2015步步高理科数学选修4-4

选修选修 4 4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1 极坐标系 1 极坐标系的建立 在平面上取一个定点 O 叫做 从 O 点引一条射线 Ox 叫 做 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针 方向 这样就确定了一个极坐标系 设 M 是平面内一点 极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的 记为 以极轴 Ox 为始边 射线 OM 为终边的角叫做点 M 的极角 记为 有序数对 叫做点 M 的极坐标 记作 M 2 极坐标与直角坐标的关系 把直角坐标系的原点作为极点 x 轴的正半轴作为极轴 并 在两种坐标系中取相同的长度单位 设 M 是平面内任意一点 它的直角坐标是 x y 极 坐标为 则它们之间的关系为 x y 另一种关系为 2 tan 2 简单曲线的极坐标方程 1 直线的极坐标方程 R 表示过极点且与极轴成 角的直线 cos a 表示过 a 0 且垂直于极轴的直线 sin b 表示过且平行于极轴的直线 b 2 sin 1sin 1 表示过 1 1 且与极轴成 角的直线方程 2 圆的极坐标方程 2rcos 表示圆心在 r 0 半径为 r 的圆 2rsin 表示圆心在 半径为 r 的圆 r 2 r 表示圆心在极点 半径为 r 的圆 3 曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 如果曲线上任意一点的坐标 x y 都是某个变量 t 的函数Error Error 并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M x y 都在这条曲线上 则称上式为该曲线的 其中变量 t 称为 4 一些常见曲线的参数方程 1 过点 P0 x0 y0 且倾斜角为 的直线的参数方程为 t 为参数 2 圆的方程 x a 2 y b 2 r2的参数方程为 为参数 3 椭圆方程 1 a b 0 的参数方程为 为参数 x2 a2 y2 b2 4 抛物线方程 y2 2px p 0 的参数方程为 t 为参数 1 在极坐标系中 直线 sin 2 被圆 4 截得的弦长为 4 2 极坐标方程 sin 2cos 能表示的曲线的直角坐标方程为 3 已知点 P 3 m 在以点 F 为焦点的抛物线Error Error t 为参数 上 则 PF 4 直线Error Error t 为参数 的倾斜角为 5 已知曲线 C 的参数方程是Error Error t 为参数 则点 M1 0 1 M2 5 4 在曲线 C 上的是 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例 1 在直角坐标系 xOy 中 以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极 坐标方程为 cos 1 M N 分别为 C 与 x 轴 y 轴的交点 3 1 写出 C 的直角坐标方程 并求 M N 的极坐标 2 设 MN 的中点为 P 求直线 OP 的极坐标方程 思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程 只需把公式 x cos 及 y sin 直接代入并化 简即可 而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形 构造形如 cos sin 2的形式 进 行整体代换 其中方程的两边同乘以 或同除以 及方程两边平方是常用的变形方法 但对 方程进行变形时 方程必须保持同解 因此应注意对变形过程的检验 在极坐标系中 已知圆 2cos 与直线 3 cos 4 sin a 0 相切 求实 数 a 的值 题型二 参数方程与普通方程的互化 例 2 已知两曲线参数方程分别为Error Error 0 和Error Error t R 求它们的交点坐标 思维升华 1 参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元 加减消元 平方后再加减 消元等 对于与角 有关的参数方程 经常用到的公式有 sin2 cos2 1 1 tan2 等 1 cos2 2 在将曲线的参数方程化为普通方程时 还要注意其中的 x y 的取值范围 即在消去参数的 过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 将下列参数方程化为普通方程 1 Error Error t 为参数 2 Error Error 为参数 题型三 极坐标 参数方程的综合应用 例 3 在直角坐标平面内 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标 系 曲线 C 的极坐标方程是 4cos 直线 l 的参数方程是Error Error t 为参数 M N 分别 为曲线 C 直线 l 上的动点 求 MN 的最小值 思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题 求解的一般方法是分别化为普通方程和 直角坐标方程后求解 转化后可使问题变得更加直观 它体现了化归思想的具体运用 2013 辽宁 在直角坐标系 xOy 中 以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系 圆 C1 直线 C2的极坐标方程分别为 4sin cos 2 4 2 1 求 C1与 C2交点的极坐标 2 设 P 为 C1的圆心 Q 为 C1与 C2交点连线的中点 已知直线 PQ 的参数方程为 Error Error t R 为参数 求 a b 的值 参数的几何意义不明致误 典例 10 分 已知直线 l 的参数方程为Error Error t 为参数 若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极 点 Ox 方向为极轴 选择相同的长度单位建立极坐标系 得曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4 1 求直线 l 的倾斜角 2 若直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 求 AB 易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误 规范解答 解 1 直线的参数方程可以化为Error Error 2 分 根据直线参数方程的意义 直线 l 经过点 0 2 2 倾斜角为 60 4 分 2 直线 l 的直角坐标方程为 y x 6 分 3 2 2 2cos 的直角坐标方程为 x 2 y 2 1 8 分 4 2 2 2 2 所以圆心 到直线 l 的距离 d 2 2 2 2 6 4 所以 AB 10 分 10 2 温馨提醒 对于直线的参数方程Error Error t 为参数 来说 要注意 t 是参数 而 则是直线的 倾斜角 与此类似 椭圆参数方程Error Error 的参数 有特别的几何意义 它表示离心角 方法与技巧 1 曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路 对于简单的我们可以直接代入公式 cos x sin y 2 x2 y2 但有时需要作适当的变化 如将式子的两边同时平方 两边同时 乘以 等 2 参数方程化普通方程常用的消参技巧 代入消元 加减消元 平方后加减消元等 经常用 到公式 cos2 sin2 1 1 tan2 1 cos2 3 利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便 是我们解决这类问题的 好方法 失误与防范 1 极径 是一个距离 所以 0 但有时 可以小于零 极角 规定逆时针方向为正 极坐 标与平面直角坐标不同 极坐标与 P 点之间不是一一对应的 所以我们又规定 0 0 2 来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的 但仍然不包括极点 2 在将曲线的参数方程化为普通方程时 还要注意其中的 x y 的取值范围 即在消去参数的 过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 A 组 专项基础训练 1 2013 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为Error Error t 为参数 曲线 C 的参数方程为Error Error 为参数 试求直线 l 和曲线 C 的普通方程 并求出它们的公共点的 坐标 2 已知曲线 C 的参数方程为Error Error 0 2 曲线 D 的极坐标方程为 sin 42 1 将曲线 C 的参数方程化为普通方程 2 曲线 C 与曲线 D 有无公共点 试说明理由 3 2013 福建 在平面直角坐标系中 以坐标原点为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系 已知点 A 的极坐标为 直线 l 的极坐标方程为 cos a 且点 A 在直线 2 4 4 l 上 1 求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程 2 圆 C 的参数方程为Error Error 为参数 试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 4 在极坐标系中 P 是曲线 12sin 上的动点 Q 是曲线 12cos上的动点 试 6 求 PQ 的最大值 5 在极坐标系中 已知三点 M N 2 0 P 2 3 2 3 6 1 将 M N P 三点的极坐标化为直角坐标 2 判断 M N P 三点是否在一条直线上 6 在同一平面直角坐标系中 经过伸缩变换Error Error 后 曲线 C x2 y2 36 变为何种曲线 并求曲线的焦点坐标 B 组 专项能力提升 1 在极坐标系中 已知圆 O cos sin 和直线 l sin 4 2 2 1 求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程 2 当 0 时 求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标 2 已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 2 2 2 cos 2 2 4 1 把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过两圆交点的直线的极坐标方程 3 2013 课标全国 已知曲线 C1的参数方程为Error Error t 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 2sin 1 把 C1的参数方程化为极坐标方程 2 求 C1与 C2交点的极坐标 0 0 2 4 2012 辽宁 在直角坐标系 xOy 中 圆 C1 x2 y2 4 圆 C2 x 2 2 y2 4 1 在以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 分别写出圆 C1 C2的极坐标方程 并 求出圆 C1 C2的交点坐标 用极坐标表示 2 求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程 答案答案 要点梳理 1 1 极点 极轴 极径 2 cos sin x2 y2 y x 3 参数方程 参数 4 1 Error Error 2 Error Error 3 Error Error 4 Error Error 夯基释疑 1 4 2 x2 y2 2x y 0 3 4 4 50 5 M1 3 题型分类 深度剖析 例 1 解 1 由 cos 1 3 得 cos sin 1 1 2 3 2 从而 C 的直角坐标方程为 x y 1 即 x y 2 1 2 3 23 当 0 时 2 所以 M 2 0 当 时 所以 N 2 2 3 3 2 3 3 2 2 M 点的直角坐标为 2 0 N 点的直角坐标为 0 2 3 3 所以 P 点的直角坐标为 1 3 3 则 P 点的极坐标为 2 3 3 6 所以直线 OP 的极坐标方程为 R 6 跟踪训练 1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程 得圆的方程为 x2 y2 2x 即 x 1 2 y2 1 直线的方程为 3x 4y a 0 由题设知 圆心 1 0 到直线的距离为 1 即有 1 解得 a 8 或 a 2 3 1 4 0 a 32 42 故 a 的值为 8 或 2 例 2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为 y2 1 0 y 1 x 和 x2 555 y2 x 联立解得交点为 4 5 1 2 5 5 跟踪训练 2 解 1 x 2t2 1 t2 y 4 3 4 3x 4 2t2 1 t2 4 1 t2 6t2 1 t2 2t2 1 t2 又 x 2 0 2 2t2 1 t2 2 1 t2 2 1 t2 2 1 t2 x 0 2 所求的普通方程为 3x y 4 0 x 0 2 2 4cos2 2 x 4sin2 4 y 1 4cos2 4sin2 2 x 4y 4 4y x 2 0 0 4cos2 4 0 2 x 4 2 x 2 所求的普通方程为 x 4y 2 0 x 2 2 例 3 解 化极坐标方程 4cos 为直角坐标方程 x2 y2 4x 0 所以曲线 C 是以 2 0 为圆心 2 为半径的圆 化参数方程Error Error t 为参数 为普通方程 x y 3 0 3 圆心到直线 l 的距离 d 2 3 1 3 5 2 此时 直线与圆相离 所以 MN 的最小值为 2 5 2 1 2 跟踪训练 3 解 1 圆 C1的直角坐标方程为 x2 y 2 2 4 直线 C2的直角坐标方程为 x y 4 0 解Error Error 得Error Error Error Error 所以 C1与 C2交点的极坐标为 4 2 2 2 4 注 极坐标系下点的表示不唯一 2 由 1 可得 P 点与 Q 点的直角坐标分别为 0 2 1 3 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x y 2 0 由参数方程可得 y x 1 b 2 ab 2 所以Error Error 解得 a 1 b 2 练出高分 A 组 1 解 因为直线 l 的参数方程为Error Error t 为参数 由 x t 1 得 t x 1 代入 y 2t 得到直线 l 的普通方程为 2x y 2 0 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2 2x 联立方程组Error Error 解得公共点的坐标为 2 2 1 2 1 2 解 1 由Error Error 0 2 得 x2 y 1 x 1 1 2 由 sin 得曲线 D 的普通方程为 42 x y 2 0 Error Error 得 x2 x 3 0 解得 x 1 1 1 13 2 故曲线 C 与曲线 D 无公共点 3 解 1 由点 A 在直线 cos a 上 可得 a 2 4 42 所以直线 l 的方程可化为 cos sin 2 从而直线 l 的直角坐标方程为 x y 2 0 2 由已知得圆 C 的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 所以圆 C 的圆心为 1 0 半径 r 1 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d 1 1 2 2 2 所以直线 l 与圆 C 相交 4 解 12sin 2 12 sin x2 y2 12y 0 即 x2 y 6 2 36 又 12cos 6 2 12 cos cos 6 sin sin 6 x2 y2 6x 6y 0 3 x 3 2 y 3 2 36 3 PQmax 6 6 18 3 3 2 32 5 解 1 由公式Error Error 得 M 的直角坐标为 1 3 N 的直角坐标为 2 0 P 的直角坐标为 3 3 2 kMN kNP 3 2 13 3 0 3 23 kMN kNP M N P 三点在一条直线上 6 解 圆 x2 y2 36 上任一点为 P x y 伸缩变换后对应的点的坐标为 P x y 则 Error Error 4x 2 9y 2 36 即 1 x 2 9 y 2 4 曲线 C 在伸缩变换后得椭圆 1 其焦点坐标为 0 x2 9 y2 45 B 组 1 解 1 圆 O cos sin 即 2 cos sin 圆 O 的直角坐标方程为 x2 y2 x y 即 x2 y2 x y 0 直线 l sin 即 sin cos 1 4 2 2 则直线 l 的直角坐标方程为 y x 1 即 x y 1 0 2 由Error Error 得Error Error 故直线 l 与圆 O 公共点的极坐标为 1