2016北京市中考数学专题突破八：代数综合(含答案)

专题突破 (八 ) 代数综合 方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容 ， 在北京中考试卷中 ， 2015 年代数综合题出现在第 27 题 ， 分值为 7 分 代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点 ， 用到的数学思想、方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等 2011 2015 年北京代数综合题考点对比 年份 2011 2012 2013 2014 2015 考点 根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式 根的判别式、求根、确 定二次函数和一次函数解析式、二次函数和一次函数图象的平移、利用函数图象求取值范围 二次函数的性质、一次函数图象如何变换、二次函数图象上点的坐标特征 确定二次函数解析式、二次函数图象的性质、利用图象求取值范围 求交点坐标、对称点坐标、确定二次函数解析式及顶点坐标 ， 利用图象求取值范围 1 2015北京 在平面直角坐标系 ， 过点 (0， 2)且平行于 x 轴的直线与直线 yx 1 交于点 A， 点 A 关于直线 x 1 的对称点为 B， 抛物线 y c 经过点 A， B. (1)求点 A， B 的坐标； (2)求抛物线 顶点坐标； (3)若抛物线 y a 0)与线段 有一个公共点 ， 结合函数的图象求 a 的取值范围 2 2014北京 在平面直角坐标系 ， 抛物线 y 2n 经过点 A(0， 2)，B(3， 4) (1)求抛物线的函数解析式及对称轴； (2)设点 B 关 于原点的对称点为 C， 点 D 是抛物线对称轴上的一动点 ， 记抛物线在 A， (包含 A， B 两点 ) 若直线 图象 G 有公共点 ， 结合函数图象 ， 求点 D 纵 坐标 t 的取值范围 3 2013北京 在平面直角坐标系 ， 抛物线 y 22(m 0)与 y 轴交于点 A， 其对称轴与 x 轴交于点 B. (1)求点 A， B 的坐标； (2)设直线 l 与直线 于该抛物线的对称轴对称 ， 求直线 l 的函数解析式； (3)若该抛物线在 20 的图象与 x 轴交于 A， B 两点 (点 A 在点 B 左侧 )， 与 y 轴交于点 C. (1)求点 A 的坐标； (2)当 45 时 ， 求 m 的值； (3)已知一次函数 y b， 点 P( )n， 0 是 x 轴上的一个动点 ， 在 (2)的条件下 ， 过点 x 轴的直线交这 个一次函数的图象于点 M， 交二次函数 y ( )m 3 x 3( )m0 的图象于点 20)个单位后与直线 有一个公共点 ， 求 t 的取值范围 图 3 2 2015朝阳一模 如 图 4， 将抛物线 y 4x 向右平移 3 个单位长度 ，再向上平移 3 个单位长度 ， 得到抛物线 直线 y x 与 个交点记为 A， 与 ， 点 A 的横坐标是 3. (1)求 a 的值及 (2)点 C 是线段 的一个动点 ， 过点 C 作 x 轴的垂线 ， 垂足为 D， 在 右侧作正方形 当点 C 的横坐标为 2 时 ， 直线 y x n 恰好经过正方形 顶点 F， 求此时 在点 C 的运动过程中 ， 若直线 y x n 与正方形 终没有公共点 ， 求 n 的取值范围 (直接写出结果 ) 图 4 3 2015西城一模 已知二次函数 c 的图象 1， 0)， (0， 3)两点 (1)求 (2)将 个单位长度 ， 再向上平移 4 个单位长度 ， 得到抛物线 将 n， 求 (3)设 2x 3， 在 (2)的条件下 ， 如果在 2 x a 内 存在 某一个 x 的值 ， 使得 利用函数图象直接写出 a 的取值范围 图 5 4 2015东城一模 在平面直角坐标系 ， 抛物线 y 1( )a 0 过点A( ) 1， 0 ， B( )1， 1 ， 与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线 y 1( )a 0 的函数解析式 (2)若点 D 在抛物线 y 1( )a 0 的对称轴上 ， 当 周长最小时 ， 求点 (3)在抛物线 y 1( )a 0 的对称轴上是否存在点 P， 使 为以 直角边的直角三角形？若存在 ， 求出点 P 的坐标；若不存在 ， 请说明理由 图 6 5 2015石景山一模 在平面直角坐标系 ， 抛物线 y 23(m 0)与 (3， 0)， B 两点 (1)求抛物线的函数解析式及点 B 的坐标； (2)将 20)与 ， B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )， 与 y 轴交于点 C. (1)求点 A 的坐标； (2)当 S 15 时 ， 求该抛物线的函数解析式； (3)在 (2)的条件下 ， 经过点 C 的直线 l： y b(8 解： (1) 抛物线 y (m 1)x m(m0)与 x 轴交于 A， B 两点 ， 令 y 0， 即 (m 1)x m 0. 解得 1， m. 又 点 A 在点 B 左侧 ， 且 m0， 点 A 的坐标为 ( 1， 0) (2)由 (1)可知点 B 的坐标为 (m， 0) 抛物线与 y 轴交于点 C， 点 C 的坐标为 (0， m) m0， m 1， m. S 15， 12(m 1)m 15. 解得 m 6 或 m 5. m0， m 5， 抛物线的函数解析式为 y 4x 5. (3)由 (2)可知点 C 的坐标为 (0， 5) 直线 l： y b(k0)经过点 C， b 5， 直线 l 的解析式为 y 5(k0) y 4x 5 (x 2)2 9， 当点 D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时 ， 新函数的最小值均为 9， 不符合题意 当点 D 在抛物线对称轴右侧时 ， 新函数的最小值有可能大于 8(如图 ) 令 y 8， 即 4x 5 8. 解得 1(不合题意 ， 舍去 )， 3. 抛物线经过点 (3， 8) 当直线 y 5(k0)经过点 (3， 8)时 ， 可求得 k 1. 由 图象可知 ， 当 1k0 时新函数的最小值大于 8. 9 解： (1) 抛物线 y x c(a 0)经过 A( 1， 0)， B(2， 0)两点 ， a 1 c 0，4a 2 c 0， 解得 a 1，c 2. 抛物线的函数解析式为 y x 2， 点 D 的坐标为 (12， 94) (2)如图 ， 作 交 y 轴于点 N， 过点 C 作 点 M. 令 x 0， 得 y 2， 2， 45 . 45 . 点 M， 45 ， 22 ， 1. 直线 函数解析式为 y x 3. 由y x 3，y x 2， 解得 x 1，y 2. 点 E 的坐标为 (1， 2) (3)如图 ， 过点 E 作 点 F. 由 (2)知 2， 又 2， . ， ， 22 22 2 2， 1， 8， 7， P( )7， 0 ， 由对称性可得 P( ) 5， 0 . 点 P 的坐标为 ( )7， 0 或 ( ) 5， 0 . 10 解： (1) 二次函数 y (a 1)2x 1 的图象与 x 轴有交点 ， 令 y 0， 则 (a 1)2x 1 0， 4 4(a 1) 0， 解得 a 2. a 为正整数 ， a 为 1 或 2. 又 y (a 1)2x 1 是二次函数 ， a 1 0， a 1， a 的值为 2. (2) a 2， 二次函数的解析式为 y 2x 1. 将二次函数 y 2x 1 化成顶点式为 y (x 1)2， 二次函数图象向右平移 m 个单位长度 ， 再向下平移 (1)个单位长度后的函数解析式为 y (x 1 m)2 (1) 此时函数图象的顶点坐标为 (m 1， 1) 当 m 1 2， 即 m 1 时 ， 在 x 2 处二次函 数有最小值 3， 3 ( 1 m)2 (1)， 解得 m 32， 符合题目要求 当 2 m 1 1， 即 1 m