也谈正三角形在解(证)题中的作用

也谈正三角形在解 证 题中的作用 干一镇中心学校初中分校 谢红涛 对于竞赛而言 几何中角度的计算占一定的比例 如果是选择题和 填空题 可以通过量角器与尺规作图就可以达到几近正确的选项 然而 是解答的话 往往通过准确的画图 得到比较正确的结论以 后 再动手答题 我在这些年的辅导中 找出比较典型的几个例子 说明几何的特色是三种简单的思维转换 即角的替换 边的替换 比的替换 而正三角形可以达到多边替换与多角替换 是我们不能 忽略的 在解题中往往简单明了 给人耳目一新 振聋发聩 那么 我 找出几个例子 和大家共同探讨 例题1 已知等腰三角形 ABC AB AC P 为三角形内一点 角 PBC 10度 角 PCB 20度 角 BAC 80度 试求 BAP 的度数 解法 以边 BC 作正三角形 BCE 连 AE 过点 A 作 AF 平行 PC 交 BP 延长线于 F 连 CF EF AB AC EB EC 则 AE 为 BC 中垂线 由三线合一可得 角 BAE 40度 角 BEA 30度 AF 平行 PC 角 CPF 角 AFP 30度 角 ABF 40度 AB 公共 三角形 ABF 全等于三角形 ABE 角 BAE 角 ABF 40度 AE BF 可以得到 ABEF 为等腰梯形 即 ABEF 四点共圆 角 BFE 角 BAE 40度 角 FBE 70度 可以得到 FB FE CB CE 则 FC 为 BE 中垂线 由三线合一 则角 BFC 20度 同理 APCF 四点共圆 角 BFC 20度 角 PAC 所以角 BAP 60度 通过构建正三角形 得到两个等腰梯形 运用等腰梯形的性质 让 解答简洁 明了 解法新颖独特 例2 已知等腰三角形 ABC AB AC P 为三角形内一点 角 PBC 10 度 角 PCB 30度 角 BAC 80度 试求 BAP 的度数 解法 以边 BC 作正三角形 BCE 连 AE BE CE BE CE BA CA 则 AE 为 BC 中垂线 由三线合一可得角 BEA 30度 角 EAB 10度 三角形 ABE 全等于三角形 BPC BP BA 可得角 BAP 70度 正三角形的构建 能够产生多角替换和多边替换 实行全等位移 然后通过等腰三角形的性质解题 使整个解答过程酣畅洒脱 赋有 美感 例3 已知等腰三角形 ABC AB AC 角 BAC 100度 BC AD 求角 BCD 的度数 解法 以边 BC 作正三角形 BCE 连 AE BE CE AB AC EB EC 则 AE 为 BC 中垂线 由三线合一可得 BAE 50 度 ABE 100度 AB AC BE BC AD 角 CAD 100度 三角形 ACD 全等于三角形 ABE 所以角 ACD 角 BAE 50度 故 BCD 10度 我们常说 代数之妙在于提 几何之妙在于补 将图形合理的补充 解题思路形成思维定势 用一个一个知识点去完善嫁接 这道题目 的解题思路是构建等边三角形 中垂线的产生 全等转换 外角性质 例4 在三角形 ABE 中 AB BC CD 角 ABC 78度 角 BCD 162 度 求角 E 的度数 解答 以 AB 为边作正三角形 ABF 连 AF BF DF 则角 FBC 角 DCE 18度 BF CD BF CD BC 则四边形 BFDC 为 菱形 DF AF 则角 AFB 60度 2倍的角 E 18度 角 E 21度 此题之妙 在于构建正三角形后 能够得到菱形 其解题思路是 正三角形 菱形 外角性质 多边替换是这道题的特色 例 5 如图 在三角形 ABC 中 角 BAC 角 BCA 44 度 M 为三角形 ABC 内一点 使得角 MCA 30 度 角 MAC 16 度 求角 BMC 的度 数 解答 以 AC 为边 作正三角形 ABE 连 BE AB CB AE CE 那么 EB 为 AC 的中垂线 由三线合一可得 角 AEB 30 度 角 ACM 30 度 有已知条件可得 角 EAB 角 MAC 16 度 AE AC 所以三角形 ABE 全等于三角形 CMA 即 AB AM 角 BAM 28 度 所以 角 BMC 360 134 76 150 度 此题解答方法同例 2 让我们加深这样的一个循环过程 正三角形 的构造 中垂线的应用 全等转换 角度计算 例 6 在三角形 ABC 中 M 为三角形内一点 角 ABC 60 度 角 MBC 20 度 CM 平分角 ACB 且角 ACB 20 度 求角 BAM 的度 数 解答 延长 CA 至 点 E 使得 CB CE CM 公共 CM 平分角 BCA 所以三角形 CBM 全等于三角形 CEM 则 ME MB 角 EMB 60 度 三角形 BME 为 正三角形 BE BM 角 EBA 20 度 角 BEC 80 度 由三角形内角和 可得 角 BEA 角 BAE 80 度 所以 BE BA 故 BA BM 角 ABM 40 度 所以角 BAM 70 度 这里 抓住角平分线构造图形翻折 形成正三角形 再实施多边替 换 从而达到解题的目的 整个过程轻松而回味无穷 例 7 如图所示 等腰梯形 ABCD AB CD AD BC 角 BAD 100 度 角 ACD 20 度 E 为 CD 上一点 角 ABE 30 度 连 AE 求角 DAE 的度数 解答 作角 BCF 20 度 交 AB 于 F 角 ABC 80 度 在三角形 BCF 中 由三角形内角和可得 角 ABC 角 AFC 80 度 所以 CB CF 1 在三角形 BCE 中 角 CBE 50 度 角 BCD 80 度 由三角形内角和 得 角 CBE 角 CEB 50 度 所以 CB CE CB CE CF 2 角 ECF 60 度 所以三角形 CEF 为正三角形 CF EF 3 在三角形 AFC 中 角 AFC 100 度 角 FCA 40 度 由三角形内角和可得 角 ECA 角 FAC 40 度 所以 FA FC 4 由 1 2 3 4 可得到 FA FE FC 可理解为圆 F 为三角形 ECA 的外接圆 弧 CE 所对的 圆心角为 60 度 所以角 CAE 30 度 故 EAD 30 度 此题最大的特色是多边替换 由边等推到角等 在互相替换的过程 中达到解