精讲精练：全等三角形证明判定方法分类总结-培优[1]

初一数学 全等三角形 0 全等三角形 一 全等三角形 一 SSSSSS 知识要点知识要点 1 全等图形定义 两个能够重合的图形称为全等图形 2 全等图形的性质 1 全等图形的形状和大小都相同 对应边相等 对应角相等 2 全等图形的面积相等 3 全等三角形 两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 1 表示方法 两个三角形全等用符号 来表示 读作 全等于 如全等 记作DEFABC 与 ABC DEF 2 符号 的含义 表示形状相同 表示大小相等 合起来就是形状相同 大小也相等 这就是全等 3 两个全等三角形重合时 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的边叫做对应边 互相重合的角 叫做对应角 4 证两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 4 全等三角形的判定 一 三边对应相等的两个三角形全等 简与成 边边边 或 SSS 如图 在和中ABC DEF DFAC EFBC DEAB ABC DEF 典型例题典型例题 例 1 如图 点 B 与点 D 是对应点 且 求ABC ADC 26BAC 20B 1 ABC S 的度数及的面积 ACDDCAD ACD 例 2 如图 求的度数及 CF 的长 ABC DEF cmCEcmBCA5 9 50 EDF 例 3 如图 已知 AB AD AC AE BC DE 求证 CADBAE A BC D E F A B D C A B ECF D A B E C D 初一数学 全等三角形 1 例 4 如图 AB DE BC EF AD CF 求证 1 ABC DEF 2 AB DE BC EF 全等三角形 二 全等三角形 二 知识要点知识要点 定义 定义 SASSAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写成两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写成 边角边边角边 或或 SAS SAS 几何表示 几何表示 如图 在如图 在和和中 中 ABC DEF ABC EFBC EB DEAB SASDEF 典型例题典型例题 例 1 已知 如图 AB AC AD AE 求证 BE CD 例 2 如图 已知 点 D E 在 BC 上 且 BD CE AD AE 1 2 由此你能得出哪些结论 给出证明 例 3 如图已知 AE AF AB AC A 60 B 24 求 BOE 的度数 A B C D F E A B CE D F A D B E C A B DE C 12 初一数学 全等三角形 2 例 4 如图 B C D 在同一条直线上 ABC ADE 是等边三角形 求证 CE AC DC ECD 60 例 5 如图 已知 ABC BDE 均为等边三角形 求证 BD CD AD 全等三角形 三 全等三角形 三 ASAASA 知识要点 ASA 公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 如图 在与中ABC DEF EB DEAB DA ASADEFABC ASA 公理推论 AAS 公理 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 典型例题 例 1 下列条件不可推得和全等的条件是 ABC CBA A AB A B B AB A B AC A C BC C AA CC B C AB A B AC A C D AB A B BB AA BB B E A F C O E A B C D D A BC E A BC D E F 初一数学 全等三角形 3 例 2 已知如图 求证 DEABDEABDA BC EF 例 3 如图 AB AC 求证 AD AECB 例 4 已知如图 点 P 在 AB 上 可以得出 PC PD 吗 试证明之 43 21 例 5 如图 AC AE 求证 DE BC321 AD BECF A B DE C A B CD P 12 3 4 1 2 A 4 3 B CD E O 初一数学 全等三角形 4 全等三角形 四 全等三角形 四 强化训练 1 如图 是等边三角形 点 分别是线段 上的点 ABCDEFABBCCA 1 若 问 是等边三角形吗 试证明你的结论 ADBECF DEF 2 若 是等边三角形 问成立吗 试证明你的结论 DEFADBECF 2 如图所示 已知 1 2 EF AD 于 P 交 BC 延长线于 M 求证 2 M ACB B 3 ABC 中 A 90 AB AC D 为 BC 中点 E F 分别在 AC AB 上 且 DE DF 试判断 DE DF 的数量关 系 并说明理由 4 已知 如图 中 于 平分 且于 与ABC 45ABC CDAB DBEABC BEAC E 相交于点是边的中点 连结CDFH BC与相交于点 DHBEG 1 求证 2 求证 BFAC 1 2 CEBF A F D B E C 2 1 P F MD B A C E F D C AB E D A E F C H G B 初一数学 全等三角形 5 5 如图 点是等边内一点 将绕点按顺时针方向旋转OABC 110AOBBOC BOC C 得 连接 60 ADC OD 1 求证 是等边三角形 COD 2 当时 试判断的形状 并说明理由 150 AOD 3 探究 当为多少度时 是等腰三角形 AOD 6 过等腰直角三角形直角顶点 A 作直线 AM 平行于斜边 BC 在 AM 上取点 D 使 BD BC 且 DB 与 AC 所在直线交 于 E 求证 CD CE 7 Rt ABC AB AC BM 是中线 AD BM 交 BC 于 D 求证 AMB CMD 8 如图 已知 ABC 是等边三角形 BDC 120 说明 AD BD CD 的理由 E C A B MD C A B M D A B C D O 110 初一数学 全等三角形 6 9 已知 如图 点 D 在 ABC 的边 CA 的延长线上 点 E 在 BA 的延长线上 CF EF 分别是 ACB AED 的平 分线 且 B 30 D 40 求 F 的度数 10 等边三角形 ABC 和等边三角形 DEC D 在 AC 边上 延长 BD 交 CE 延长线于 N 延长 AE 交 BC 延长线于 M 求证 CM CN 易证 BCD ACE 所以 DBC EAC 再证 BCN ACM ASA CM CN A B C E M N D 初一数学 全等三角形 第五章第五章 全等三角形全等三角形 拓展延伸拓展延伸 分析 三角形全等的证明及其运用关键点在于 把相等的边 角 放入正确的三角形中把相等的边 角 放入正确的三角形中 去说明去说明 相等的边 角 所在的三角形全等相等的边 角 所在的三角形全等 利用三角形全等来说明两个角相等 两条边 相等 是初中里面一个非常常见而又重要的方法 例 1 已知 AE 既是 BAC 的平分线 也是 BDC 的平分线 试说明 AB AC 思路 AB 在 ABD 中 AC 在 ACD 中 要说明 AB AC 尝试说明 ABD 与 ACD 全等 1 观察图形发现两个三角形存在公共边 AD 2 题目所给条件可以得到两组角相等 3 再根据三个条件的位置 利用 ASA 可得三角形全等 4 再利用全等三角形的对应边相等 得到 AB AC 例 2 在 ABC 中 BAC 90 AB AC AE 是过点 A 的直线 BD AE CE AE 如果 CE 5 BD 11 请你求出 DE 的长度 思路 抓住题目中所给的一组相等线段 AB AC 进行分析 对它们的位置进行分析 发现 AB AC 分别位于一个 Rt 中 所以尝试着去找条件 去说明它们所在的两个 Rt 全等 那么 已经存在了两组等量关系 AB AC 直角 直角 可以求证 ABD ACE 练习 1 小明说 三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等 你认为 小明的话有道理吗 为什么 分析 如图 题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢 我们只需要说明 解 F E D B C A D C E A B E D A C B 初一数学 全等三角形 练习 2 在 ABC 中 ACB 900 AC BC 直线 MN 经过点 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时 ADC CEB