必修1-2基本初等函数

说明 为什么要求函数中的a必须 ya x aa 01且 因为若时 当时 函数值不存在 a 0 y x 4x 1 4 当 函数值不存在 a 0y x 0 x 0 时 对一切x虽有意义 函数值恒为 1 但的反函数不存在 a 1y x 1y x 1 2 1 2 1 指数函数指数函数 一 指对函数准备知识一 指对函数准备知识 1 1 根式的概念根式的概念的次方根 一般地 如果 那么叫做的次方根 其中 当为奇数时 正数的次方根为正数 负数的次方根是负数 表示为 当为偶数时 正数的次 方根有两个 这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 式子叫做根式 叫做根指数 叫做被开方数 2 n2 n 次方根的性质 次方根的性质 当为奇数时 当为偶数时 0 0 aa aa aa nn 3 3 分数指数幂的意义 分数指数幂的意义 1 0 nNnmaaa nm n m 1 0 1 nNnma a a nm n m 1 0 a 4 4 幂的运算性质 幂的运算性质 1 2 3 Rnm nmnm aaa mnnm aa nnn aaab 二 1 指数函数 函数叫指数函数 定义域为R 底数是常数 指数是自变量 yaaa x 01且 2 指数函数的底与图像的关系 按顺时针底数变小 y 左侧 由下到上变小 y 右侧由上到下变小 函数名称指数函数 图象 定义域 R 值域 过定点图象过定点 0 1 即当 x 0 时 y 0 奇偶性非奇非偶 单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数 函数值变化情况 0 1 xa x 0 1 xa x 0 1 xa x 0 1 xa x 0 1 xa x 0 1 xa x 2 2 2 2 对数函数对数函数 一 对数与对数运算一 对数与对数运算 1 对数 如果 那么数就叫做以为底的对数 记作 a是底数 N 是真数 10 aaNab且babN a log 是logaN 对数式 N 0 对数恒等式 10 aa且Na N a log 2 对数的运算法则 常数对数 自然对数 注意转化时 须幂的底数和对数的底数相NNlglog10 NN e lnlog 同 二 对数函数及其性质二 对数函数及其性质 1 对数函数 指数函数的反函数叫做对数函数 yaaa x 01且yx a logx 0 2 对对数函数的图象的认识 yxyx loglog 21 2 yx lg 3 对数数函数的底与图像的关系 按顺时针底数变大 4 图像特征及性质 函数名称对数函数 图象 定义域 值域 R 过定点图象过定点 1 0 即当 x 1 时 y 0 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值变化情况 1 0log x x a 1 0log x x a 10 0log x x a 1 0log x x a 1 0log x x a 10 0log x x a logloglog aaa MNMNMNR logloglog aaa M N MNMNR loglog a n a NnNNR loglog a n a N n NNR 1 b m n b a n am loglog Na N a log 1log a a 01log a nan a log15lg2lg 4 1 对数换底公式 b N N a a b log log log 2 换底公式推出的常用结论 a b b a log 1 log 1loglog ab ba b N b N N b ln ln lg lg log 三 反函数三 反函数 1 1 反函数反函数 设函数的定义域为 A 值域为 C 从式子中解出 得式子 如果对于 y 在 C xfy xfy yx 中的任何一个值 通过式子 在中都有唯一确定的值和它对应 那么式子表示 x yx yx 是 y 的函数 函数叫做函数的反函数 记作 习惯上改写成 yx xfy 1 xfy 1 xfy 2 2 反函数的性质反函数的性质 1 原函数与反函数的图象关于直线 y x 对称 xfy 1 xfy 2 函数的定义域 值域分别是其反函数的值域 定义域 xfy 1 xfy 3 若在原函数的图象上 则在反函数的图象上 baP xfy abP 1 xfy 4 一般地 函数要有反函数则它必须为单调函数 xfy 3 3 反函数的求法反函数的求法 1 确定反函数的定义域 即原函数的值域 2 从原函数式中反解出 xfy 1 yfx 3 将改写成 并注明反函数的定义域 1 yfx 1 xfy 2 3 2 3 幂函数幂函数 1 1 幂函数幂函数 形如的函数 叫做幂函数 其中为常数 Raxy a a 2 2 幂函数的性质幂函数的性质 1 图象分布 幂函数图象分布在第一 二 三象限 第四象限无图象 2 幂函数是偶函数时 图象分布在第一 二象限 图象关于 y 轴对称 是奇函数时 图象分布在第一 三象限 图象关于原点对称 是非奇非偶函 数 3 过定点 所有的幂函数在都有定义 并且图象都通过点 1 1 5 单调性 若 则幂函数的图象过原点 并且在上为增函数 0 a 若 则幂函数的图象在上为减函数 在第一象限内 图象无限接近 x 轴与 y 轴 0 a 6 奇偶性 当为奇数时 幂函数为奇函数 当为偶数时 幂函数