2015高考数学一轮题组训练：2-9函数模型及其应用

1 第 9 讲 函数模型及其应用 基础巩固题组 建议用时 40 分钟 一 填空题 1 2014 日照模拟 下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据 它最可能的函 数模型是 x45678910 y15171921232527 一次函数模型 幂函数模型 指数函数模型 对数函数模型 解析 根据已知数据可知 自变量每增加 1 函数值增加 2 因此函数值的增 量是均匀的 故为一次函数模型 答案 2 2014 苏州模拟 物价上涨是当前的主要话题 特别是菜价 我国某部门为尽 快实现稳定菜价 提出四种绿色运输方案 据预测 这四种方案均能在规定 的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0 各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函 数关系如图所示 在这四种方案中 运输效率 单位时间的运输量 逐步提高 的是 解析 由运输效率 单位时间的运输量 逐步提高得曲线上的点的切线斜率应 该逐渐增大 故选 答案 3 某公司租地建仓库 已知仓库每月占用费 y1与仓库到车站的距离成反比 2 而每月车载货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比 据测算 如果在距 离车站 10 千米处建仓库 这两项费用 y1 y2分别是 2 万元和 8 万元 那么 要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站 千米处 解析 由题意得 y1 y2 k2x 其中 x 0 当 x 10 时 代入两项费用 k1 x y1 y2分别是 2 万元和 8 万元 可得 k1 20 k2 y1 y2 x 2 4 5 20 x 4 5 8 当且仅当 x 即 x 5 时取等号 20 x 4 5x 20 x 4 5 答案 5 4 2013 安徽名校联考 如图 在平面直角坐标系中 AC 平行于 x 轴 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 记四边形位于直线 x t t 0 左侧图形的面积 为 f t 则 f t 的大致图象是 解析 由题意得 f t Error Error 故其图象为 答案 5 2014 南京一模 某企业投入 100 万元购入一套设备 该设备每年的运转费用 是 0 5 万元 此外每年都要花费一定的维护费 第一年的维护费为 2 万元 由于设备老化 以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元 为使该设备年平 均费用最低 该企业需要更新设备的年数为 解析 设该企业需要更新设备的年数为 x 设备年平均费用为 y 则 x 年后 的设备维护费用为 2 4 2x x x 1 所以 x 年的平均费用为 y x 1 5 由基本不等式得 y x 1 5 2 100 0 5x x x 1 x 100 x 100 x 3 1 5 21 5 当且仅当 x 即 x 10 时取等号 x 100 x 100 x 答案 10 6 2013 陕西卷 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积最大的内接矩 形花园 阴影部分 则其边长 x 为 m 解析 设内接矩形另一边长为 y 则由相似三角形性质可得 解 x 40 40 y 40 得 y 40 x 所以面积 S x 40 x x2 40 x x 20 2 400 0 x 40 当 x 20 时 Smax 400 答案 20 7 2013 北京朝阳二模 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元 此 外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元 年产量为 x x N 件 当 x 20 时 年销售总收入为 33x x2 万元 当 x 20 时 年销售总收入为 260 万 元 记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元 则 y 万元 与 x 件 的函数关系式为 该工厂的年产量为 件时 所得年利 润最大 年利润 年销售总收入 年总投资 解析 当 x 20 时 y 33x x2 x 100 x2 32x 100 当 x 20 时 y 260 100 x 160 x 故 y Error Error x N 当 0 x 20 时 y x2 32x 100 x 16 2 156 x 16 时 ymax 156 而当 x 20 时 160 x 140 故 x 16 时取得最大年利润 答案 y Error Error x N 16 4 8 有一批材料可以建成 200 m 长的围墙 如果用此材料在一边靠墙的地方围成 一块矩形场地 中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形 如图所示 则 围成场地的最大面积为 围墙厚度不计 解析 本题是实际问题 建立函数关系即可 设矩形场地的宽为 x m 则矩 形场地的长为 200 4x m 面积 S x 200 4x 4 x 25 2 2 500 故当 x 25 时 S 取得最大值 2 500 即围成场地的最大面积为 2 500 m2 答案 2 500 m2 二 解答题 9 2014 昆明质检 某地近年来持续干旱 为倡导节约用水 该地采用了 阶梯 水价 计费方法 具体方法 每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元 超过 4 吨而不超过 6 吨的 超出 4 吨的部分每吨 4 元 超过 6 吨的 超出 6 吨的 部分每吨 6 元 1 写出每户每月用水量 x 吨 与支付费用 y 元 的函数关系 2 该地一家庭记录了去年 12 个月的月用水量 x N 如下表 月用水量 x 吨 34567 频数13332 请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用 精确到 1 元 3 今年干旱形势仍然严峻 该地政府号召市民节约用水 如果每个月水费 不超过 12 元的家庭称为 节约用水家庭 随机抽取了该地 100 户的月用水 量作出如下统计表 月用水量 x 吨 1234567 频数10 2 0 1 6 1 6 1 5 1 3 1 0 据此估计该地 节约用水家庭 的比例 解 1 y 关于 x 的函数关系式为 y Error Error 5 2 由 1 知 当 x 3 时 y 6 当 x 4 时 y 8 当 x 5 时 y 12 当 x 6 时 y 16 当 x 7 时 y 22 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 6 1 8 3 12 3 16 3 22 2 13 元 1 12 3 由 1 和题意知 当 y 12 时 x 5 所以 节约用水家庭 的频率为 77 据此估计该地 节约用水家庭 的比例为 77 77 100 10 2013 南京 盐城高三期末 近年来 某企业每年消耗电费约 24 万元 为了 节能减排 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网 安装这种供电设备的工本费 单位 万元 与太阳能电池板的面积 x 单位 平 方米 成正比 比例系数约为 0 5 为了保证正常用电 安装后采用太阳能和电 能互补供电的模式 假设在此模式下 安装后该企业每年消耗的电费 C 单 位 万元 与安装的这种太阳能电池板的面积 x 单位 平方米 之间的函数关 系是 C x x 0 k 为常数 记 F x 为该企业安装这种太阳能供 k 20 x 100 电设备的费用与该企业 15 年共消耗的电费之和 1 试解释 C 0 的实际意义 并建立 F x 关于 x 的函数关系式 2 当 x 为多少平方米时 F x 取得最小值 最小值是多少万元 解 1 C 0 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的电费 即未 安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为 C 0 24 得 k 2 400 所以 F x k 100 15 0 5x 0 5x x 0 2 400 20 x 100 1 800 x 5 2 因为 F x 0 5 x 5 2 5 1 800 x 5 2 2 5 57 5 1 800 0 5 6 当且仅当 0 5 x 5 1 800 x 5 即 x 55 时取等号 所以当 x 为 55 平方米时 F x 取得最小值 最小值为 57 5 万元 能力提升题组 建议用时 25 分钟 一 填空题 1 2014 江门质检 我国为了加强对烟酒生产的宏观管理 除了应征税收外 还 征收附加税 已知某种酒每瓶售价为 70 元 不收附加税时 每年大约销售 100 万瓶 若每销售 100 元国家要征附加税 x 元 叫做税率 x 则每年销售 量将减少 10 x 万瓶 如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于 112 万元 则 x 的最小值为 解析 由分析可知 每年此项经营中所收取的附加税额为 104 100 10 x 70 令 104 100 10 x 70 112 104 解得 2 x 8 x 100 x 100 故 x 的最小值为 2 答案 2 2 某位股民购进某只股票 在接下来的交易时间内 他的这只股票先经历了 n 次涨停 每次上涨 10 又经历了 n 次跌停 每次下跌 10 则该股民这只 股票的盈亏情况 不考虑其他费用 为 略有盈利 略有亏损 没有盈利也没有亏损 无法判断盈亏情况 解析 设该股民购这只股票的价格为 a 则经历 n 次涨停后的价格为 a 1 10 n a 1 1n 经历 n 次跌停后的价格为 a 1 1n 1 10 n a 1 1n 0 9n a 1 1 0 9 n 0 99n a a 故该股民这只股票略有亏 损 答案 3 将一个长宽分别是 a b 0 b a 的铁皮的四角切去相同的正方形 然后折成 一个无盖的长方体的盒子 若这个长方体的外接球的体积存在最小值 则 的取值范围是 a b 7 解析 设切去正方形的边长为 x x 则该长方体外接球的半径为 0 b 2 r2 a 2x 2 b 2x 2 x2 9x2 4 a b x a2 b2 在 x 存在 1 4 1 4 0 b 2 最小值时 必有 0 解得 又 0 b1 故 的取值范围是 2 a b 9 b 2 a b 5 4 a b a b 1 5 4 答案 1 5 4 二 解答题 4 2014 孝感统考 某公司生产一种产品 每年需投入固定成本 0 5 万元 此外 每生产 100 件这样的产品 还需增加投入 0 25 万元 经市场调查知这种产 品年需求量为 500 件 产品销售数量为 t 件时 销售所得的收入为 万元 0 05t 1 20 000t2 1 该公司这种产品的年生产量为 x 件 生产并销售这