第一章泛函变分的基础概念(16K)

1 第一章 泛函极值问题的一些基本概念 1 1 泛函的极大值和极小值问题 如果函数在附近的任意点上的值都不大 小 于 也即时 则称 xy 0 xx 0 xy 0 0 d 0 xyxyy 函数在上达到极大 极小 而且在上 有 xy 0 xx 0 xx 1 1 0d y 对于泛函 也有类似的定义 如果泛函在任何一条与接近的曲线上的值不大 或不 xy xy 0 xyy 小 于 也就是 如果 或 时 则称泛函在曲线 0 xy 0 0 xyxy0 xy 上达到极大值 或极小值 而且在上 有 0 xyy 0 xyy 1 2 0 在这里 对于泛函的极值概念有进一步说明的必要 凡说到泛函的极大 或极小 值 主要是说泛函的相对的 极大 或极小 值 也就是说 从互相接近的许多曲线来研究一个最大 或最小 的泛函值 但是曲线的接近有不同 的接近度 因此 在泛函的极大极小的定义里 还应说明这些曲线有几阶的接近度 如同一般函数极大 极小 讨论一样 如果泛函在曲线上有强极大 极小 值 不仅对于那些既是函 0 xyy 数接近而且导数也接近的而言是极大 极小 值 而且对于那些只是函数接近但导数不接近的而言 也是 xy xy 极大 极小 值 所以泛函在曲线上是强极大 极小 值时 也必在上是弱极大 极小 值 0 xyy 0 xyy 反之 则不然 即泛函在曲线上有弱极大 极小 值时 不一定是强极大 极小 值 因为有可能对于那 0 xyy 些只是函数接近但导数不接近的而言 有一个比函数与导数都接近的所求的极大 极小 更大 小 的极 xy xy 大 极小 值存在 所以弱极大 极小 不能满足强极大 极小 的要求 这一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去 1 2 求解泛函极值的欧拉方程 变分法的早期工作是如何将泛函驻立值问题转化为微分方程问题 当把泛函的驻立值问题转化为微分方程时 第 一步工作就结束了 下一步是如何求解这一微分方程 这种求解方法在实际应用上碰到很大的困难 自从里兹提出直 接求泛函极值的近似法 里兹法 以后 人们才认识到直接从泛函极值出发 而避免从微分方程式出发更为有效与方 便 这样的处理方法可以充分利用电子计算机的作用 于是人们研究的目标有所转移 即把原来从泛函驻立值问题化 为微分方程问题 转变为把微分方程问题转变为定义一个泛函 而成为泛函求驻立值的问题 对于前一种问题由欧拉 拉格朗日等已建立了一套比较成熟 比较系统的方法 而对于后一类问题 虽然正在大力进行工作 但尚不成熟 目 前用的多的方法 还是根据微分方程物理和工程背景 采取尝试和核对的方法 即先试猜一个泛函的极值和驻立值问 题 然后再核对一下 看它是否与原来的微分方程问题等价 这种方法在以后的变分原理中将经常用到 现在研究最简单泛函 1 3 式的极值问题所得到的欧拉方程 其中能确定泛函极值曲线的边界是固定 xyy 不变的 而且有 函数将认为是三阶可微的 11 yxy 22 yxy yyxF 1 3 2 1 d x x xxyxyxF 首先让我们用拉格朗日法来求泛函的变分 xyyyyxFyy x x d 2 1 于是有 xyyyyyxF y yyyyyxF y yy x x d 2 1 让 得0 2 1 4 xy y F y y F yy x x d 2 1 0 其中 yyxF yy F yyxF yy F 而且 2 1 2 1 d d d d d d x x x x xy y F x y y F x xy y F 对于固定边界条件 因为有 所以0 12 xyxy 1 5 xy y F x xy y F x x x x d d d d 2 1 2 1 将 1 5 式代入 1 4 式 得到变分极值条件 1 6 0d d d 2 1 xy y F xy F x x 根据变分法的基本预备定理 求得本题的欧拉方程为 1 7 0 d d y F xy F 这里必须指出 上式中的第二项是对的全导数 不是偏导数 且 所以x yyxFF 1 8 yFyFF x y y F x y yx F yx F y F x yyyyyx d d d d d d 2 222 其中 都是对的二阶偏导数 所以欧拉方程 1 7 式也可 yx F yy F yy F yyxF yyx 2 2 d d d d x y y x y y 以写成 1 9 0 yFyFFF yyyyyxy 这就是 1744 年欧拉所得的著名方程 该方程也被称为欧拉 拉格朗日方程 1 9 式是关于的一个二阶微分方程 其积分常数有两个和 它的积分曲线叫做极 xy 1 c 2 c 21 ccxyy 值曲线 只有在这族极值曲线上 泛函 1 3 式才能达到极值 积分常数是由极值曲线通过 这两个端点条件所决定的 2211 yxyyxy 把泛函的变分作为泛函增量的主部 也同样得到欧拉方程 1 7 式及 1 8 式 求泛函增量主部的过程实质上 与求微分的过程非常相似 例如从 1 3 式 因为积分限是固定的 不变的 所以有 xyyxFxyyxF x x x x d d 2 1 2 1 其是从增量引起的 其主部为F yy y y F y y F yyxF 于是得到 1 4 式 这和拉格朗日法得到的变分表达式是相同的 这里还应指出 1 9 式这样的欧拉方程 有下列四种特殊的情况 应该予以注意 1 和无关 即 yyxF x 1 10 yyFF 于是 1 9 式可以写成 1 11 0 yFyFF yyyyy 3 上式可以简化为 1 12 0 d d y y F F x 一次积分后 1 13 1 cy y F F 其中为积分常数 1 c 2 和无关 即 yyxF y 1 14 yxFF 代入 1 7 式 得 1 15 0 d d y F x 积分得 1 16 c y F 其中为积分常数 c 3 和无关 即 yyxF y 1 17 yxFF 于是欧拉方程为 1 18 0 yxFy 它不是微分方程 不包含什么特定常数 一般情况 所讨论的变分问题不存在 只在个别的情况下 当曲线 1 18 式通过固定端点时 才存在可能达到极值的曲线 4 是的线性函数 即 yyxF y 1 19 yyxQyxPyyxF 于是欧拉方程为 1 20 0 d d x Q y y Q y P 但是 1 21 y y Q x Q y P d d 所以 1 20 式可以简化为 1 22 0 x Q y P 它也不是一个微分方程式 因为它没有项 一般说来它不满足固定端点条件 因此 变分问题根本不存在 y 现在我们将上述变分问题推广到含有高阶导数的泛函的极值问题和泛函变分得到的欧拉方程 我们研究泛函 1 23 2 1 d x x n xxyxyxyxyxFxy 的极值 其中泛函被认为对于 是阶可微的 并且假定 端点上有固定F xy x y x y xy n 2 n 条件 4 1 11 1 111111 n n yxyyxyyxyyxy 1 24 1 22 1 222222 n n yxyyxyyxyyxy 端点上不仅给出函数值 而且还给出直至阶导数的值 我们将假定 极值在 2n 阶可微曲线上达到 1 n xyy 用上面相同的求泛函变分方法 我们可以证明 1 25 2 1 d x x n n xy y F y y F y y F y y F 其中用简略符号代替 代替 y xy k y d d xy x xy k k k 积分 1 25 式中的第二项可以分部积分一次 得 1 26 xy y F x y y F xy xy F x x x x x x d d d d d d2 1 2 1 2 1 将积分 1 25 式中第三项分部积分两次 得 1 27 xy y F x y y F x y y F xy xy F x x x x x x x x d d d d d d d d 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 最后一项经过 n 次分部积分后 得 1 28 xy y F x y y F x y y F xy xy F x x nn n n x x n n x x n n x x n n n d d d 1 d d d d d 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 根据变分法的预备定理 1 25 式为零时 得 1 29 0 d d 1 d d d d 2 2 nn n n y y F xy F xy F x F 这是的 2n 阶微分方程式 一般称之为泛函 1 23 式的欧拉 泊桑方程 而它的积分曲线就是所讨论变分问 xyy 题的解 极值曲线 这个方程的解通常有 2n 个特定常数 由 2n 个端点条件 1 24 式决定的 例 1 1 梁在横向载荷作用下的弯曲问题 就是含有较高阶导数的泛函极值问题的一个例子 设梁的抗弯刚 度为 两端固定 在横向分布载荷作用下发生弯曲变形 或称挠度 如图 1 1 所示 端点固定条件EJ xq xw 为 1 30 0 0 0 0 LwLw ww 在梁达到平衡时 其总位能达到最小值 梁的位能等于梁在弯曲时所贮存的 弯曲能 它等于 1 31 xEJU L d 2 1 0 2 其中为梁弯曲后的曲率 它和挠度 w x 的关系为 图 1 1 梁在横向载荷作用下的弯曲 5 2 2 2 3 2 2 2 d d d d 1 d d x w x w x w 这里假定挠度很小 略去高次项 1 31 式可以写成 x x w EJU L d d d 2 1 0 2 2 载荷在变形上的位能为 xq xw 1 32 L xxwxqV 0 d 于是 梁所形成的总位能为 1 33 L xxwxq x w EJVU 0 2 2 d d d 2 1 梁的平衡条件为使总位能达到最小值 即 于是利用变分计算 并利用固定端条件 1 30 得 xw0 1 34 0d d d 0 4 4 L xxwxq x w EJ 利用变分法的预备定理 求得梁的平衡方程为 0 d d 4 4 xq x w EJ 这就是欧拉 泊桑方程 1 34 式在静力学中被称为虚位移原理 就是满足端点位移约束条件的虚位移 xw 虚位移原理为 对于平衡的力系而言 对一切满足约束条件 这里指端点条件 的虚位移作的功都等于零 最小位能原理 或称 总位能原理 和虚功原理是一致的 下面讨论另一种形式的泛函 1 35 c SR d dd sGyxF yxyx 的欧拉方程 函数中在域 R 内连续 其边界由和组成 其中 yx S b S c S 在上 b b S 为给定的 式中 b x x y y 现在对 1 35 泛函取一次变分 得到 1 36 c SR d dd s G yx FFF y y x x 因为 yy xx y x 1 36 式等号右边第一个积分中的末两项可化为 R RR dd dd dd yx F y F x yx F y F x yx FF yx yx y y x x 利用高等数学中的格林公式 6 SR dd PdxQdyyx y P x Q 上式可化为 R SR dd d d dd yx F y F x x F y F yx FF yx yx y y x x 将 为周边法线的方向余弦 代入上式 并引入边界上的给定条件 再代回 1 slxsly yx dddd yx ll b S 36 式中 可得 0d dd c SR s F l F l G yx F y F x F y y x x yx 因为为在不同域的任意变分量 由变分法的预备定理 可以求得欧拉方程为 在 R 域内 1 37 0 yx F y F x F 及 在上 0 y y x x F l F l G c S 1 3 含多个待定函数的泛函及其欧拉方程 哈密顿原理 让我们把上一节的泛函极值和欧拉方程推广到含多个待定函数的泛函极值问题 设有泛函 1 38 xyyy yyyyyyxFyyy n i nn x x iii d 2 1 212121 2 1 其中为 个待定函数 分别表示一阶 二阶 21 ikxyy kk i xyyxyy kkkk xyy n k n k n 阶的导数 设这些函数有端点值 1 39 21 2 22 1 11 222 111 ik yxyyxyyxy yxyyxyyxy n k n kkkkk n k n kkkkk 对所有的 x 而言 都是 n 2 阶可微的 待定曲线是 2121 iknjy j k F 2 1 ikxyk 2n 阶可微的 泛函的变分极值条件为 21i yyy 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x n n y y F y y F y y F y y F 7 1 40 0d xy y F y y F y y F y y F n i n i i i i i i i 通过分部积分 利用端点固定的条件 即利用 1 41 2 1 2 1 0 0 2 1 iknj xyxy j k j k 后 可以把 1 40 式化为 2 1 d d 1 d d d d 1 11 2 2 11 x x nn n n xy y F dxy F xy F xy F 2 1 d d d 1 d d d d 2 22 2 2 22 x x nn n n xy y F xy F xy F xy F 1 42 0d d d 1 d d d d 2 1 2 2 x x i n i n n n iii xy y F xy F xy F xy F 利用上节相同的方法 我们可以得到 i 个欧拉方程 1 43 2 1 0 d d 1 d d d d 2 2 nk y F xy F xy F xy F n k n n n kkk 这是决定的 i 个待定函数的 i 个微分方程式组 i yyy 21 现在我们研究力学中的一个基本变分原理 哈密顿 Hamilton 原理 或称为最小作用量原理 该原理可叙 述为 质点系满足某些约束条件的运动 必使积分 作用量 1 44 2 1 d t t tUTA 成极值 最小值 其中分别表示质点系的动能和位能 为时间 满足某些约束条件是指质点系满足下列边UT t 值条件 1 45 2222 1111 tztytxtztytxtt tztytxtztytxtt iiiiii iiiiii 时在 时在 如果质点的质量为 坐标为 作用在质点上的力是以为力函数 即势函数 2 1 nimi iii zyx i FU 的 1 46 i xi x U F i yi y U F i zi z U F 2 1 ni 而势函数只依赖于质点的坐标 这是一个保守力场 即U 1 47 222111nnn zyxzyxzyxUU 动能是 1 48 n i iiii zyxmT 1 222 2 1 其中分别代表 最小作用原理 即哈密顿原理 要求 iii zyx dt dz dt dy dt dx iii 0d d 2 1 2 1 t t t t tUTtUTA 1 49 8 其中 n i iiiiiii zzyyxxmT 1 1 50 n i iziyix n i i i i i i i zFyFxF z z U y y U x x U U iii 1 1 通过分部积分 并由约束条件 1 45 式有和都等于零 即得 111 tztytx iii 222 tztytx iii 1 52 2 1 2 1 d d 1 1 t t n i iiiiiii t t n i iiiiiii tzzyyxxm tzzyyxxm 于是哈密顿原理可以写为 1 52 2 1 1 0d t t n i iziiiyiiixii tzFzmyFymxFxm iii 由于为任意的独立变分 所以得到欧拉 泊桑方程 iii zyx 1 53 iiziiyiix zmFymFxmF iii 2 1 ni 这就是个质点的个牛顿运动方程式 nn3 从上述的讨论中不难发现 最小位能原理等价于静力平衡方程 而哈密顿原理等价于牛顿运动方程 如果运动还受另外一组独立关系 0 212121 nnnj zzzyyyxxxt 1 54 3 2 1 nmmj 的约束 则独立变量只剩下个 如果我们用个新的变量 或称广义坐标 mn 3mn 3 mn qqq 321 来表示原来的变量 即 iii zyx 1 55 321 321 321 tqqqzz tqqqyy tqqqxx mnii mnii mnii 2 1 ni 则 可以写成UT 1 56 321221 321 tqqqqqqTT tqqqUU mnmn mn 于是哈密顿原理或最小作用量原理可以写成 1 57 2 1 3 1 0d t t mn i i i i i tq q T q q UT A 经过部分积分可以为 1 58 2 1 3 1 0d d d t t mn i i ii tq q T tq UT A 9 而欧拉 泊桑方程为 1 59 0 d d ii q T tq UT mni 2 2 1 习惯上 人们把 1 60 UTL 称为拉格朗日函数 于是哈密顿原理可以写成 1 61 mn i t t i ii t t tq q L tq L tLA 3 1 2 1 2 1 d d d d 而欧拉 泊桑方程为 1 62 0 d d ii q L tq L 3 2 1 mni 在理论力学中 方程组 1 62 是著名的拉格朗日方程 上面用称为 广义坐标 1 59 1 62 式都是用广义坐标表示的 其优点是不一定要用真正的坐标或位 i q 移来表示 这样就显得灵活与方便得多 现以下面耦合摆为例来说明 例 1 2 如图 1 2 所示的耦合摆 它们之间以弹簧相连 若略去摆的重量 取为广义坐标 于是动 321 能和势能分别为 图 1 2 耦合摆的运动 1 63 2 2 3 2 2 2 1 2 mT 1 64 cos1 cos1 cos1 2 sin sin 2 1 sin sin 2 1 321 2 32 22 21 2 mg KKU 对于微振幅的摆动而言 sin 2 2 1 cos1 于是 1 65 2 1 2 3 2 2 2 1 2 32 2 21 2 mgKU 拉格朗日方程为 1 66 0 d d 0 d d 0 d d 332211 L t LL t LL t L 10 将代入 即得UTL 1 67 323 2 3 2 2212 2 2 2 121 2 1 2 2 4 2 2 4 2 4 mgKmg mgKmg mgKmg 由以上三式 即可求得 321 我们也可以在个 1 54 式的约束条件下用广义坐标来求非保守系统的拉格朗日方程 非保守系统没有这样m 一个势函数 但我们可以把外力对作的功用广义坐标的变分对广义力作的功来U iii zyx FFF iii zyx k q k q k Q 表示 设 1 68 mn k kk n i iziyix qQFFxF iii 3 11 z y 因为 mn k k k i i mn k k k i i mn k k k i i q q z q q y q q x x 3 1 3 1 3 1 z y 将上式代入 1 68 式 有关的系数给出 k q 1 69 n i k i z k i y k i xk q z F q y F q x FQ iii 1 这就是广义力的表达式 于是 在非保守力系下的最小作用量原理可以写成 1 70 0d 2 1 3 1 t t mn k kk tqQTA 或可写成 1 71 mn k t t kk kk tqQ q T tq T A 3 1 0d d d 2 1 于是由在非保守力场中的运动方程 即拉格朗日方程 1 72 3 2 1 d d mnkQ q T q T t k kk 广义坐标在理论力学中受到重视的原因 不止一个 广义坐标使力学系统的描述不受坐标选用的限制 如果我们 把一组广义坐标换置为另一组广义坐标 i q 其中 21pii qqqqq pi 2 1 则哈密顿原理 1 73 0d 2 1 t t tUTA 仍旧给出拉格朗日方程 运动方程 为 1 74 2 1 0 d d pi q L tq L i 其形状和坐标无关 用广义坐标的变分原理较易于求得近似解 1 4 含多个自变量的函数的泛函及其极值问题 11 许多平面问题 如弹性板的弯曲 平面应力或应变问题 轴对称问题等都有或两个自变量 其它问题诸yx zr 如弹性振动 平面热传导 弹塑性理论等有三个或四个自变量 这一类问题在力学物理中非常重要 也是变分法中的 主要方面 这类泛函极值问题本质是类似的 首先研究泛函 1 75 S dd yxyxw y yxw x yxwyxFyxw 的极值问题 其中函数在域 S 的边界 C 上的值已经给出 即在边界 C 上为已知 记 yxw yxw 1 76 x w x w y w y w 式 1 75 表达的泛函的变分可以写成 1 77 S y y x x yxw w F w w F w w F dd 根据函数变分的定义 有 w xx w wx w yy w wy 而且 w w F x w w F x w w F xx x x w w F y w w F y w w F yy y y 将上式代入 1 77 式 则得 1 78 Syx Syx yxw w F y w w F x yxw w F yw F xw F dd dd 根据格林公式 Green formula 对两个连续函数有 yxgyxf 1 79 CC S sgfxgyfyx y g x f d cossin dd dd 其中 s 为边界围线 C 的弧长 以逆时针为正 顺时针为负 为切线和 x 轴的夹角 图 1 3 并且有以下关系式 sxdcosd sydsind 1 80 sincos cossin sny snx 1 81 cossin sincos yxn yxs 并有 nsny n sy s y nsnx n sx s x cossin sincos 1 82 或 yxyn y xn x n yxys y xs x s cossin sincos 1 83 以上各式 对简化二维问题时都是很有用的 按 1 79 式 我们有 图 1 3 边界的切线和法线 12 1 84 C d cossin dd sw w F w F yxw w F y w w F x yxSyx 在边界 C 上 已知为 对于都通过的任意的变分在边界 C 上都恒等于零 因 yxw c yxw c yxw yxww 此 1 84 式右侧围线积分应该恒等于零 于是 1 78 式最后化为 1 85 Syx yxw w F yw F xw F dd 当泛函达到极值时 根据变分法基本预备定理 得0 1 86 0 d d d d yx w F yw F xw F 这就是决定 在边界上满足 的微分方程 也称为欧拉方程式 yxw c yxww 例 1 3 弦的振动问题就是和 1 75 式相类似的泛函变分问题 设有均匀弦 AB 单位长度的密度为 弦内拉力为 的两端固定 单位长度弦的横向位移 N0 xLx 既是的函数 也是时间 的函数 整个弦的动能为 txwxt 1 87 x t w T l d 2 2 0 弦内由于变形所积蓄的弹性变形能 即势能 等于弦内拉力 即两端的拉力 和弦长增长的总量的乘积 弦N 的元素在变形后增长到 因此势能为xdx x w d 1 2 1 88 ll x x w Nx x w NU 0 2 0 2 d 2 1 d 1 1 这里略去了的高次项 为了寻求运动方程 我们可以利用哈密顿原理 即寻求 x w txw 使弦在中的作用量为最小 即求泛函 21 ttt 1 89 2 1 2 1 2 1 dd 2 1 d d 0 22 t t lt t t t tx x w N t w tUTtLA 的极值 应满足固定条件 txw 1 90 0 0 tw0 tlw 和满足初始和结束时弦的形状条件 1 91 11 xwtxw 22 xwtxw 的变分极值条件给出0 A 1 92 0dd 2 1 0 tx x w x w N t w t w A t t l 根据 1 90 1 91 式 我们有 所以0 0 21 txwtxwtlwtw 2 1 2 1 dd dd 2 2 00 t t lt t l txw t w tx t w t w 1 93 lt t l t t txw t w xw t w 00 2 3 2 1 2 1 dd d 13 2 1 2 1 dd dd 0 2 2 0 t t lt t l txw x w Ntx x w x w N 1 94 2 1 2 1 0 2 3 0 dd d t t lt t l txw x w Ntw x w N 最后 1 92 式可以写成 1 95 2 1 0 2 2 2 2 0dd t t l txw t w x w NA 根据变分预备定理 得到弦振动的欧拉方程 1 96 0 2 2 2 2 t w Nx w 在以下的公式推导中 将用到下面诸微积分定理 进行简化 1 格林 Green 定理或高斯 Gauss 定理 1 97 S d coscoscos d sCBA z A y A x A 其中为中和上的连续函数 为闭域的界面 为界面的外法线和轴之间CBA SS Snzyx 的方向角 2 格林定理的形式之一 1 98 S 2 dd ds n V U z V z U y V y U x V x U VU 其中为 V 对外法线方向 n 的导数 nV 2 2 2 2 2 2 2 zyx 这一公式证明很容易 因为 coscoscos z V y V x V n z z V n y y V n x x V n V 利用分部积分对 1 98 式右边第一项进行运算 以其中第一项为例 有 S 2 2 dcosdds x V U x V x U x V U 整理后即得到 1 98 式 3 格林定理 1 99 S 22 d d s n U V n V UUVVU 该式可以由 1 98 式进行证明 在使用了这些定理之后 我们可以证明下列常见的欧拉方程 1 泛函 1 100 zyx z w y w x w wzyxFzyxwddd 由极值必要条件 其欧拉方程为0 1 101 0 zyx w F zw F yw F xw F 14 其中 其边界条件为在的表面上为已知 即在 z w w y w w x w w zyx zyxw 边界上 0 w 2 泛函 1 102 S y yx w y w x w y w x w wyxFyxwdxd 2 2 2 2 2 为极值的必要条件是 其欧拉方程为0 2 2 xxyx w F xw F yw F xw F 1 103 0 2 22 yyxy w F yw F yx 其中 其边界条件为和 2 22 2 2 y w w yx w w x w w y w w x w w yyxyxxyx txw 在边界上为已知 为外向法线 也即在边界上 n w CnC0 w0 n w 3 泛函 1 104 2 1 ddd t t tzxdy t w z w y w x w wtzyxFtzyxw 为极值的必要条件是 其欧拉方程为0 1 105 tzyx w F tw F zw F yw F xw F 其中 其边界条件为在的表面 t w w z w w y w w x w w tzyx tzyxw S 上已知 即在边界上无论在内任何时间 其起始和终止条件为和为已S 21 tt0 w 1 tzyxw 2 tzyxw 知 即当时 中的任意点 22 t tt 0 w 4 泛函 1 106 2 1 ddd S 2 2 2 2 2 t t tyx t w yx w y w x w y w x w wtyxFtyxw 为极值的必要条件是 其欧拉方程为0 1 107 0 2 2 2 2 2 xyyyxx tyx w F yxw F yw F x w F tw F yw F xw F 其中 其边界条件为和在边界 2 22 2 2 y w w yx w w x w w t w w y w w x w w yyxyxxtyx tyxw n w 上是已知的 即在边界上不论内那个时间 其起始和终止条件为 CC 21 ttt 0 w n w 1 tyxw 为已知 即在 2 tyxw 21 tttt 时上任意点的 S0 w 15 下面列出几个常见的例子 例 1 泛函 1 108 zyx z w y w x w ddd 222 的变分极值问题 由上式取极值必要条件 可得到欧拉方程0 1 109 0 2 2 2 2 2 2 z w y w x w 这是三维的拉普拉斯方程 在边界上的值为给定的 即有 zyxwS0 w 例 2 泛函 1 110 zyxzyxw z w y w x w ddd 2 222 的变分极值问题 给出的欧拉方程是三维泊桑方程 1 111 2 2 2 2 2 2 zyx z w y w x w 在边界上的值为已知的 即有 zyxwS0 w 例 3 泛函 1 112a SS 2 2 2 2 2 2 2 2 1 dd dd 2 2 yxwyxqyx yx w y w x wD 或泛函 1 112b SS 2 2 2 2 2 2 2 dd dd 2 yxwyxqyx y w x wD 或泛函 1 112c S S 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 dd dd 1 2 2 yxwyxq yx yx w y w x w y w x wD 其中为抗弯刚度 为泊桑比 为平板所受的横向分布载荷 以上三式的变分极值条件 都给出同一个四D yxq 阶欧拉方程 1 113 2 4 4 22 4 4 4 22 yxq y w yx w x w DwD 以上三个泛函都被用于板弯曲问题 但必须指出 这三个泛函虽然给出了相同的欧拉方程 却代表着不同的边界条件 考虑式 1 112a 表示的泛函 首先对式 1 112a 进行变分 1 114 SS 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 dd dd 2 yxwqyx yx w yx w y w y w x w x w D 利用分部积分 等号右边第一 二 三项可分解为 w x w w x w xx w x w xx w x w 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 w y w w y w yy w y w yy w y w 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 16 w yx w w yx w yy w yx w xyx w yx w 22 4 2 3222 或 1 115 w yx w w yx w xx w yx w yyx w yx w 22 4 2 3222 合并 1 115 各式 可得 1 116 2 2 2 2 22 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 ww yy ww xxy w y w x w yx w y y w yx w x w x w x ww yx w yx w y w y w x w x w 根据格林公式 1 79 式 有 S 2 222 2 2 dd yx y w y w yx w yy w yx w x w x w x 1 117 C 2 222 2 2 d cos sin s y w y w x w yx w y w yx w x w x w S 22 dd yxw y w y w x w x 1 118 C sw y w x w d cossin 22 在边界 C 上 如果已知 即 即w0 w 1 118 式等号右边边界 围线积分等于零 如果周边 C 上为已知的 那w么也一定是已知的 nw 在边界 C 上 0 现在证明w nw 1 117 等号右边边界围 线积分等于零 为了证明这点 我们引进边界正交坐标 图 1 sn 4 坐标 之间的变换关系如dxdydsdn 1 82 和 1 83 式 这 里是的函数 即 而且有 s s s s 1 0 n 1 119 其中为边界曲线的曲率半径 当曲率中心在 S 域内部时为正 在外侧时为负 于是利用 1 83 式后 可以证明 s cos sin cossin 2 2 2 x w yx w x yx w x w 1 120 x w n 图 1 4 边界正交坐标 17 同样 可以证明 1 121 cossin 2 22 y w ny w yx w 于是 1 117 式中被积函数可以写成 1 122 y w y w nx w x w n y w y w y w yx w y w yx w x w x w cos sin 2 222 2 2 这里必须指出 我们不能把 1 82 1 83 式的直接代入来计算 1 122 式 因为 1 yx y w nx w n 82 式所表示的 是在周边 C 上的导数极限 它们只是的函数 它们对法线 n 的导数一定等于零 1 y w x w s 122 式中的应该是边界线附近的在时的极限 即 y w nx w n y w nx w n 0 n 1 123 Lim Lim 0 c 0 c y w ny w n x w nx w n n n 让我们取边界正交坐标 这一坐标不在边界 C 上 如图 1 4 同样有以下关系 sn 在上 1 124 nsy nsx cossin sincos s 且 1 125 sns s s 所以 sincos 1 sincos Lim sincos Lim Lim 2 22 2 2 2 2 0 00 n w s w sn w n w s w nsn w n n w s w nnx w n s s s s s n s s nn 同样 得 cossin 1 Lim 2 22 0 n w s w sn w y w n s n 于是 1 122 式可以化为 n w n w w s w ssn w w s w sn w s n w n w s w s w sn w n w s w n w s w sn w n w s w n w s w sn w y w y w nx w x w n ss s s s 1 1 1 cos sin cos sin 1 sin cos sin cos 1 2 2 2 32 2 22 2 2 2 2 2 2 c 1 126 而且 根据边界的封锁性 我们有 kk s i k s w s w sn w sw s w sn w s 1 d 1 2 1 c 2 1 127 18 其中代表边界 C 上第 k 角点的增值量 注意 C 的方向走向 k 角点增量顺序 这里假设共有 kk s w s w sn w 1 2 i 个不连续角点 为 k 角点的值 k w w 最后 从 1 117 式导出 c 2 3 2 2 S 2 222 2 2 d 1 dd sw s w ssn w n w n w yx y w y w x w yx w yy w yx w x w x w x s 1 128 i k kk s w s w sn w 1 2 1 同样 利用 1 83 式中的第二式 我们可以从 1 118 式证明 1 129 c 2 S 22 d dd sw n w yxw y w y w x w x 最后 得的极值 必要 条件 1 1 130 0 1 d 1 d dd 1 2 c 2 2 2 c 2 2 S 22 1 k k i k s s w s w sn w D sw s w ss w w n D s n w n w DyxwqwD 如果在边界 C 上 和为已知 包括边界为固定的 则有wnw 在边界 C0 w0 n w 在角点上 1 131 0 k wik 2 1 从 1 130 式中利用 1 131 的条件 利用变分法的预备定理 就得到欧拉方程 这里为板的平衡方程为 1 132 0 22 qwD 如果在边界 C 的一部分 C1上 和都是未知的 在 C1边界上和均不等于零 它们可以是任选wnw wnw 的 利用变分法预备定理 则在 C1上必须满足的条件为 在 C1边界上 1 133 0 0 1 2 2 2 2 2 n w s w ss w w n s 如果在角点上 也是未知的 则在那里不等于零 利用变分法的预备定理 在角点上必须满足角点条件 1 kww 1 k 在角点上 1 134 0 1 1 2 k s s w sn w 1 k 像 1 133 及 1 134 的条件 称之为自然边界条件 凡变分法中因边界值事先未给定而由驻值要求所引起的必须满足的边界条件 统称为自然边界条件 例如 1 133 式就是在 1 112a 式的泛函变分中 因一部分边界上的和未知 而必须满足的两个自然边界条件 1 Cwnw 19 其它二个泛函和 利用上述类似的方法推导 由各自极值的必要条件和 均可得到板 2 3 0 2 0 3 弯曲的欧拉方程 即板弯曲微分方程 但代表不同的自然边界条件 读者可自行推导 以上问题的详细论述 可参 阅文献 1 例 4 梁的弯曲振动问题 梁弯曲振动时 梁的弹性变形能为U 1 135 l x x w EIU 0 2 2 2 d