2019_2020学年高中数学课时跟踪检测四数学归纳法北师大版选修2_2202001200421.doc
2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（打包18套）北师大版选修2-2
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2019-2020学年高中数学
课时跟踪检测（打包18套）北师大版选修2-2
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2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（打包18套）北师大版选修2-2,2019-2020学年高中数学,课时跟踪检测（打包18套）北师大版选修2-2,2019,2020,学年,高中数学,课时,跟踪,检测,打包,18,北师大,选修
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- 1 -课时跟踪检测（一）课时跟踪检测（一） 归纳与类比归纳与类比一、基本能力达标1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()a.bc.d解析：选 a观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果2下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180；教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；三角形内角和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是 540，由此得出凸n边形的内角和是(n2)180(nn，且n3)a bcd解析：选 c是类比推理；是归纳推理，故都是合情推理3在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为()a12 b14c18d116解析：选 c由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积之比为18.4已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第 70 个“整数对”为()a(3,9) b(4,8)c(3,10)d(4,9)解析：选 d由整数对的排列规律知前 11 排有 121166 个整数，所以第 67 个“整数对”是第 12 排的第一个“整数对”(1,12)，第 68 个“整数对”是(2,11)，第 69 个“整数对”是(3,10)，第 70 个“整数对”是(4,9)故选 d.- 2 -5类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质_(填写序号)各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故都对答案：6如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称 icme7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中oa1a1a2a2a3a7a81，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记oa1，oa2，oan，的长度构成数列an，则此数列an的通项公式为an_.解析：根据oa1a1a2a2a3a7a81 和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1oa11，a2oa2，a3oa3oa2 1a1a2 212122oa2 2a2a2 3 2212，故可归纳推测出an.3n答案：n7观察等式：13422,135932,13571642，你能得出怎样的结论？解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方因此可推测得出：13579(2n1)n2(n2，nn)8如图，在三棱锥sabc中，sasb，sbsc，sasc，且sa，sb，sc和底面abc所成的角分别为1，2，3，三侧面sbc，sac，sab的面积分别为s1，s2，s3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想解：在def中，- 3 -由正弦定理，得.dsin desin efsin f于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体sabc中，猜想成立s1sin 1s2sin 2s3sin 3二、综合能力提升1由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba” ；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc” ；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)” ；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax” ；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|” ；“ ”类比得到“ ” acbcabacbcab其中类比结论正确的个数是()a1b2c3d4解析：选 b由向量的有关运算法则知正确，都不正确，故应选 b.2设abc的三边长分别为a，b，c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体pabc的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球2sabc的半径为r，四面体pabc的体积为v，则r()a. b.vs1s2s3s42vs1s2s3s4c. d.3vs1s2s3s44vs1s2s3s4解析：选 c将abc的三条边长a，b，c类比到四面体pabc的四个面面积s1，s2，s3，s4，将三角形面积公式中系数 ，类比到三棱锥体积公式中系数 ，从而可知选 c.证1213明如下：以四面体各面为底，内切球心o为顶点的各三棱锥体积的和为v，vs1rs2rs3rs4r，r.131313133vs1s2s3s43观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是s，按此规律推出s与n的关系式为_- 4 -解析：每条边上有 2 个圆圈时共有s4 个；每条边上有 3 个圆圈时，共有s8 个；每条边上有 4 个圆圈时，共有s12 个可见每条边上增加一个点，则s增加 4，s与n的关系为s4(n1)(n2)答案：s4(n1)(n2)4可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍你可以从给出的简单图形、中体会这个原理现在图中的两个曲线的方程分别是1(ab0)与x2y2a2，运用上面的原理，图中椭圆的面积为x2a2y2b2_解析：由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为 ，ba即k ，椭圆面积sa2 ab.baba答案：ab5已知在 rtabc中，abac，adbc于点d，有成立那么在四面体1ad21ab21ac2abcd中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由解：猜想：类比abac，adbc，可以猜想四面体abcd中，ab，ac，ad两两垂直，ae平面bcd.则.1ae21ab21ac21ad2下面证明上述猜想成立如图所示，连接be，并延长交cd于点f，连接af.abac，abad，acada，ab平面acd.而af平面acd，abaf.在 rtabf中，aebf，.1ae21ab21af2- 5 -在 rtacd中，afcd，.1af21ac21ad2，故猜想正确1ae21ab21ac21ad26已知121，22(11)212211，32(21)222221，42(31)232231，n2(n1)22(n1)1，左右两边分别相加，得n22123(n1)n，所以 123(n1).nn12类比上述推理方法写出求 122232n2的表达式的过程解：记s1(n)123n，s2(n)122232n2，sk(n)1k2k3knk(kn*)已知131，23(11)313312311，33(21)323322321，43(31)333332331，n3(n1)33(n1)23(n1)1.将左右两边分别相加，得s3(n)s3(n)n33s2(n)n23s1(n)nn.由此知s2(n)n33n22n3s1n32n33n2n6.nn12n16- 6 -- 1 -课时跟踪检测（七）课时跟踪检测（七） 计算导数计算导数一、基本能力达标1设函数f(x)cos x，则()f(2)a0b1c1d以上均不正确解析：选 a注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是 0，故答案为 a.2下列各式中正确的是()a(logax) b(logax)1xln 10xc(3x)3xd(3x)3xln 3解析：选 d由(logax)，可知 a，b 均错；由(3x)3xln 3 可知 d 正确1xln a3若指数函数f(x)ax(a0，a1)满足f(1)ln 27，则f(1)()a2 bln 3c.dln 3ln 33解析：选 cf(x)axln a，由f(1)aln aln 27，解得a3，则f(x)3xln 3，故f(1).ln 334设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行，则a()a1 b.12cd112解析：选 a因为y2ax，所以切线的斜率ky|x12a.又由题设条件知切线的斜率为 2，即 2a2，即a1，故选 a.5若f(x)x2，g(x)x3，则满足f(x)1g(x)的x值为_解析：由导数的公式知，f(x)2x，g(x)3x2.因为f(x)1g(x)，所以 2x13x2，即 3x22x10，- 2 -解得x1 或x .13答案：1 或136正弦曲线ysin x(x(0,2)上切线斜率等于 的点为_12解析：y(sin x)cos x ，12x(0,2)，x或.353答案：或(3，32) (53，32)7求下列函数的导数：(1)ylog2x2log2x；(2)y2sin .x2(12cos2x4)解：(1)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).1xln 2(2)y2sin 2sin x2(12cos2x4)x2(2cos2x41)2sin cos sin x，x2x2ycos x.8已知p(1,1)，q(2,4)是曲线yx2上的两点，(1)求过点p，q的曲线yx2的切线方程(2)求与直线pq平行的曲线yx2的切线方程解：(1)因为y2x，p(1,1)，q(2,4)都是曲线yx2上的点过p点的切线的斜率k1y|x12，过q点的切线的斜率k2y|x24，过p点的切线方程：y12(x1)，即 2xy10.过q点的切线方程：y44(x2)，即 4xy40.(2)因为y2x，- 3 -直线pq的斜率k1，4121切线的斜率ky|xx02x01，所以x0 ，所以切点m，12(12，14)与pq平行的切线方程为：y x ，即 4x4y10.1412二、综合能力提升1质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s，则质点在t4 时的速度为()5ta.b.12523110523c. d.25523110523解析：选 bst .当t4 时，1545s .1515441105232直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()12a2 bln 21cln 21dln 2解析：选 cyln x的导数y ，1x令 ，得x2，切点为(2，ln 2)1x12代入直线yxb，得bln 21.123已知f(x)a2(a为常数)，g(x)ln x，若 2xf(x)1g(x)1，则x_.解析：因为f(x)0，g(x) ，1x所以 2xf(x)1g(x)2x 1.1x解得x1 或x ，因为x0，所以x1.12答案：14与直线 2xy40 平行且与曲线yln x相切的直线方程是_- 4 -解析：直线 2xy40 的斜率为k2，又y(ln x) ，1x 2，解得x .1x12切点的坐标为.(12，ln 2)故切线方程为yln 22.(x12)即 2xy1ln 20.答案：2xy1ln 205已知曲线方程为yf(x)x2，求过点b(3,5)且与曲线相切的直线方程解：设切点p的坐标为(x0，x)2 0yx2，y2x，kf(x0)2x0，切线方程为yx2x0(xx0)2 0将点b(3,5)代入上式，得 5x2x0(3x0)，2 0即x6x050，2 0(x01)(x05)0，x01 或x05，切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y12(x1)或y2510(x5)，即 2xy10 或 10xy250.6求证：双曲线xya2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数证明：设p(x0，y0)为双曲线xya2上任一点y.(a2x)a2x2过点p的切线方程为yy0(xx0)a2x2 0令x0，得y；2a2x0令y0，得x2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为- 5 -s |2x0|2a2.12|2a2x0|即双曲线xya2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数 2a2.- 1 -课时跟踪检测（三）课时跟踪检测（三） 反证法反证法一、基本能力达标1三人同行，一人道：“三人行，必有我师” ，另一人想表示反对，他该怎么说？()a三人行，必无我师 b三人行，均为我师c三人行，未尝有我师d三人行，至多一人为我师解析：选 c“必有”意思为“一定有” ，其否定应该是“不一定有” ，故选 c.2用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()a假设a，b，c都是偶数b假设a，b，c都不是偶数c假设a，b，c至多有一个是偶数d假设a，b，c至少有两个是偶数解析：选 b“a，b，c中至少有一个是偶数”的反面是“a，b，c都不是偶数” ，故应假设a，b，c都不是偶数故选 b.3若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与a0，y0，z0，ax ，by ，cz ，则a，b，c三个数()1y1z1xa至少有一个不大于 2 b都小于 2c至少有一个不小于 2d都大于 2解析：选 c假设a，b，c都小于 2，则abc0)的图像与x轴有两个不同的交点，f(c)0，且当 0x0.(1)证明： 是函数f(x)的一个零点；1a(2)试用反证法证明： c.1a证明：(1)f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，f(x)ax2bxc0 有两个不等实根，设为x1，x2.f(c)0，c是f(x)0 的一个根，不妨令x1c.又x1x2 ，x2 ( c)，ca1a1a 是f(x)0 的一个根，1a即 是函数f(x)的一个零点1a(2)由(1)知 c，故假设 0，又当 0x0，1a- 3 -f0，与f0 矛盾，(1a)(1a)假设不成立， c.1a二、综合能力提升1下列四个命题中错误的是()a在abc中，若a90，则b一定是锐角b.，不可能成等差数列171311c在abc中，若abc，则c60d若n为整数且n2为偶数，则n是偶数解析：选 c显然 a、b、d 命题均真，c 项中若abc，则abc，若c60，则a60，b60，abc180与abc180矛盾，故选 c.2若abc能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是()a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d不能确定解析：选 b分abc的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线ad(点d在bc上)，则adbadc，若adb为钝角，则adc为锐角而adcbad，adcabd，abd与acd不可能相似，与已知不符，只有当adbadcbac时，才符合题意23对于定义在实数集 r 上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)x0，那么x0叫做函数f(x)的一个好点已知函数f(x)x22ax1 不存在好点，那么a的取值范围是()a. b.(12，32)(32，12)c(1,1)d(，1)(1，)解析：选 a假设f(x)x22ax1 存在好点，亦即方程f(x)x有实数根，所以x2(2a1)x10 有实数根，则(2a1)244a24a30，解得a 或a .1232故当f(x)不存在好点时，a的取值范围是 a .故选 a.12324完成反证法证题的全过程设a1，a2，a7是 1,2，7 的一个排列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则a11，a22，a77 均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.- 4 -但 0奇数，这一矛盾说明p为偶数解析：据题目要求及解题步骤，a11，a22，a77 均为奇数，(a11)(a22)(a77)也为奇数即(a1a2a7)(127)为奇数又a1，a2，a7是 1,2，7 的一个排列，a1a2a7127，故上式为 0，所以奇数(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.答案：(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)5已知函数f(x)在 r 上是增函数，a，br.(1)求证：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论解：(1)证明：当ab0 时，ab且ba.f(x)在 r 上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)f(b)f(a)f(b)，那么ab0” ，此命题成立用反证法证明如下：假设ab0，则ab，f(a)f(b)同理可得f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，这与f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假设不成立，ab0 成立，即(1)中命题的逆命题成立6对于直线l：ykx1，是否存在实数k，使直线l与双曲线c：3x2y21 的交点a，b关于直线yax(a为常数)对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解：不存在理由如下：假设存在实数k，使得点a，b关于直线yax对称，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则error!由error!- 5 -得(3k2)x22kx20.由得a(x1x2)k(x1x2)2.由得x1x2.2k3k2代入整理得ak3，与矛盾故不存在实数k，使直线l与双曲线c：3x2y21 的交点a，b关于直线yax(a为常数)对称- 1 -课时跟踪检测（九）课时跟踪检测（九） 简单复合函数的求导法则简单复合函数的求导法则一、基本能力达标1下列函数不是复合函数的是()ayx3 1bycos1x(x4)cydy(2x3)41ln x解析：选 aa 中的函数是一个多项式函数，b 中的函数可看作函数ux，ycos 4u的复合函数，c 中的函数可看作函数uln x，y 的复合函数，d 中的函数可看作函数1uu2x3，yu4的复合函数，故选 a.2函数y(2 0198x)8的导数为()ay8(2 0198x)7by64xcy64(8x2 019)7dy64(2 0198x)7解析：选 cy8(2 0198x)7(2 0198x)64(2 0198x)764(8x2 019)7.3函数yx2cos 2x的导数为()ay2xcos 2xx2sin 2xby2xcos 2x2x2sin 2xcyx2cos 2x2xsin 2xdy2xcos 2x2x2sin 2x解析：选 by(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.4某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为yf(t)，则在时刻t40 min 的降雨强度为()10ta20 mm b400 mmc. mm/min d. mm/min1214解析：选 df(t)10，12 10t510tf(40) .5400145函数f(x)xex1在点(1,1)处切线的斜率等于_- 2 -解析：函数的导数为f(x)ex1xex1(1x)ex1，当x1 时，f(1)2，即曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率kf(1)2.答案：26已知直线yx1 与曲线yln(xa)相切，则a的值为_解析：设切点为(x0，y0)，则y0x01，且y0ln(x0a)，所以x01ln(x0a)对yln(xa)求导得y，则1，1xa1x0a即x0a1.代入可得x01，所以a2.答案：27设曲线f(x)axln(x1)在点(1，f(1)处的切线与yx平行，则a_.12解析：f(x)a，1x1由题意得f(1) ，12即a ，1212所以a1.答案：18求下列函数的导数(1)y(2x2x1)4；(2)yx；1x2(3)yxln(1x)解：(1)y4(2x2x1)3(2x2x1)4(2x2x1)3(4x1)(2)y x(1x2) 1x212x (1x2) (1x2)1x21212x (1x2) 2x1x21212.1x2x21x212x21x2- 3 -(3)yxln(1x)xln(1x)ln(1x)x11xln(1x).x1x二、综合能力提升1曲线yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是()a. b255c3d05解析：选 a设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线 2xy30 平行y，22x1yxx02，解得x01，|22x01y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0)切点(1,0)到直线 2xy30 的距离为d，|203|415即曲线yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是.52放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量m(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：m(t)m02，其中m0为t0 时铯 137 的含量已知t30t30时，铯 137 含量的变化率是10ln 2(太贝克/年)，则m(60)()a5 太贝克 b75ln 2 太贝克c150ln 2 太贝克d150 太贝克解析：选 dm(t)ln 2m02，130t30由m(30)ln 2m0210 ln 2，1303030解得m0600，所以m(t)6002，t30所以t60 时，铯 137 的含量为m(60)6002600 150(太贝克)6030143函数yln在x0 处的导数为_ex1ex解析：yln ln exln(1ex)xln(1ex)，ex1ex- 4 -则y1.当x0 时，y1 .ex1ex11112答案：124设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10 垂直，则a_.解析：令yf(x)，则曲线yeax在点(0,1)处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10 垂直，所以f(0)2.因为f(x)eax，所以f(x)(eax)eax(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a2.答案：25求函数yasin bcos22x(a，b是实常数)的导数x3解：acos cos ，(asin x3)x3(x3)a3x3又(cos22x)(1212cos 4x) (sin 4x)42sin 4x，12yasin bcos22x的导数为x3yb(cos22x) cos 2bsin 4x.(asinx3)a3x36曲线ye2xcos 3x在(0,1)处的切线与l的距离为，求l的方程5解：由题意知y(e2x)cos 3xe2x(cos 3x)2e2xcos 3x3(sin 3x)e2x2e2xcos 3x3e2xsin 3x，所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为ky|x02.所以该切线方程为y12x，即y2x1.设l的方程为y2xm，则d.|m1|55解得m4 或m6.当m4 时，l的方程为y2x4; 当m6 时，l的方程为y2x6.综上，可知l的方程为y2x4 或y2x6.- 5 -- 1 -课时跟踪检测（二）课时跟踪检测（二） 综合法与分析法综合法与分析法一、基本能力达标1要证明(a0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()aa7a3a4a综合法b类比法c分析法d归纳法解析：选 c直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理2命题“对于任意角，cos4sin4cos2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2 ” ，其过程应用了()a分析法b综合法c综合法、分析法综合使用d间接证法解析：选 b结合分析法及综合法的定义可知 b 正确3用分析法证明命题“已知ab1.求证：a2b22a4b30.”最后要具备的等式为()aab bab1cab3dab1解析：选 d要证a2b22a4b30，即证a22a1b24b4，即(a1)2(b2)2，即证|a1|b2|，即证a1b2 或a1b2，故ab1 或ab3，而ab1 为已知条件，也是使等式成立的充分条件4已知a，b为正实数，函数f(x)x，af，bf()，cf，则(12)(ab2)ab(2abab)a，b，c的大小关系为()aabc bacbcbcadcba解析：选 a因为函数f(x)x为减函数，所以要比较a，b，c的大小，只需比较(12)，的大小，因为，两边同乘得：ab，即，ab2ab2ababab2abababab2ab2abab故，abc.ab2ab2abab5.如图所示，在直四棱柱a1b1c1d1abcd中，当底面四边形abcd满足- 2 -条件_时，有a1cb1d1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)解析：要证a1cb1d1，只需证b1d1垂直于a1c所在的平面a1cc1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以b1d1cc1，故只需证b1d1a1c1即可答案：对角线互相垂直(本题答案不唯一)6如果abab，则正数a，b应满足的条件是_abba解析：ab(ab)abbaa()b()()(ab)abbaab()2()abab只要ab，就有abab.abba答案：ab7阅读下列材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin ，由得 sin()sin()2sin cos ，令a，b，有，ab2ab2代入得 sin asin b2sin cos .ab2ab2类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos acos b2sin sin .ab2ab2证明：cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ，得cos()cos()2sin sin .令a，b，有，ab2ab2代入得cos acos b2sin sin .ab2ab28在abc中，三个内角a，b，c对应的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：abc为等边三角形证明：由a，b，c成等差数列，有 2bac.因为a，b，c为abc的内角，所以- 3 -abc，由得，b，3由a，b，c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及，可得b2a2c22accos ba2c2ac.再由得，a2c2acac，即(ac)20，因此ac.从而有ac.由，得abc.3所以abc为等边三角形二、综合能力提升1在不等边三角形中，a为最大边，要想得到a为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()aa2b2c2da2b2c2解析：选 c由 cos a0，b2c2a22bc得b2c2b，则ac2bc2b若 ，则abacbcc若a3b3且ab1a1bd若a2b2且ab0，则 1a1b解析：选 c当c0 时，显然 a 不正确；当c0 时，b 不正确；当a0，b ，所以 d 不正确；因为a3b3且ab0，b ，故1a1b1a1b选 c.3(2019全国卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳512512斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比- 4 -也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为51226 cm，则其身高可能是()a165 cm b175 cmc185 cmd190 cm解析：选 b法一：设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为 105 cm，可得0.618，解得m169.890.m105105512由头顶至脖子下端的长度为 26 cm，可得0.618，解得n42.071.26n512由已知可得0.618，解得m178.218.26nmn26512综上可知，此人身高m满足 169.890m105，所以身高大于 1051050.618169.89.又头顶至咽喉的长度小于 26 cm，所以头顶到肚脐的长度小于 2668，故身高260.618小于 68178，结合选项可知选 b.680.6184已知a，b，(0，)且 1，求使得ab恒成立的的取值范围是1a9b_解析：由题意得ab(ab)1010216，(1a9b)(9abba)9当且仅当 且 1，9abba1a9b即a4，b12 时，等号成立所以ab的最小值为 16，所以要使ab恒成立，只需16.又因为(0，)，所以 016.答案：(0,165已知数列an的首项a15，sn12snn5(nn*)(1)证明数列an1是等比数列(2)求an.解：(1)证明：由条件得sn2sn1(n1)5(n2)- 5 -又sn12snn5，得an12an1(n2)，所以2.an11an12an11an12an1an1又n1 时，s22s115，且a15，所以a211，所以2，a21a1111151所以数列an1是以 2 为公比的等比数列(2)因为a116，所以an162n132n，所以an32n1.6设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f为偶函数(x12)证明：法一：要证f为偶函数，(x12)只需证明其对称轴为x0，即证 0，只需证ab.b2a12函数f(x1)的对称轴x1 与函数f(x)的对称轴x关于y轴对称，b2ab2a1，ab.f为偶函数b2ab2a(x12)法二：记f(x)f，(x12)欲证f(x)为偶函数，只需证f(x)f(x)，即证ff.(x12)(x12)函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f(x)与f(x)的图象也是关于y轴对称的，f(x)f(x1)，ff(x12)(x12)ff，(x12)1(x12)f为偶函数(x12)- 6 -- 1 -课时跟踪检测（五）课时跟踪检测（五） 变化的快慢与变化率变化的快慢与变化率一、基本能力达标1设函数yf(x)x21，当自变量x由 1 变为 1.1 时，函数的平均变化率为()a2.1b1.1c2d0解析：选 a2.1.yxf1.1f11.110.210.12一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为 s，那么 t趋于 0 时，为()sta从时间t到tt时物体的平均速度b在t 时刻物体的瞬时速度c当时间为 t时物体的速度d在时间tt时物体的瞬时速度解析：选 b中 t趋于 0 时得到的数值是物体在t时刻的瞬时速度st3一辆汽车在起步的前 10 秒内，按s3t21 做直线运动，则在 2t3 这段时间内的平均速度是()a4 b13c15d28解析：选 cs(3321)(3221)15.15.st15324一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为st2，则t2 时，此木头在水平方向的瞬时速度为()18a2 b1c. d.1214解析：选 c因为 s (2t)2 22 t (t)2，所以 t，当18181218st1218t无限趋近于 0 时， t无限趋近于 ，因此t2 时，木块在水平方向的瞬时速度为 ，12181212故选 c.5函数yx22x1 在x2 附近的平均变化率为_解析：当自变量从2 变化到2x时，- 2 -函数的平均变化率为x6.yx2x222x1441x答案：x66质点的运动方程是s(t)，则质点在t2 时的速度为_1t2解析：因为，当 t0 时，sts2ts2t12t214t4t42t2 ，所以质点在t2 时的速度为 .st1414答案：147已知函数f(x)2x23x5.(1)求当x14，且 x1 时，函数增量 y和平均变化率；yx(2)求当x14，且 x0.1 时，函数增量 y和平均变化率.yx解：f(x)2x23x5，yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x3x15)2 12(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x.(1)当x14，x1 时，y2(443)121，21.yx211(2)当x14，x0.1 时，y20.12(443)0.10.021.91.92，19.2.yx1.920.18一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移：m；时间：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2 时的瞬时速度；(3)求t0 到t2 时平均速度解：(1)初速度v0 lim t0sts0t (3t)3(m/s)lim t03tt2tlim t0即物体的初速度为 3 m/s.- 3 -(2)v lim t0s2ts2t lim t032t2t23 24t (t1)1(m/s)lim t0t2ttlim t0即此物体在t2 时的瞬时速度为 1 m/s，方向与初速度相反(3) 1(m/s)vs2s0206402即t0 到t2 时的平均速度为 1 m/s.二、综合能力提升1已知函数f(x)2x24 的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于()yxa4 b4xc42xd42(x)2解析：选 c2x4.yxf1xf1x21x242x2x24xx2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在0，t0这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是()av甲v乙bv甲v乙cv甲v乙d大小关系不确定解析：选 b设直线ac，bc的斜率分别为kac，kbc，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在0，t0上的平均变化率v甲kac，s2(t)在0，t0上的平均变化率v乙kbc.因为kackbc，所以v甲v乙3某物体做直线运动，其运动规律是st2 (t的单位是 s，s的单位是 m)，则它在 4 3ts 末的瞬时速度为()a. m/s b. m/s1231612516c8 m/s d. m/s674解析：选 bst4t234t1634t- 4 -t8，t28t3t44tt3164tli 8.m st316125164一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为 1.解析：7t14t0，st7t0t287t2 08t当 li (7t14t0)1 时，tt0.m 114答案：1145求函数y2x23 在x0到x0x之间的平均变化率，并求当x02，x 时该12函数的平均变化率解：当自变量从x0变化到x0x时，函数的平均变化率为yxfx0xfx0x2x0x232x2 03x4x02x.4x0x2x2x当x02，x 时，12平均变化率为 4227.(12)6若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：serror!求：(1)物体在t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1 时的瞬时速度解：(1)物体在t3,5内的时间变化量为t532，物体在t3,5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在t3,5内的平均速度为24(m/s)st482- 5 -(2)求物体的初速度v0，即求物体在t0 时的瞬时速度物体在t0 附近的平均变化率为3t18，st293 0t32293 032t当 t趋于 0 时，趋于18，st物体在t0 时的
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