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数学建模 多媒体课件 惠州学院数学系数学建模精品课 模糊数学绪论 用数学的眼光看世界 可把我们身边的现象划分为 1 确定性现象 如水加温到100oC就沸腾 这种现象的规律性靠经典数学去刻画 2 随机现象 如掷筛子 观看那一面向上 这种现象的规律性靠概率统计去刻画 3 模糊现象 如 今天天气很热 小伙子高 等等 此话准确吗 有多大的水分 靠模糊数学去刻画 年轻 重 热 美 厚 薄 快 慢 大 小 高 低 长 短 贵 贱 强 弱 软 硬 阴天 多云 暴雨 清晨 礼品 共同特点 模糊概念的外延不清楚 模糊概念导致模糊现象 模糊数学 研究和揭示模糊现象的定量处理方法 产生 1965年 L A Zadeh 扎德 发表了文章 模糊集 FuzzySets InformationandControl 8 338 353 基本思想 用属于程度代替属于或不属于 某个人属于高个子的程度为0 8 另一个人属于高个子的程度为0 3等 模糊代数 模糊拓扑 模糊逻辑 模糊分析 模糊概率 模糊图论 模糊优化等模糊数学分支 涉及学科 分类 识别 评判 预测 控制 排序 选择 模糊产品 洗衣机 摄象机 照相机 电饭锅 空调 电梯 人工智能 控制 决策 专家系统 医学 土木 农业 气象 信息 经济 文学 音乐 课堂主要内容 一 基本概念 二 主要应用 1 模糊聚类分析 对所研究的事物按一定标准进行分类 模糊集 隶属函数 模糊关系与模糊矩阵 例如 给出不同地方的土壤 根据土壤中氮磷以及有机质含量 PH值 颜色 厚薄等不同的性状 对土壤进行分类 2 模糊模式识别 已知某类事物的若干标准模型 给出一个具体的对象 确定把它归于哪一类模型 例如 苹果分级问题苹果有 I级 II级 III级 IV级 四个等级 现有一个具体的苹果 如何判断它的级别 3 模糊综合评判 从某一事物的多个方面进行综合评价 例如 某班学生对于对某一教师上课进行评价从 清楚易懂 教材熟练 生动有趣 板书清晰 四方面给出 很好 较好 一般 不好 四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何 4 模糊线性规划 将线性规划的约束条件或目标函数模糊化 引入隶属函数 从而导出一个新的线性规划问题 其最优解称为原问题的模糊最优解 模糊数学 1 经典集合与特征函数 论域U中的每个对象u称为U的元素 u A A u 在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A 则必有u A或者u A 用函数表示为 其中 函数cA称为集合A的特征函数 非此即彼 亦此亦彼 U 模糊集合A 元素x 若x位于A的内部 则用1来记录 若x位于A的外部 则用0来记录 若x一部分位于A的内部 一部分位于A的外部 则用 x位于A内部的长度来表示x对于A的隶属程度 A 例如 现在我们假定讨论的对象为如下八人 a 男 75岁 b 女 40岁 c 男 35岁 d 女 30岁 e 男 25岁 f 女 20岁 g 男 15岁 h 女 10岁 论域记为 在此论域上 男性 这一概念的内涵是清晰的 其外延也是清晰的 可记为Cantor集 普通集合 然而在此论域上来讨论 青年人 这一概念 哪些人是 青年人 只能模糊的非惟一的回答 我们无法用一个Cantor集表达该概念的外延 因此 青年人 是一模糊概念 为了表达模糊概念的外延 就产生了模糊集合 FuzzySets 2 模糊子集 定义 设U是论域 称映射 确定了一个U上的模糊子集 映射称为的隶 属函数 称为对的隶属程度 简称隶属度 模糊子集由隶属函数唯一确定 故认为二 者是等同的 为简单见 通常用A来表示和 越接近于0 表示x隶属于A的程度越小 越接近于1 表示x隶属于A的程度越大 0 5 最具有模糊性 过渡点 模糊子集通常简称模糊集 其表示方法有 1 Zadeh表示法 不是分式求和 只是一个符号 分母 是论域X的元素 分子 是相应元素的隶属度当隶属度为0时 该项可以不写入 例1 有100名消费者 对5种商品x1 x2 x3 x4评价 结果为 81人认为x1质量好 53人认为x2质量好 所有人认为x3质量好 没有人认为x4质量好 24人 则模糊集A 质量好 认为x5质量好 3 向量表示法 2 序偶表示法 若论域U为无限集 其上的模糊集表示为 例2 考虑年龄集U 0 100 O 年老 O也是一个年龄集 u 20 O 40呢 不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样 札德给出了 年老 集函数刻画 则模糊集O 年老 3 模糊集的运算 设A B是论域U的两个模糊子集 定义 相等 包含 并 交 余 例3 则 0 3 0 9 1 0 8 0 6 0 2 0 1 0 8 0 3 0 5 并交余计算的性质 1 幂等律 2 交换律 3 结合律 4 吸收律 6 0 1律 7 还原律 8 对偶律 5 分配律 几个常用的算子 1 Zadeh算子 2 取大 乘积算子 3 环和 乘积算子 4 有界和 取小算子 5 有界和 乘积算子 6 Einstain算子 4 隶属函数的确定 I 模糊统计法 模糊数学的基本思想是隶属程度的思想 应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数 下面介绍几种常用的确定隶属函数的方法 它是一种比较客观的方法 主要是基于模糊统计实验的基础上 根据隶属度的客观存在性来确定的 模糊统计试验的四个要素 1 论域U 2 U中的一个固定元素u0 3 U中的一个随机运动集合A 4 U中的一个以A 作为弹性边界的模糊子集A 制约着A 的运动 A 可以覆盖u0 也可以不覆盖 u0致使u0对A的隶属关系是不确定的 特点 在各次试验中 u0是固定的 而A 在随机变动 模糊统计试验过程 1 做n次试验 计算出 2 随着n的增大 频率呈现稳定 此稳定值即为u0 对A的隶属度 u0对A的隶属频率 u0属于A 的次数 n u0属于A 的次数 n 对129人进行调查 让他们给出 青年人 的年龄区间 问年龄u0 27属于模糊集A 青年人 的隶属度 P30 对年龄27作出如下的统计处理 A 27 0 78 变动的圈是否盖住不动的点 II 指派方法 这是一种主观的方法 但也是用得最普遍的一种 方法 它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模 糊分布 然后根据测量数据确定分布中所含的参数 如果模糊集定义在实数域R上 则模糊集的隶属函数称为模糊分布 常用的模糊分布如表1 5 P33 35 所示 实际运用中 为了便于操作 会根据问题对研究 对象的描述来选择适当的模糊分布 一般会有一些大致的选择方向 偏大型 偏小型 中间型 例如 在论域U 1 2 3 9 中 确定A 靠近5的数 的隶属函数 中间型 可以选取柯西分布中间类型的隶属函数 可以选取柯西分布中间类型的隶属函数 先确定一个简单的 比如 此时有 A 4 A 6 0 5不太合理 故改变a 取 此时有 比A x 有所改善 再取 此时有 比有所改善 再取 此时有 与实际不符 III 其它方法 二元对比排序法 把事物两两相比 从而确定顺序 由此决定隶属函数的大致形状 主要有以下方法 相对比较法 择优比较法和对比平均法等 德尔菲法 专家评分法 借助于已有的 客观尺度 例如 如果U表示家庭 在U上定义模糊集A 家庭贫困 则可以用 Engel系数 食品消费 总消费 作为隶属度 5 模糊矩阵 例如 定义 设R rij m n 0 rij 1 称R为模糊矩阵 当rij只取0或1时 称R为布尔 Boole 矩阵 全称矩阵 模糊矩阵间的关系及运算 设A aij m n B bij m n都是模糊矩阵 定义 相等 包含 并 交 余 例如 设 则 模糊矩阵的合成 设A aij m s B bij s n 称模糊矩阵 为A与B的合成 其中 设A为n n阶模糊方阵 则A的幂定义为 例如 设 则 模糊矩阵的转置 设A aij m n 称A m n为A的转置矩阵 其 中 aji 性质 模糊矩阵的l 截矩阵 设A aij m n 对任意的l 0 1 称 为模糊矩阵A的l 截矩阵 其中 显然 截矩阵为Boole矩阵 例如 设 则 截矩阵的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 特殊的模糊矩阵 定义 若模糊方阵满足A I 则称A为自反矩阵 例如 是模糊自反矩阵 定义 若模糊方阵满足AT A 则称A为对称矩阵 例如 是模糊对称矩阵 定义 若模糊方阵满足A2 A 则称A为模糊传递矩阵 例如 是模糊传递矩阵 定义 若模糊方阵Q S A满足 则称S为A的传递闭包 记为t A 1 S A S2 S 2 Q A Q2 S 总有Q S 在工程技术和经济管理中 常常需要对某些事物按照一定的标准 相似的程度或亲疏关系等 进行分类处理 对客观事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析 它是多元统计的一种分类方法 然而 由于事物的类与类间并无清晰的划分 边界具有模糊性 它们之间的关系更多的是模糊关系 对于这类事物的分类 一般用模糊数学方法 我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析 称为模糊聚类分析 1 基本概念及定理 设R rij n n是n阶模糊方阵 I是n阶单位方阵 若R满足 则称R为模糊等价矩阵 1 自反性 R I 2 对称性 RT R 3 传递性 R2 R 例如 设U x1 x2 x3 则R为模糊等价矩阵满足 R I RT R R2 R 定理 R是n阶模糊等价矩阵 l 0 1 Rl是等 价的Boole矩阵 意义 将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵 可以得到有限论域上的普通等价关系 而等价关系是可以分类的 因此 当l在 0 1 上变动时 由Rl得到不同的分类 定理 设R是n阶模糊等价矩阵 则Rm所决定的分类中的每一个类是Rl所决定的分类中的某个子类 0 l m 1 该定理表明 当l m时 Rm的分类是Rl分类的加细 当l由1变到0时 Rl的分类由细变粗 形成一个动态的聚类图 例如 设U x1 x2 x3 x4 x5 对于模糊等价矩阵 当l 1时 分类为 当l 0 8时 分类为 当l 0 6时 分类为 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x3 x2 x4 x5 x1 x3 x2 x4 x5 画出动态聚类图如下 0 8 0 6 0 5 0 4 1 在实际问题中 要建立一个模糊等价矩阵往往是不容易的 这主要是传递性不容易满足 但要建立一个自反的 对称的模糊矩阵则比较容易 然后改造成模糊等价矩阵 就可以进行分类了 设R rij n n是n阶模糊方阵 I是n阶单位方阵 若R满足 则称R为模糊等价矩阵 1 自反性 R I 2 对称性 RT R 定理 设R是n阶模糊等价矩阵 则存在一个最小的自然数k k n 使得Rk为模糊等价矩阵 且对一切大于k的自然数l 恒有Rk Rl 求模糊等价矩阵的二次方法 定理 设R是n阶模糊相似矩阵 则对一切的自然数k Rk也是模糊相似矩阵 R R2 R4 R2i 当第一次出现Rk Rk Rk时 Rk即为所求 例如 设有模糊相似矩阵 2 模糊聚类的一般步骤 I 建立数据矩阵 对象又由m个指标表示其性状 设论域U x1 x2 x3 xn 为被分类对象 每个 得到原始数据矩阵为 xi1 xi2 xi3 xim 在实际问题中 不同的数据一般有不同的量纲 为了使有不同量纲的量能进行比较 需要将数据标准化 常用的方法有 1 标准差标准化 对于第i个变量进行标准化 就是将xij换成xij 即 其中 2 极差正规化 3 极差标准化 4 最大值规格化 其中 5 对数变换 取对数以缩小变量间的数量级 II 建立模糊相似矩阵 标定 1 相似系数法 夹角余弦法 相关系数法 建立xi与xj相似程度rij的方法主要有 2 距离法 Hamming距离 Euclid距离 Chebyshev距离 一般地 取rij 1 c d xi xj a 其中c a为适当选取的参数 它使得0 rij 1 采用的距离有 3 贴近度法 最大最小法 算术平均最小法 几何平均最小法 III 聚类并画出动态聚类图 1 模糊传递闭包法 步骤 2 boole矩阵法 略 求出模糊相似矩阵R的传递闭包t R 按l由大到小进行聚类 画出动态聚类图 3 直接聚类法 依次类推 直到合并到U成为一类为止 取l1 1 将满足rij l1的xi和xj作为一类 相似类 当不同相似类出现公共元素时 将公共元素所在类合并 取l2 次大值 将满足rij l2的xi和xj作为一类 相似类 当不同相似类出现公共元素时 将公共元素所在类合并 除此之外 书中还介绍最大树法和编网法 P71 72 例 考虑某环保部门对该地区5个环境区域 按污染情况进行分类 设每个区域包含空气 水分 土壤 作物4个要素 环境区域的污染情况由污染物在4个要素中的含量超过的程度来衡量 设这5个环境区域的污染数据为 X x1 x2 x3 x4 x5 试对X进行分类 解 由题设知特性指标矩阵为 采用最大值规格化法将数据规格化为 第j列最大值 用最大最小法构造模糊相似矩阵得到 用平方法合成传递闭包 将t R 中的元素从大到小编排如下 1 0 70 0 63 0 62 0 53 取l 1 得 X被分成5类 取l 0 7 得 取l 0 63 得 X被分成4类 X被分成3类 取l 0 62 得 取l 0 53 得 X被分成2类 X被分成1类 画出动态聚类图如下 若利用直接聚类法 模糊相似矩阵 取l 1 此时分类自然为 x1 x2 x3 x4 x5 取l 0 7 此时只有r24 0 7 x2与x4一类 其余的各一类 故分类应为 x1 x2 x4 x3 x5 取l 0 63 此时只有r14 0 63 x1与x4一类 而前面已分x2与x4一类 合并公共元素x4 有公共元素x4的相似类为 x1 x2 x4 其余的各一类 故分类应为 x1 x2 x4 x3 x5 取l 0 62 此时只有r13 0 62 x1与x3一类 而前面已分x1 x2与x4一类 合