 圆周角定理 勾股定理等知识的综合应用 解 决问题的关键是作辅助线构造圆周角以及直角三角形 由 45 的圆周角联想到 90 的圆心 角是解题的突破口 12 a 解析 作 ac ab 的垂直平分线交于点 o 则点 o 为 abc 的外接圆圆心 连接 oa 则 oa 故选 a 第 12 题答图 点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心 掌握三角形的外心的定义 灵活运用勾股 定理是解题的关键 13 c 解析 在 pa 上截取 pe pb 连接 be abc 是等边三角形 acb apb acb apb 60 ab bc bep 是等边三角形 be pe pb acb ebc apb ebc 60 ebc abe cbp 在 abe 与 cbp 中 abe cbp ae cp ap ae pe pb pc pb 3 pc 6 pa 6 3 9 bap dab 公共角 abc acb apb 60 abd apb 即 ab 3bd pbd pac bpd apc 60 bpd apc 即 pd 6 2 故选 c 第 13 题答图 点评 本题通过构造等边三角形 利用等边三角形的性质 全等三角形的判定和性质 求出某些线段的长度 再利用相似的判定定理和性质定理去求出未知线段的长度 14 d 解析 bac 95 abc 的外心在 abc 的外部 即在 x 轴的下方 外心在 线段 bc 的垂直平分线上 即在直线 x 上 abc 的外心在第四象限 故选 d 点评 本题考查的是三角形的外心的确定 掌握外心的概念和外心与锐角 直角 钝角 三角形的位置关系是解题的关键 锐角三角形的外心在三角形的内部 直角三角形的外心 是斜边的中点 钝角三角形的外心在三角形的外部 15 c 解析 a 线段 ab 的端点 a b 和线段 ab 的中点 c 不能确定一个圆 故本选项错误 b 当角的两边上的一个点或两个点和角的顶点重合时就不能确定一个圆 故本选项错误 c 经过三角形的三个顶点作圆 有且只有一个圆 故本选项正确 d 矩形的对角线的交 点及两个顶点 如果这三个点在一条直线上 就不能确定一个圆 故本选项错误 故选 c 点评 本题考查了确定圆的条件的应用 注意 不在同一直线上的三个点确定一个圆 二 二 16 e 解析 从点 a 开始沿 abcdefcga 的顺序转一周的路径长是 8 4 12 cm 蚂蚁直到行走 2010 cm 所转的周数是 2010 12 167 6 即转 167 周以后又走了 6 cm 从点 a 到点 b 所得路径长是 2 再到 c 的路线长也是 2 从点 c 到点 d 到点 e 的路线长是 2 则从点 a 行走 6 cm 到点 e 点评 本题主要考查了圆的周长的计算 正确而理解蚂蚁行走一周以后又回到 a 是一 个循环的过程 是解决本题的关键 17 2 4 解析 过点 m 作 mn bc 于点 n 连接 cm b 3 0 c 0 ob 3 oc bc 4 mn bc cn bc 2 on m 2 rt cmn 中 由勾股定理 得 cm 4 mcn 30 连接 eb ceb cmn 60 abe 30 连接 am em ae ame 2 abe 60 ame 是等边三角形 ae am 4 eab ecb ahe aoc 90 aeh cfo cfo afe afe aeh af ae 4 第 17 题答图 点评 本题考查的是垂径定理 圆周角定理 坐标与图形特点 勾股定理 根据题意作 出辅助线是解答此题的关键 18 否 解析 mn 的长没有变化 理由如下 如答图 延长 pn 交圆于点 e 延长 pm 交圆于点 f 连接 ef oe of 作 oh ef 于点 h 根据垂径定理 pn ne pm mf mn ef 且 mn ef mon 120 pno pmo 90 p 60 弦 ef 的长为定值 mn 的长也为定值 在 rt eoh 中 易知 eoh 60 oe 2 eh oe sin60 ef 2 mn ef 第 18 题答图 19 1 解析 1 如图 连接 oa od 作 oe ac of bd 垂足分别为 e f 第 19 题答图 ac bd emf ofb oem 90 四边形 oemf 为矩形 oa oc 2 om 3 设圆 心 o 到 ac bd 的距离分别为 d h 则 d2 h2 om2 3 四边形 abcd 的面积为 s ac bm md ac bd 从而 s 2 8 d2 h2 5 当 且仅当 d h 时取等号 故四边形 abcd 的面积最大值为 5 2 四边形 abcd 的面积 s 2 2 2 当 dh 0 即 d 0 或 h 0 时 一条弦过原点 s 最小 最小值为 4 四边形 abcd 面积最大 值与最小值的差 5 4 1 点评 本题考查了垂径定理以及坐标与图形的变换 当对角线互相垂直时 四边形的面 积等于对角线乘积的一半 这一性质要好好记忆 同时还要注意极值图形的选取方法 20 2 8 解析 作 om ab 于点 m on hg 于点 n 连接 oa oh 正方形 abcd 和正方形 efgh m o n 在同一条直线上 om ab am ab 3 om 4 设正方 形 efgh 的边长为 x 则 on x 2 on hg nh hg x 则 x 2 2 x 2 25 解 得 x 2 8 第 20 题答图 点评 本题考查的是垂径定理 勾股定理和正方形的性质 掌握垂直于弦的直径平分这 条弦是解题的关键 21 37 5 解析 如图 设点 o 为外圆的圆心 连接 oa 和 oc cd 15cm ab 60cm cd ab oc ab ad ab 30cm 设半径为 rcm 则 od r 15 cm 根据题意 得 r2 r 15 2 302 解得 r 37 5 这个摆件的外圆半径 长为 37 5cm 第 21 题答图 点评 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用 作出辅助线构建直角三角形是 本题的关键 22 2 解析 连接 bo 并延长交 ac 于点 f 如图 ba bc bf ac 直径 mn bc bd cd bod eof rt bod rt eof 设 of x 则 od x dbo dec rt dbo rt dec 即 而 bd cd db2 x x 2 3x2 2x 在 rt obd 中 3x2 2x 3x2 2 2 解得 x1 x2 舍去 od x 2 第 22 题答图 点评 本题考查了三角形外接圆与外心 三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分 线的交点 叫做三角形的外心 也考查了垂径定理 熟练应用相似比是解决问题的关键 23 13 解析 连接 op oq de fg 的中点分别是 m n p q op ac oq bc h i 是 ac bd 的中点 oh oi ac bc 9 mh ni ac bc 18 mp nq 14 ph qi 18 14 4 ab op oq oh oi ph qi 9 4 13 第 23 题答图 点评 本题考查了中位线定理 解题的关键是正确的作出辅助线 题目中还考查了垂径 定理的知识 难度不大 24 2 解析 过 b 作 bd ac 交 x 轴于 d c 是 ob 的中点 oa ad ac bd 当 bd 取最小值时 ac 最小 由图可知 当 bd 经过 m 时 线段 bd 的长最小 此时 ac 有最小 值 a 3 0 d 6 0 m 3 4 dm 5 bd 5 1 4 ac bd 2 即线段 ac 的最小值为 2 第 24 题答图 点评 本题考查了点与圆的位置关系 三角形的中位线定理 确定线段长的最值问题 可以利用本身垂线段最短或两点之间线段最短来确定 也可以利用另一量来确定 本题是 利用 bd 的长度来解决问题 是中考填空题的压轴题 25 2 5 解析 解可得方程 x2 7x 12 0 得 x1 3 x2 4 斜边边长为 5 即直角三角 形外接圆的直径是 5 半径等于 2 5 点评 本题考查的是直角三角形的外接圆半径 重点在于理解直角三角形的外接圆是以 斜边中点为圆心 斜边长的一半为半径的圆 三 三 26 解 1 设 oc x 弦 cd 垂直平分半径 ao oe oa x pc oc cd op pco ceo 90 p cop 90 eco cop 90 p eco ceo pco x 6 则 o 的半径为 6 2 由 1 得 oc 6 oe 3 由勾股定理 得 ce 3 cd oa cd 2ce 6 点评 本题考查了垂径定理 线段垂直平分线的性质 相似三角形的判定与性质 在判 定两个三角形相似时 应注