均值不等式练习题

1 利用均值不等式求最值的方法利用均值不等式求最值的方法 一 均值不等式 1 1 若 则 2 若 则 当且仅当时取 Rba abba2 22 Rba 2 22 ba ab ba 2 1 若 则 2 若 则 当且仅当时取 Rba ab ba 2 Rba abba2 ba 3 若 则 当且仅当时取 Rba 2 2 ba ab ba 3 若 则 当且仅当时取 若 则 当且仅当时取0 x 1 2x x 1x 0 x 1 2x x 1x 若 则 当且仅当时取 0 x 111 22 2xxx xxx 即或 ba 3 若 则 当且仅当时取 0 ab 2 a b b a ba 若 则 当且仅当时取 0ab 22 2 ababab bababa 即或ba 4 若 则 当且仅当时取 Rba 2 2 22 2 baba ba 注 1 当两个正数的积为定植时 可以求它们的和的最小值 当两个正数的和为定植时 可以求它们 的积的最小值 正所谓 积定和最小 和定积最大 2 求最值的条件 一正 二定 三取等 3 均值定理在求最值 比较大小 求变量的取值范围 证明不等式 解决实际问题方面有广泛的应 用 一 配凑一 配凑 1 凑系数凑系数 例 1 当时 求的最大值 04 xyxx 82 解析 由知 利用均值不等式求最值 必须和为定值或积为定值 此题为两04 x820 x 个式子积的形式 但其和不是定值 注意到为定值 故只需将凑上一个2828xx yxx 82 系数即可 yxxxx xx 82 1 2 282 1 2 282 2 8 2 当且仅当 即 x 2 时取等号 282xx 2 所以当 x 2 时 的最大值为 8 yxx 82 评注 本题无法直接运用均值不等式求解 但凑系数后可得到和为定值 从而可利用均值不等式求 最大值 2 凑项凑项 例 2 已知 求函数的最大值 x 5 4 f xx x 42 1 45 解析 由题意知 首先要调整符号 又不是定值 故需对进行450 x 42 1 45 x x 42x 凑项才能得到定值 xx 5 4 540 f xx x x x 42 1 45 54 1 54 3 254 1 54 3231 x x 当且仅当 即时等号成立 54 1 54 x x x 1 评注 本题需要调整项的符号 又要配凑项的系数 使其积为定值 3 分离分离 例 3 求的值域 y xx x x 2 710 1 1 解析 本题看似无法运用均值不等式 不妨将分子配方凑出含有 x 1 的项 再将其分离 y xx x xx x x x 22 710 1 1514 1 1 4 1 5 当 即时x 10 x 1 当且仅当 x 1 时取 号 yx x 21 4 1 59 当 即时x 10 x 1 当且仅当 x 3 时取 号 yx x 521 4 1 1 的值域为 y xx x x 2 710 1 1 19 评注 分式函数求最值 通常化成 g x 恒正或恒负的形式 ymg x A g x B Am 00 3 然后运用均值不等式来求最值 二 整体代换二 整体代换 例 4 已知 求的最小值 abab 0021 t ab 11 解法 1 不妨将乘以 1 而 1 用 a 2b 代换 11 ab 11 1 11 2 abab ab 1 2 2 3 2 32 2 32 2 b a a b b a a b b a a b 当且仅当时取等号 由 2b a a b 2 21 21 1 2 2 b a a b ab a b 得 即时 的最小值为 a b 21 1 2 2 t ab 11 32 2 解法 2 将分子中的 1 用代换 11 ab ab 2 ab a ab b b a a b b a a b 22 1 2 2 3 2 32 2 评注 本题巧妙运用 1 的代换 得到 而与的积为定值 即可用均值不等t b a a b 3 22b a a b 式求得的最小值 t ab 11 三 换元三 换元 例 5 求函数的最大值 y x x 2 25 解析 变量代换 令 则tx 2xtty t t 2 2 20 21 则 当 t 0 时 y 0 4 当时 t 0y t t t t 1 2 1 1 2 2 1 2 4 当且仅当 即时取等号 2 1 t t t 2 2 故 xy 3 2 2 4 时 max 评注 本题通过换元法使问题得到了简化 而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题 从 而为构造积为定值创造有利条件 四 取平方四 取平方 例 6 求函数的最大值 yxxx 2152 1 2 5 2 解析 注意到的和为定值 2152xx 与 yxx xx xx 22 2152 4221 52 421528 又 所以y 002 2 y 当且仅当 即时取等号 2152xx x 3 2 故 ymax 2 2 评注 本题将解析式两边平方构造出 和为定值 为利用均值不等式创造了条件 总之 我们利用均值不等式求最值时 一定要注意 一正二定三相等 同时还要注意一些变形技 巧 积极创造条件利用均值不等式 练一练 练一练 1 若 求的最大值 02 xyxx 63 2 求函数的最小值 y x x x 1 3 3 3 求函数的最小值 y x x x 2 8 1 1 5 4 已知 且 求的最小值 xy 00 11 9 xy xy 参考答案 1 2 5 3 8 4 3 4 9 新课标人教新课标人教 A 版高中数学必修五典题精讲 版高中数学必修五典题精讲 3 4 基本不等式 基本不等式 典题精讲典题精讲 例 1 1 已知 0 x 求函数 y x 1 3x 的最大值 3 1 2 求函数 y x 的值域 x 1 思路分析 思路分析 1 由极值定理 可知需构造某个和为定值 可考虑把括号内外 x 的系数变成互为相反数 2 中 未指出 x 0 因而不能直接使用基本不等式 需分 x 0 与 x 0 讨论 1 解法一 0 x 1 3x 0 3 1 y x 1 3x 3x 1 3x 2 当且仅当 3x 1 3x 即 x 时 等号成立 x 3 1 3 1 2 31 3xx 12 1 6 1 时 函数取得最大值 6 1 12 1 解法二 0 x x 0 3 1 3 1 y x 1 3x 3x x 3 2 当且仅当 x x 即 x 时 等号成立 3 1 2 3 1 xx 12 1 3 1 6 1 x 时 函数取得最大值 6 1 12 1 2 解 当 x 0 时 由基本不等式 得 y x 2 2 当且仅当 x 1 时 等号成立 x 1 x x 1 当 x 0 时 y x x x 1 1 x x 0 x 2 当且仅当 x 即 x 1 时 等号成立 1 x x 1 y x 2 x 1 综上 可知函数 y x 的值域为 2 2 x 1 绿色通道 绿色通道 利用基本不等式求积的最大值 关键是构造和为定值 为使基本不等式成立创造条件 同时 要注意等号成立的条件是否具备 变式训练变式训练 1 当 x 1 时 求 f x x 的最小值 1 1 x 6 思路分析 思路分析 x 1x 1 0 变 x x 1 1 时 x 1 与的积为常数 1 1 x 解 x 1 x 1 0 f x x x 1 1 2 1 1 1 1 x1 1 x 1 1 1 x x 当且仅当 x 1 即 x 0 时 取得等号 1 1 x f x min 1 变式训练变式训练 2 求函数 y 的最小值 1 33 2 24 x xx 思路分析 思路分析 从函数解析式的结构来看 它与基本不等式结构相差太大 而且利用前面求最值的方法不易 求解 事实上 我们可以把分母视作一个整体 用它来表示分子 原式即可展开 解 令 t x2 1 则 t 1 且 x2 t 1 y 1 33 2 24 x xx 1 113 1 3 1 22 t t t tt t tt t 1 t 2 2 当且仅当 t 即 t 1 时 等号成立 t 1 t t 1 t 1 当 x 0 时 函数取得最小值 3 例 2 已知 x 0 y 0 且 1 求 x y 的最小值 x 1 y 9 思路分析 思路分析 要求 x y 的最小值 根据极值定理 应构建某个积为定值 这需要对条件进行必要的变形 下面给出三种解法 请仔细体会 解法一 利用 1 的代换 1 x 1 y 9 x y x y 10 x 1 y 9 y x x y9 x 0 y 0 2 6 y x x y9 y x x y9 当且仅当 即 y 3x 时 取等号 y x x y9 又 1 x 4 y 12 x 1 y 9 当 x 4 y 12 时 x y 取得最小值 16 解法二 由 1 得 x x 1 y 9 9 y y 7 x 0 y 0 y 9 x y y y y 1 y 9 10 9 y y 9 99 y y 9 9 y9 9 y y 9 y 9 0 2 6 9 99 y y 9 9 9 y y 当且仅当 y 9 即 y 12 时 取得等号 此时 x 4 当 x 4 y 12 时 x y 取得最小值 16 解法三 9 9 y 由 1 得 y 9x xy x 1 y 9 x 1 y 9 9 x y 10 x 1 y 9 10 2 16 9 1 yx 当且仅当 x 1 y 9 时取得等号 又 1 x 1 y 9 x 4 y 12 当 x 4 y 12 时 x y 取得最小值 16 绿色通道 绿色通道 本题给出了三种解法 都用到了基本不等式 且都对式子进行了变形 配凑出基本不等式满 足的条件 这是经常需要使用的方法 要学会观察 学会变形 另外解法二 通过消元 化二元问题为一元 问题 要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响 黑色陷阱 黑色陷阱 本题容易犯这样的错误 2 即 1 6 x 1 y 9 xy 9 xy 6 xy x y 2 2 6 12 x y 的最小值是 12 xy 产生不同结果的原因是不等式 等号成立的条件是 不等式 等号成立的条件是 x y 在同一个题 x 1 y 9 目中连续运用了两次基本不等式 但是两个基本不等式等号成立的条件不同 会导致错误结论 变式训练变式训练已知正数 a b x y 满足 a b 10 1 x y 的最小值为 18 求 a b 的值 y b x a 思路分析 思路分析 本题属于 1 的代换问题 解 解 x y x y a b 10 y b x a x ay y bx x ay y bx x y 0 a b 0 x y 10 2 18 即 4 abab 又 a b 10 8 或 8 2 b a 2 8 b a 例 3 求 f x 3 lgx 的最小值 0 x 1 xlg 4 思路分析 思路分析 0 x 1 lgx 0 0 不满足各项必须是正数这一条件 不能直接应用基本不等式 正确的处理方法是加上 xlg 4 负号变正数 解 0 x 1 lgx 0 0 0 xlg 4 xlg 4 lgx 2 4 xlg 4 lg 4 lg x x lgx 4 f x 3 lgx 3 4 1 xlg 4 xlg 4 当且仅当 lgx 即 x 时取得等号 xlg 4 100 1 则有 f x 3 lgx 0 x 1 的最小值为 1 xlg 4 黑色陷阱 黑色陷阱 本题容易忽略 0 x 1 这一个条件 变式训练变式训练 1 已知 x 求函数 y 4x 2 的最大值 4 5 54 1 x 思路分析 思路分析 求和的最值 应凑积为定值 要注意条件 x 则 4x 5 0 4 5 解 解 x 4x 5 0 4 5 y 4x 5 3 5 4x 3 54 1 xx45 1 2 3 2 3 1 x x 45 1 45 当且仅当 5 4x 即 x 1 时等号成立 x45 1 所以当 x 1 时 函数的最大值是 1 变式训练变式训练 2 当 x 时 求函数 y x 的最大值 2 3 32 8 x 思路分析 思路分析 本题是求两个式子和的最大值 但是 x 并不是定值 也不能保证是正值 所以 必须使用一 32 8 x 些技巧对原式变形 可以变为 y 2x 3 再求最值 2 1 32 8 x2 3 x x 23 8 2 23 2 3 9 解 y 2x 3 2 1 32 8 x2 3 x x 23 8 2 23 2 3 当 x 时 3 2x 0 2 3 4 当且仅当 即 x 时取等号 x x 23 8 2 23 x x 23 8 2 23 2 x x 23 8 2 23 2 1 于是 y 4 故函数有最大值 2 3 2 5 2 5 例 4 如图 3 4 1 动物园要围成相同的长方形虎笼四间 一面可利用原有的墙 其他各面用钢筋网围成 图 3 4 1 1 现有可围 36 m 长网的材料 每间虎笼的长 宽各设计为多少时 可使每间虎笼面积最大 2 若使每间虎笼面积为 24 m2 则每间虎笼的长 宽各设计为多少时 可使围成四间虎笼的钢筋总长 度最小 思路分析 思路分析 设每间虎笼长为 x m 宽为 y m 则 1 是在 4x 6y 36 的前提下求 xy 的最大值 而 2 则是 在 xy 24 的前提下来求 4x 6y 的最小值 解 解 1 设每间虎笼长为 x m 宽为 y m 则由条件 知 4x 6y 36 即 2x 3y 18 设每间虎笼的面积为 S 则 S xy 方法一 由于 2x 3y 2 2 yx32 xy6 2 18 得 xy 即 S xy6 2 27 2 27 当且仅当 2x 3y 时等号成立 由解得 1832 22 yx yx 3 5 4 y x 故每间虎笼长为 4 5 m 宽为 3 m 时 可使面积最大 方法二 由 2x 3y 18 得 x 9 y 2 3 x 0 0 y 6 S xy 9 y y 6 y y 2 3 2 3 0 y 6 6 y 0 S 2 2 3 2 6 yy 2 27 当且仅当 6 y y 即 y 3 时 等号成立 此时 x 4 5 故每间虎笼长 4 5 m 宽 3 m 时 可使面积最大 2 由条件知 S xy 24 设钢筋网总长为 l 则 l 4x 6y 方法一 2x 3y 2 2 24 yx 32 xy6 l 4x 6y 2 2x 3y 48 当且仅当 2x 3y 时 等号成立 由解得 24 32 xy yx 4 6 y x 10 故每间虎笼长 6 m 宽 4 m 时 可使钢筋网总长最小 方法二 由 xy 24 得 x y 24 l 4x 6y 6y 6 y 6 2 48 当且仅当 y 即 y 4 时 等号成立 此时 x 6 y 96 y 16 y y 16 y 16 故每间虎笼长 6 m 宽 4 m 时 可使钢筋总长最小 绿色通道 绿色通道 在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时 要注意 1 x y 都是正数 2 积 xy 或 x y 为定值 3 x 与 y 必须能够相等 特别情况下 还要根据条件构造满足上述三个条件的结论 变式训练变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池 平面图如图 3 4 2 所示 由 于地形限制 长 宽都不能超过 16 米 如果池外周壁建造单价为每米 400 元 中间两道隔墙建造单价为每米 248 元 池底建造单价为每平方米 80 元 池壁的厚度忽略不计 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并 求出最低造价 图 3 4 2 思路分析 思路分析 在利用均值不等式求最值时 必须考虑等号成立的条件 若等号不能成立 通常要用函数的单调性 进行求解 解 设污水处理池的长为 x 米 则宽为米 0 x 16 0 16 12 5 x 16 x 200