人教版八年级下第十七章勾股定理经典例题（含答案解析）

1 经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在 ， C=90 (1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40， b=9，求 c； (3)已知 c=25， b=15，求 a. 思路点拨 : 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析： (1) 在 ， C=90， a=6， c=10,b= (2) 在 ， C=90， a=40， b=9,c= (3) 在 ， C=90， c=25， b=15,a= 举一反三 【变式】 :如图 B= 0 , 3,2, ,则 长是多少 ? 【答案】 0 3, 2 132 122 =25 又 0且 由勾股定理可得 52 32 =16 4 长是 4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在 中， ， ， . 求： 思路点拨 ：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于 D，则有 ， ，再由勾股定理计算出 而求出 解析 ：作 于 D，则因 ， （ 的两个锐角互余） （在 中，如果一个锐角等于 ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半） . 根据勾股定理，在 中， . 根据勾股定理，在 中， 2 . . 举一反三 【变式 1】如图，已知： ， ， 于 P. 求证： . 解析 ：连结 据勾股定理，在 中， . 而在 中，则根据 勾股定理有 . 又 （已知）， . 在 中，根据勾股定理有 ， . 【变式 2】已知：如图， B= D=90， A=60， ， 。求：四边形 面积。 分析 ：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 延长 于 F，或延长 于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析 ：延长 于 E。 A= 60， B=90， E=30。 ， ， 28， = 。 22， = 。 S 四边形 D 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的 地 C 点。 （ 1） 3 求 A、 C 两点之间的距离。 （ 2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。 解析 ：（ 1）过 B 点作 0 30 + 80 0 即 直角三角形 由已知可得： 00m， 由勾股定理可得： 所以 （ 2）在 ， 00m， 000m 0 0 0 即点 C 在点 A 的北偏东 30的方向 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 ，宽 ，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 图所示，点 D 在离厂门中线 处，且 ， 与地面交于 H 解： 1 米 (大门宽 度一半 )， （卡车宽度一半） 在 ，由勾股定理得： ） ） 因此高度上有 的余量，所以卡车能通过厂门 4 （ 二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、 C、 D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨 ：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论 解析 ：设正方形的边长为 1，则图（ 1）、图（ 2）中的总线路长分别为 C+3， C+3 图（ 3）中，在 同理 图（ 3）中的路线长为 图（ 4）中，延长 H，则 及勾股定理得： 1 21 此图中总线路的长为 4F 3 图（ 4）的连接线路最短，即图（ 4）的架设方案最省电线 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20为 4是上底面的直径一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程 5 解： 如图，在 中，底面周长的一半 根据 勾股定理得 （提问：勾股定理） （ 勾股定理） 答：最短路程约为 类型四：利用勾股定理作长为 的线段 5、作长为 、 、 的线段。 思路点拨： 由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和 1 的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。 作法 ：如图所示 （ 1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角 斜边； （ 2）以 一条直角边，作另一直角边为 1 的直角 。斜边为 ； （ 3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。 解析： 可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1。 作法 ：如图所示在数轴上找到 A 点，使 ，作 截取 ，以 半径， 以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为 。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 6 1原命题：猫有四只脚（正确） 2原命题：对顶角相等（正确） 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确） 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确） 思路点拨： 掌握原命题与逆命题的关系。 解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确） 3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 （正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确） 总结升华： 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 7、如果 三边分别为 a、 b、 c，且满足 a2+b2+0=6a+8b+10c，判断 形状。 思路点拨 ：要判断 形状，需要找到 a、 b、 c 的关系，而题目中只有条件 a2+b2+0=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析 ：由 a2+b2+0=6a+8b+10c，得 ： +6+5=0, (+(+(=0。 ( 0, ( 0, ( 0。 a=3， b=4， c=5。 32+42=52, a2+b2= 由勾股定理的逆定理，得 直角三角形。 总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 ,在证明中也常要用到。 举一反三 【变式 1】四边形 ， B=90， ， ， 2， 3，求四边形 面积。 【答案】：连结 B=90， ， 5（勾股定理） 69， 69 0（勾股定理逆定理） 【变式 2】已知 : mn,m2+n2(m,n 为正整数 ,且 m n),判断 否为直角三角形 . 分析 :本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明 :a2+b2=证明： 7 所以 【变式 3】如图正方形 E 为 点， F 为 一点，且 请问 否垂直 ?请说明。 【答案】答： 证明：设 BF=a，则 C=2a, a， a, E2= 60 连接 图） 65 经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是 3： 4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。 思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析： 设此直角三角形两直角边分别是 3x， 4x，根据题意得： （ 3x） 2+（ 4x） 2 202 化简得 16； 直角三角形的面积 3x 4x 696 总结升华： 直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。 举一反三 【 变式 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。 【 答案 】如图，等边 D 则： 腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） 2（等边三角形各边都相等） 1 在直角三角形 ， ： 4 1 3 S 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为 a。 【 变式 2】直角三角形周长为 12边长为 5直角三角形的面积。 【 答案 】设此直角三角形两直角边长分别是 x， y，根据题意得： 8 由（ 1）得： x+y 7， （ x+y） 2 49， xy+49 (3) (3) (2)，得： 12 直角三角形的面积是 12 6（ 【 变式 3】若直角三角形的三边长分别是 n+1， n+2， n+3，求 n。 思路点拨： 首先要确定斜边（最长的边）长 n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为 n+3，由勾股定理可得： （ n+1） 2+（ n+2） 2（ n+3） 2 化简得： 4 n 2，但当 n 2 时， n+1 10， n 2 总结升华： 注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。 【 变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、 8， 15， 17 B、 4， 5， 6 C、 5， 8， 10 D、 8， 39， 40 解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断， 对数据较大的可以用 a2+： c a）（ c+a）来判断。 例如：对于选择 D， 82（ 40+39）（ 40 39）， 以 8， 39， 40 为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】： A 【 变式 5】四边形 ， B=90， ， ， 2， 3，求四边形 面积。 解：连结 B=90， ， 5（勾股定理） 69， 69 0（勾股定理逆定理） S 四边形 6 类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路 公路 点 P 处交汇 ，且 30，点 A 处有一所中学， 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 沿 向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨： （ 1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 计算其长度。（ 2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析 ：作 垂足为 B。 在 ， 90， 30， 160， 80。 （在直角三角形中， 30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A 到直线 距离小于 100m, 这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路 沿 向行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么 100(m)， 9 由勾股定理得： 10023600, 60。 同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么， 100(m)， 60(m), 120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h 5m/s t 120m 5m/s 24s。 答：拖拉机在公路 沿 向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24 秒。 总结升华 :勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 ,若图形缺少直角条件 ,则可以通过作辅助垂线的方法 ,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三 【 变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 _步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草。 解析：他们原来走的路为 3+4 7(m) 设走“捷径”的路长为 故少走的路长为 7 5 2(m) 又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了 4 步路。【答案】 4 【 变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （ 1）直接写出单位正三角形 的高与面积。 （ 2）图中的平行四边形 有多少个单位正三角形？平行四边形 面积是多少？ （ 3）求出图中线段 长（可作辅助线）。 【答案】（ 1）单位正三角形的高为 ，面积是 。 （ 2）如图可直接得出平行四边形 有 24 个单位正三角形，因此其面积 。 （ 3）过 A 作 点 K（如图所示），则在 ， ， ，故 类型三：数学思想方法 （一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 3、如图所示， 等腰直角三角形， C， D 是斜边 中点， E、 F 分别是 上的点，且 0 2， 求线段 长。 思路点拨： 现已知 求 这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 解 ：连接 因为 0， C 又因为 中线， 所以 C= 且 C=45 因为 0 又因为 0 所以 所以 所以 C=5 同理： E=12 在 ，根据勾股定理得： ，所以 3。 总结升华 ：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的