2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修4-§3.docx

知识点一两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin ；(C()cos()cos_cos_sin_sin_；(C()sin()sin_cos_cos_sin_；(S()sin()sin_cos_cos_sin_；(S()tan()；(T()tan().(T()知识点二二倍角公式sin 22sin_cos_；(S2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(C2)tan 2.(T2)知识点三辅助角公式及常用变形公式1辅助角公式(1)asin bcos sin()；(2)acos bsin cos().特别提醒：常用的6个式子：sin cos sin；sin cos 2sin；sin cos 2sin；cos sin cos；cos sin 2cos；cos sin 2cos.2常用变形公式(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，1cos 22cos2，1cos 22sin2.知识点四简单的三角恒等变换1变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形式，不变其性质2变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的3变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式4变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径题型一两角和与差的公式的应用例1(1)已知0，且cos，sin，则cos()的值为_(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_答案(1)(2)解析(1)0，cos ，sin ，cos cos coscossinsin，cos()2cos21221.(2)tan tan()0，0，又tan 20，02，tan(2)1.tan 0，20，2.感悟与点拨(1)解题中注意变角，如本题中.(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好跟踪训练1(1)(2017年4月学考)已知为锐角，且sin ，则sin(45)等于()A. B C. D(2)已知，cos 2，sin().则sin _.答案(1)A(2)解析(1)为锐角且sin ，cos .sin(45)sin cos 45cos sin 45.(2)，cos 0，sin 0.又cos 22cos21，cos .sin .而，且sin()，cos().故sin sin()sin()cos cos()sin .题型二二倍角公式的应用例2(1)方程3sin x1cos 2x在区间0,2上的解为_(2)_.答案(1)或(2)解析(1)3sin x1cos 2x22sin2x，2sin2x3sin x20，sin x，sin x2(舍去)又x0,2，x或.(2)cos2sin2cos .感悟与点拨(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子的结构与特征(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有化为特殊角的三角函数值；化为已知角的三角函数值跟踪训练2(1)(2016年10月学考)函数f(x)12sin22x是()A偶函数且最小正周期为B奇函数且最小正周期为C偶函数且最小正周期为D奇函数且最小正周期为(2)若tan ，则cos22sin 2等于()A. B.C1 D.答案(1)A(2)A解析(1)由题意知f(x)12sin22xcos 4x，则f(x)cos(4x)cos 4xf(x)T，所以f(x)为偶函数，最小正周期为.(2)cos22sin 2cos24sin cos .题型三三角变换的应用例3(2017年4月学考)已知函数f(x)2cos2x1，xR.(1)求f的值；(2)求函数f(x)的最小正周期；(3)设g(x)fcos 2x，求g(x)的值域解(1)由已知可得f(x)cos 2x，fcos .(2)T.(3)g(x)fcos 2x，g(x)coscos 2xsin 2xcos 2x22sin，g(x)2,2感悟与点拨三角变换和三角函数的性质相结合是考试的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题跟踪训练3(1)已知函数f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x，求：函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；函数f(x)的单调递增区间(2)已知函数f(x)4tan xsincos.求f(x)的定义域与最小正周期；讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)(sin2xcos2x)2sin xcos x2cos2x2sin xcos x12cos2xsin 2xcos 2x222sin，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，f(x)取得最大值2.此时函数f(x)取得最大值的自变量x的集合为.由得f(x)2sin，令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，因此函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)f(x)的定义域是.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos2sin xcos x2sin2xsin 2xcos 2x2sin.f(x)的最小正周期T.令2k2x2k，kZ，则kxk，kZ.令2k2x2k，kZ，则kxk，kZ.(kZ)，(kZ)，f(x)在上单调递增，在上单调递减一、选择题1已知角的终边经过点P(3,4)，则tan 2等于()A. B.C D答案A解析tan ，tan 2.2cos 160sin 10sin 20cos 10等于()A B. C D.答案C解析cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 20cos 10(cos 20sin 10sin 20cos 10)sin 30，故选C.3已知，为锐角，且cos()，sin ，则cos 的值为()A. B. C. D.答案A解析根据题意知，为锐角，若sin ，则cos ，若cos()，则也为锐角，则sin()，所以cos cos()cos()cos sin()sin .4已知sin 2，则cos2等于()A BC. D.答案D解析cos2.5当x时，函数f(x)sin xcos x的()A最大值是1，最小值是1B最大值是1，最小值是C最大值是2，最小值是2D最大值是2，最小值是1答案D解析f(x)sin xcos x22sin，x，x，sin，f(x)1,2，故选D.6在ABC中，tan B2，tan C，则A等于()A. B. C. D.答案A解析在ABC中，tan B2，tan C，tan Atan(BC)tan(BC)1，又A(0，)，A.7已知sin，则sin 2x等于()A. B. C. D.答案A解析sin(cos xsin x)，cos xsin x，两边平方得12sin xcos x，sin 2x.8设函数f(x)2sin xcos x2cos2x的图象为C，有下面三个说法：图象C关于x对称；函数f(x)在区间内是增函数；由f(x)2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.以上说法中，正确的个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2x2sin 2xcos 2x2sin.T，且f(x)2sin，令2k，kZ，解得x，kZ，图象C关于直线x，kZ对称，当k1时，x，即正确；令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.当k0时，x，正确；f(x)2sin可以由f(x)2sin 2x向右平移个单位长度得到，错误9已知函数f(x)2sin x(cos xsin x)1，若f(x)为偶函数，则的一个值为()A. B.C. D.答案B解析f(x)2sin x(cos xsin x)12sin xcos x2sin2x1sin 2xcos 2x2sin，又函数g(x)f(x)2sin2sin为偶函数，所以2k，kZ，即，kZ.当k1时，.10已知函数f(x)sin 2xcos 2x，若其图象是由ysin 2x图象向左平移(0)个单位长度得到，则的最小值为()A. B.C. D.答案C解析f(x)sin 2xcos 2xsin，函数ysin 2x的图象向左平移(0)个单位长度后的解析式为ysin2(x)，k(kZ)的最小值为.二、填空题11若，则sin cos _.答案解析(cos sin )，cos sin .12已知sin，sin，则tan x_.答案7解析由sin，sin，得sin xcos x，sin xcos x，解得sin x，cos x，所以tan x7.13在锐角ABC中，sin(AB)，sin(AB)，则tan 2B_.答案解析因为在锐角ABC中，sin(AB)sin C，sin(AB)，所以AB90，0AB90.所以cos(AB)，cos(AB).所以tan(AB)，tan(AB).所以tan 2Btan(AB)(AB).14若函数f(x)(sin xcos x)22cos2xm在上有零点，则实数m的取值范围是_答案1，解析函数f(x)(sin xcos x)22cos2xmsin 2xcos 2xmsinm在上有零点，故函数ysin的图象和直线ym在上有交点，函数ysin在上的值域为1，故m1，三、解答题15(2018年6月学考)已知函数f(x)sin xcos x，xR.(1)求f的值；(2)求函数f(x)的最大值，并求出取到最大值时x的集合解(1)fsincos1.(2)因为f(x)cossin xsincos xsin，所以，函数f(x)的最大值为1，当x2k，kZ，即x2k，kZ时，f(x)取到最大值，所以，取到最大值时x的集合为.16已知函数f(x)2cos2x2sin xcos x(xR)(1)当x0，时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)t1在内有两个不相等的实数解，求实数t的