2016北京市中考数学专题突破一：填空压轴题型（含答案）

专题突破 (一 ) 填空压轴题型 规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动 ， 对学生的 “ 数感 ” 提出较高要求 新定义题型就是指通过试题提供的新定义 、新规则、新概念、新材料来创设新情景 ， 提升类比迁移等综合素质 因此 ， 这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点 2012 2015 年北京中考知识点对比 题型 年份 2012 2013 2014 2015 填空 探究式的规律 定义新运算 ， 探究规律 函数综合循环规 律 尺规作图的理论 依据 1 2015北京 阅读下面材料： 在数学课上 ， 老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线 已知：线段 图 1 求作：线段 垂直平分线 小芸的作法如下： 如图 ， 图 2 (1)分别以点 A 和点 B 为圆心 ， 大于 12长为半径作弧 ， 两弧相交于 C， D 两点； (2)作直线 所以直线 是的所求作的垂直平分线 老师说： “ 小芸的作法正确 ” 请回答：小芸的作图依据是 _ 2 2014北京 在平面直角坐标系 ， 对于点 P(x， y)， 我们把点 P( y 1， x 1)叫做点 P 的伴随点 ， 已知点 2， 点 3， 点 4， 这样依次得到点 3 ， ， 若点 3， 1)， 则点 _， 点 _；若点 a， b)， 对于任意正整数 n， 点 x 轴上方 ， 则 a， b 应满足的条件为 _ 3 2013北京 如 图 3， 在平面直角坐标系 ， 已知直线 l： t x 1， 双曲线 y 1x.在 l 上取点 过点 x 轴的垂线交双曲线于点 过点 y 轴的垂线交 l 于点 请继续操作并探究：过点 x 轴的垂线交双曲线于点 过点 y 轴的垂线交 l 于点 ， 这样依次得到 l 上的点 2， ， 若 2， 则 _， _；若要将上述操作无限次地进行下去 ， 则 的值是 _ 图 3 4 2012北京 在平面直角坐标系 ， 我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点 ， 已知点 A(0，4)， 点 B 是 x 轴正半轴上的整点 ， 记 部 (不包括边界 )的整点个数为 m.当 m 3 时 ， 点 B 的横坐标的所有可能值是 _；当点 B 的横 坐标为 4n(n 为正整数 )时 ， m _(用含 n 的代数式表示 ) 图 4 5 2011北京 在下表中 ， 我们把第 i 行第 j 列的数记为 j(其中 i， j 都是不大于 5 的正整数 )， 对于表中的每个数 当 i j 时 ， j 1；当 ij 时 ， j i 2， j 1 时 ， j 1 3 _；表中的 25 个数中 ， 共有 _个 1；计算 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5的值为 _ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 一、与数与式有关的规律探究 1 2015朝阳一模 一组按规律排列的式子： 2a， 510 1726 ， 其中第 7 个式子是 _，第 n 个式子是 _(用含 n 的式 子表示 ， n 为正整数 ) 二、与图形有关的规律探究 2 2015西城一模 如 图 5， 数轴上点 A 的初始位置表示的数为 1， 现点 A 做如下移 动：第 1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 第 2 次从点 个单位长度至点 第 3 次从点 个单位长度至点 ， 按照这种移动方 式进行下去 ， 点 _， 如果点 0， 那么 n 的最小值是 _ 图 5 3 2014延庆县一模 如 图 6， 点 E， D 分别是正三角形 四边形 五边形 点为顶点的一边延长线和另一边延长线上的点 ， 且 延长线交 点 F， 则图 中 度数为 _；若将条件 “ 正三角形、正四边形、正五边形 ” 改为 “ 正 n 边形 ” ， 其他条件不变 ， 则 度数为 _ (用含 n 的代数式表示 ， 其中 ， n 3 且 n 为整数 ) 图 6 4 2014昌平区一模 已知：四边形 面积为 7 ， 取四边形 边的中点 ，则图中阴影部分的面积为 _；如 图 7 ， 取四边形 边的三 等分点 ， 则图中阴影部分的面积为 _； ；取四边形 边的 n(n 为大于 1 的整数 )等分点 ， 则图中阴影部分的面积为_ 图 7 三、平面直角坐标系中的规律探究 5 2014石景山 一模 在平面直角坐标系 ， 已知直线 l： y x， 作 ， 0)关于直线 y x 的对称点 将点 个单位得到点 作 y x 的对称点 将点 个单位得到点 _， 点 _ 6 2015房山一模 如 图 8， 在平面直角坐标系中放置了 5 个正方形 ， 点 ， 2)在 y 轴上 ， 点x 轴上 ， 1， 0)， 1到 x 轴的距离是 _，点 x 轴的距离是 _， 点 x 轴的距离是 _ 图 8 7 2015东城一模 在平面直角坐标系 ， 记直线 y x 1 为 1是直线 l 与 y 轴的交点 ， 以边作正方形 使点 x 轴正半轴上 ， 作射线 l 于点 以 2使点 x 轴正半轴上 ， 依次作下去 ， 得到如 图 9 所示的图形 则点 点 _ 图 9 8 2014丰台一模 如 图 10， 已知直线 l： y 33 x， 点 0， 1)， 过点 y 轴的垂线交直线 l 于点 以原点 O 为圆心 ， y 轴于一点 过点 y 轴的垂线交直线 2， 以原点 O 为圆心 ， 为半径画弧交 y 轴 于点 ， 按此作法进行下去 ， 点 坐标为(_， _)；点 _， _) 图 10 9 2014顺义一模 如 图 11， 所有正三角形的一边平行于 x 轴 ， 一顶点在 y 轴上 从内到外 ， 它们的边长依次为 2， 4， 6， 8， ， 顶点依次用 表示 ， 其中 x 轴与边 边 7 均相距一个单位长度 ， 则顶点 _， _， (n 为正整数 )的坐标为 _ 图 11 10 2014通州一模 如 图 12， 在反比例函数 y 4x(x 0)的图象上 ， 有点 ，Pn(n 为正整数 ， 且 n 1)， 它们的横坐标依次为 1， 2， 3， 4， ， n(n 为正整数 ， 且 n 1) 分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线 ， 连接相邻两点 ， 图中所构成的阴影部分 (近似看成三角形 )的面积从左到右依次为 2， ， 1(n 为正整数 ， 且 n 2)， 那么 _， 1 _(用含有 n 的代数式表示 ) 图 12 11 2014燕山一模 如 图 13， 在平面直角坐标系中 ， 已知点 1， 0)， 将线段 按顺时针方向旋转 45 ， 再将其长度伸长为 倍 ， 得到线段 将线段 按顺时针方向旋转 45 ， 再将其长度伸长为 倍 ， 得 到线段 ， 这样依次得到线段 ，2的坐标为 _；当 n 4m 1(m 为自然数 )时 ， 点 _ 图 13 12 2014西城一模 如 图 14， 在平面直角坐标系 ， 点 A(1， 0)， B(2， 0)， 正六边形 x 轴正方向无滑动滚动 ， 当点 D 第一次落在 x 轴上时 ， 点 D 的坐标为 _；在运动过程中 ， 点 _； 保持上述运动过程 ， 经过点 (2014， 3)的正六边形的顶点是 _ 图 14 13 2015东城二模 如 图 15， 已知 ， 1在 x 轴上 ， 且 1 1， 分别过点 ， 1作 x 轴的垂线交直线 y x 于点 ， 1， 连接 ， 1， 1， 依次相交于点 ， ， 1， ， 则 _， _ 图 15 四、定义新运算 14 2014东城一模 现定义运算 “” ， 对于任意实数 a， b， 都有 a b 3a b， 如： 3 532 3 3 5， 根据定义的运算求 2 ( 1) _ 若 x 2 6， 则实数 x 的值是 _ 15 2015燕山一模 定义： 对于任意一个不为 1 的有理数 a， 把 11 a 的差倒数 ， 如 2 的差倒数为 11 2 1， 1 的差倒数为 11（ 1） 12.记 12， 倒数 ， ， 依此类推 ， 则 _， _ 16 2015海淀一模 若三角形的某一边长等于其外接圆半径 ， 则将此三角形称为等径三角形 ， 该边所对的角称为等径角 已 知 等径三角形 ， 则等径角的度数为 _ 17 2014海淀一模 在一次数学游戏中 ， 老师在 A， B， C 三个盘子里分别放了一些糖果 ， 糖果数依次为 记为 ( 游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数 不完全相同 ， 则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个 ， 给另外两个盘子各放一个 (若有两个盘子中的糖果数相同 ， 且都多于第三个盘子中的糖果数 ， 则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果 )， 记为一次操作 若三个盘子中的糖果数都相同 ， 则游戏结束 n 次操作后的糖果数记为 ( (1)若 (4， 7， 10)， 则第 _次操作后游戏结束； (2)小明发现：若 (4， 8， 18)， 则游戏永远无法结束 ， 那么 _ 18 2015海淀模拟 对于正整数 n， 定义 F(n)n10f（ n） ， n 10， 其中 f(n)表示 n 的首位数字、末位数字的平方和 例如： F(6) 62 36， F(123) f( )123 12 32 10. 规定 F1(n) F(n)， 1(n) F(Fk(n)(k 为正整数 ) 例如： )123 F( )123 10， 23) F(23) F(10) 1. (1)求： ) _， ) _； (2)若 ) 89， 则正整数 m 的最小值是 _ 19 2015海淀二模 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏 ， 规则是：在正方形 棋盘中 ， 由黑方先行 ，白方后行 ， 轮流弈子 ， 下在棋盘横线与竖线的交叉点上 ， 直到某一方首先在任一方向 (横向、竖向或者是斜着的方向 )上连成五子者为胜 如 图 16， 这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图 观察棋盘 ， 以点 O 为原点 ， 在棋盘上建立平面直角坐标系 ， 将每个棋子看成一个点 ， 若黑子 A 的坐标为 (7， 5)， 则白子B 的坐标为 _；为了不让白方在短时间内获胜 ， 此时黑方应该下在坐标为 _的位置处 图 16 参考答案 北京 真题体验 点确定一条直线 2 ( 3， 1) (0， 4) 1 a 1 且 0 b 2 解析 3， 1)， ， 4)， 3， 1)， ， 2)， ， 1)， ， 依此类推 ， 每 4 个点为一个循环组依次循环 ， 2014 4 503 2， 点 2的坐标相同 ， 为 (0， 4)； 点 a， b)， b 1， a 1)， a， b 2)， A4(b 1， a 1)， A5(a， b)， ， 以 此类推 ， 每 4 个点为一个循环组依次循环 ， 对于任意的正整数 n， 点 x 轴上方 ， a 1 0， a 1 0， b 2 0，b 0， 解得 1 a 1， 0 b 2. 3 32 13 0， 1 解析 当 2 时 ， 12， 2的纵坐标相同 ， 则 32， 2的横坐标相同 ， 则 23， 3的纵坐标相同 ， 则 13， 3的横坐标相同 ， 则 3， 4的纵坐标相同 ， 则 2， 4的横坐标相同 ， 则 12， 即当 2 时 ， 32， 13， 2， 32， 12， 23， 3， 12， 23， 20133 671， 13； 点 y 轴上 (此时找不到 即 x 0， 点 x 轴上 (此时 y 轴上 ， 找不到 即 y x 1 0， 解得 x 1. 综上可得 ， 1. 4 3 或 4 6n 3 解析 如图： 当点 B 在 (3， 0)点或 (4， 0)点时 ， 部 (不包括边界 )的整点为点 (1， 1)， (1， 2)， (2， 1)， 共三个点 ， 所以当 m 3 时 ， 点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4. 当点 B 的横坐标为 8 时 ， n 2， 内部 (不包括边界 )的整点个数 m （ 4 2 1 2） 3 32 9. 当点 B 的横坐标为 12 时 ， n 3， 内部 (不包括边界 )的整点个数 m （ 4 3 1 2） 3 32 15. 所以当点 B 的横坐标为 4n(n 为正整数 )时 ， m （ 4 n 1 2） 3 32 6n 3. 5 0 15 1 解析 由题意当 i j 时 ， j 0， 当 i j 时 ， j 1；由图表中可以很容易知道等于 1的数有 15 个 由题意 ， 很容易发现 ， 从 i 与 j 之间大小关系分析： 当 i j 时 ， j 0； 当 i j 时 ， j 1， 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 0 0 0 0 1. 北京专题训练 一、与数与式有关的规律探究 1)n 1 1解析 观察分母的变化为 a 的 1 次幂、 2 次幂、 3 次幂、 、 n 次幂；分子的变化为： 2， 5， 10， 17， ， 1；分式符号的变化为： ， ， ， ， ， ( 1)n 1. 2a ( 1)2 12 1 5( 1)3 22 1 10( 1)4 32 1 第 7 个式子是 50 第 n 个式子为： ( 1)n 1 1 二、与图形有关的规律探究 2 7 13 解析 序号为奇数的点在点 A 的左边 ， 各点所表示的数依次减少 3， 序号为偶数的点在点A 的右侧 ， 各点所表示的数依次增加 3， 于是可得到 12表示的数 ， 则可 判断 0 时 n 的最小值 第 1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 则 3 2； 第 2 次点 个单位长度至点 则 2 6 4； 第 3 次点 个单位长度至点 则 9 5； 第 4 次点 2 个单位长度至点 则 5 12 7. 第 5 次点 5 个单位长度至点 则 15 8； 则点 8 3 11， 点 11 3 14， 示的数为 14 3 17，17 3 20， 3 10， 0 3 13， 3 3 16， 63 19， 所以如果点 0， 那么 n 的最 小值是 13. 3 60 （ n 2） 180n 解析 (1)在 中的正三角形 ， 60 ， 120 ， 又 E D， 又 E D 60 . 由以上不难得到 中 进一步证出 中 得出 ， 中 度数等于 90 ， 同理可得 中 数等于 108 . (2)由正三角形、正四边形、正五边形时 ， 度数分别为 60 ， 90 ， 108 ， 可得出正 n 边形中 ， 其他条件不变 ， 则 度数为 （ n 2） 180n . 9 1 2解析 如图 ， 连接 点 B， 中点 ， 中位线 ， 12 S 14， S 14S 同理 ， S 14S S 14S S 14S S 阴影 S 四边形 (S S S S 1 14(S S S S 124S 四边形 11212. 如图 同理可得 S 阴影 1 19(S S S S 1 29S 四边形 1 29 79. 当取四边形 边的 n(n 为大于 1 的整数 )等分点时 ， 则 S 阴影 1 1 S S S 1 2边形 1 2三、平面直角坐标系中的规律探究 5 (3， 2) (2013， 2014) 解析 根据题意画出图象 ， 进而得出各点坐标变化规律进而得出答案 如图所示：点 3， 2)， ， 1)， ， 2)， ， 3)， B 点横坐标比纵坐标小 1， 点 (2013， 2014) 故答案为： (3， 2)， (2013， 2014) 6 3 32 34 7 (15， 8) (2n 1， 2n 1) 解析 根据一次函数 ， 得出点 继而得知 从中找出规律 ， 进而可求出 把 x 0 代入 y x 1， 可得 y 1， 所以可得点 1， 1) 把 x 1 代入直线 y x 1， 可得 y 2， 所以可得点 3， 2)， 同理可得点 7， 4)；点 15， 8)； 由以上得出规律是 2n 1， 2n 1) 点评 本题考查了正方形的性质 ， 解此题的关键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律 ， 题目比较好 ， 但是一道比较容易出错的题目 8 0 8 0 2n 1 解析 已知直线 y 33 x， 点 0， 1)， 过点 y 轴的垂线交直线 l 于点可知 3， 1)， 以原点 O 为圆心 ， y 轴于点 22， 点 0， 2)， 这种方法可求得 2 3， 2)， 故点 0， 4)， 点 标为 (0， 8)， 此类推便可求出点 0， 2n 1) 9 (0， 1 3) ( 11， 11) ( n， n) 解析 从内到外 ， 它们的边长依次为 2， 4， 6， 8， ， 顶点依次用 表示 ， 其中 x 轴与边 边 47 均相距一个单位长度 ， 2， 1， 1， 1)， 3， 则 3 1， 则顶点 (0， 1 3) 同理可得出： 2， 2)， 3， 3)， 4 2 3 2， 7 3 3 2， 10 4 3 2， ， 31 11 3 2， ( 11， 11)， 2(n 为正整数 )的坐标为 ( n， n) 2n 解析 当 x 1 时 ， ， 当 x 2 时 ， ， 当 x 3 时 ， 3， 当 x 4 时 ， ， 当 x 5 时 ， 5， 则 12 1 (4 2) 1 2 1； 12 1 (2 43) 13 1 23； 12 1 (43 1) 16 23 24； 2 1 1 23 23 24 2 24 32； 12 1 (1 45) 110 24 25； 1 2n 1 2n； 1 2 1 1 23 23 24 2n 1 2n 2 2n. 故答 案为 32， 2 2n. 11 (0， 4) ( 2 2n 1， 2 2n 1)(m 为正奇数 )或 ( 2 2n 1， 2 2n 1)(m 为 0 和正偶数 ) 解析 根据点 然后分别求出 ， 再根据点 y 轴负半轴上写出 n 是正奇数和 n 是 0 和正偶数两种情况确定出点 限 ， 然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可 ， 1， 0)， 1. 2， 2 2 22， 22 2 23， 23 2 24， ， 2n 1 2 2n. 每次旋转 45 ， 点 x 轴正半轴上 ， 点 y 轴负半轴上 点 0， 4) m 为正奇数时 ， 点 m 为 0 和正偶数时 ， 点 综上所述 ， 点 2 2n 1， 2 2n 1)(m 为 正奇数 )， ( 2 2n 1， 2 2n 1)(m 为 0 和正偶数 ) 12 (4， 0) 2 A 或 C 解析 点 A(1， 0)， B(2， 0)， 1， 2， 正六边形的边长为： 1， 当点 D 第一次落在 x 轴上时 ， 2 1 1 4， 此时点 D 的坐标为： (4， 0) 如图所示：当滚动到 AD x 轴时 ， E， F， A 的对应点分别是 E， F ， A ， 连接 A D， 过点 F， E 作 FG A D， E H A D， 垂足分别为 G， H， 六边形 正六边形 ， A F G 30 ， A G 12A F 12， 同理可得： 12， A D 2， 在运动过程中 ， 点 A 的纵坐标的最大值是 2. 正六边形滚动 6 个单位长度时正好滚动一周 ， A 点从点 (1， 0)开始到点 (2014， 3)， 正六边形正好滚动 2013 个单位长度 20136 335 3， 恰好滚动 335 周多 3 个 ， A 点的纵坐标为 3， 会过点 (2014， 3)的是点 A， 当点 E 在 (2014， 0)位置时 ， 则点 F 在 (2015， 0)位置 ， 此时 C 点在 E 点的正上方 ， 3， 所以 C 点也符合题意 2 解析 ， 1 是 x 轴上的点 ， 且 1 1， 分别过点 ， 1作 x 轴的垂线交直线 y x 于点 ， 1， 依题意得： ， 1)， ， 2)， ， 3)， ， Bn(n， n) 12， 2. 1， 3， S 13 1 12 16， 同理可得： S 25， S 914， 2. 故答案为 16， 2. 四、定 义新运算 14 3 1 或 4 解析 a b 3a b， x 2 6， 3x 2 6， 解得 x 1 或 x 4. 15 2 2 解析 首先根据 12， 可得 11 11 12 2， 11 11 2 1， 11 1（ 1） 12， ， 所以这列数是12， 2， 1，12， 2， 1， ， 每 3 个数是一个循环 ， 然后用 2