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股票价格的行为模式 教学目的与要求掌握随机变量的概念 了解马尔科夫过程的特点 掌握维纳过程的特点和性质 掌握一般维纳过程的特征以及其漂移率和方差率 维纳过程的均值和标准差 掌握Ito过程的特征 教学重点及难点一 马尔科夫过程与效率市场的关系 二 维纳过程 一般维纳过程与此同时Ito过程的特征 漂移率和方差率 变量的均值与方差 以及这几种过程的内在联系和变化 三 Ito定理及其运用 一 随机过程 1 随机过程如果某变量的值以某种不确定的方式随时间变化 则称该变量遵循某种随机过程 stochasticprocess 2 分类随机过程分为离散时间 discretetime 和连续时间 continuoustime 两类 一个离散时间随机过程是指标的变量值只能在某些确定的时间点上变化的过程 一个连续时间随机过程是指标的变量值的变化可以在任何时刻发生的过程 随机过程也可分为连续变量 continuousvariable 和离散变量 discretevariable 两种过程 在连续变量过程中 标的变量在某一范围内可取任意值 在离散变量过程中 标的变量只可能取某些离散值 二 弱式效率市场假说与马尔科夫过程 1 效率市场假说1965年 法玛 Fama 提出了著名的效率市场假说 该假说认为 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的 证券价格能完全反应全部信息 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平 而与新信息相应的价格变动是相互独立的 2 效率市场分类效率市场假说可分为三类 弱式 半强式和强式 弱式效率市场假说认为 证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息 也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益 半强式效率市场假说认为 证券价格会迅速 准确地根据可获得的所有公开信息调整 因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券 强式效率市场假说认为 不仅是已公布的信息 而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中 因此任何信息 包括 内幕信息 对挑选证券都没有用处 效率市场假说提出后 许多学者运用各种数据对此进行了实证分析 结果发现 发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说 股票开户咨询 3 马尔科夫过程弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 MarkovStochasticProcess 来表述 马尔科夫过程 Markovprocess 是一种特殊类型的随机过程 这个过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关 股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性 theweakformofmarketefficiency 相一致 一种股票的现价已经包含了所有信息 当然包括了所有过去的价格记录 如果弱型市场有效性正确的话 技术分析师可通过分析股价的过去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的 是市场竞争保证了弱型市场有效性成立 三 维纳过程 布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述 以发现这种现象的英国植物学家RobertBrown命名 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳 wiener 给出的 因此布朗运动又称维纳过程股价行为模型通常用布朗运动来描述 布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式 一 标准布朗运动 变量z是一个随机变量 设一个小的时间间隔长度为 t 定义 z为在 t时间内z的变化 要使z遵循维纳过程 z必须满足两个基本性质 性质1 z与 t的关系满足方程式 z 其中 为服从标准正态分布 即均值为0 标准差为1 0的正态分布 中抽取的一个随机值 性质2 对于任何两个不同时间间隔 t z的值相互独立 股票开户咨询 从性质1 我们得到 z本身具有正态分布 z的均值 0 z的标准差 z的方差 t性质2则隐含z遵循马尔科夫过程 即变量对过去没有记忆效应 在一段相对长的时间T中z值的增加表示为z T z 0 这可被看作是在N个长度为 t的小时间间隔中z的变化的总量 这里 其中 i i 1 2 N 是从标准正态分布的随机抽样值 从性质2中可知 i是相互独立的 从上式可得z T z 0 是正态分布的 其中 z T z 0 的均值 0 z T z 0 的方差 N t T z T z 0 的标准差 因此 在任一长度为T的时间间隔内 遵循维纳过程的随机变量值的增加具有均值为0 标准差为的正态分布 这就是为什么 z被定义为与的乘积而不是与 t的乘积 对于相互独立的正态分布 方差具有可加性 标准差不具有可加性 这样定义的随机过程就可以使得变量变化的方差而不是标准差与所考虑的时间长度成正比 例 假设一个遵循维纳过程的变量z 其最初值为25 以年为单位计时 那么 则有 在第一年末 变量值服从均值为25 标准差为1 0的正态分布 在第二年末 Z将服从均值为25 标准差为 2或1 414的正态分布 分析 之所以第2年末标准差变为 2 是因为变量值在未来某一确定时刻的不确定性 用标准差来表示 是随着时间长度的平方根而增加的 股票开户咨询 当 t 0时 我们就可以得到极限的标准布朗运动或维纳过程 二 普通布朗运动 漂移率 DriftRate 是指单位时间内变量Z均值的变化值 方差率 VarianceRate 是指单位时间的方差变动比率 标准布朗运动的漂移率为0 方差率为1 0 漂移率为0意味着在未来任意时刻z的均值都等于它的当前值 方差率为1 0意味着在一段长度为T的时间段后 z的方差为1 0 T 令漂移率的期望值为a 方差率的期望值为b2 得到变量x的普通布朗运动 用dx定义如下 dx adt bdz其中a和b为常数 dz遵循标准布朗运动 这个过程指出变量x关于时间和dz动态过程 其中第一项adt为确定项 adt项说明了x变量单位时间的漂移率期望值为a 如果缺省bdz项 方程变为 dx adt dx dt a x x0 at其中x0为x在零时刻的值 经过长度为T的时间段后 x增加的值为aT 第二项bdz是随机项 它表明对x的动态过程添加的噪音或波动率 这些噪声或波动率的值为维纳过程的b倍 类似的 可得任意时间T后x值的变化具有正态分布 且 方程 dx adt bdz给出了普通布朗运动 其漂移率 即单位时间平均漂移 的期望值为a 方差率 即单位时间的方差 的期望值为b2 如图 例 假设某公司的现金头寸遵循一般维纳过程 每年漂移率为20 每年方差为900 最初的现金头寸为50万 那么 则有 在第6个月末 该头寸将服从正态分布 均值为60 标准差为30 0 5 21 21的正态分布 在第1年末 该头寸将服从正态分布 均值为70 标准差为30 分析 同前 随机变量值在未来某一确定时刻的不确定性 用标准差来表示 是随着时间长度的平方根增加而增加的 股票开户咨询 三 Ito过程 若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数 得到另一种类型随机过程 即著名的Ito过程 Itoprocess 即伊藤过程 dx a x t dt b x t dz其中 dz是一个标准布朗运动 参数a和b是标的变量x和时间t值的函数 变量x的漂移率为a 方差率为b 即Ito过程的期望漂移率和方差率都随时间变化而变化 四 股票价格的行为过程 讨论无红利支付股票价格遵循的随机过程 1 假定股票价格遵循普通布朗运动的不合理性这种假定表明股票价格运动具有不变的期望漂移率和方差率 以S代表股票价格 t时间段股价的变化为 S 那么在 t时间段 S的均值为a t 方差为b2 t 此时a t S代表股票的期望收益率 这表明承担相同风险的情况下 股价高的获得的收益率低 股价低的获得的收益率高 这与投资者要求来自股票的期望收益率与股票价格无关的现实不一致 2 一种修正 假定股票价格变化率遵循普通布朗运动假设股价变化比率遵循布朗运动 设S遵循期望漂移率为 S 为常数 的布朗运动 因此 在短时间间隔 t后 S的增长期望值为 S t 参数 是股票的期望收益率 以小数的形式表示 即 假定 S S的变化遵循普通布朗运动 其期望漂移率 为一恒定参数 在短时间间隔 t后 S S的期望值 股票的期望收益率 为 1 若股票价格的方差率恒为0 这个模型即为 其中So是零时刻的股票价格 以上方程说明了当方差率为0时 股票价格以单位时间为 的连续复利方式增长 注 这是只存在于一个无风险的世界中 2 股票价格的方差率不为0 当然 实际上股票价格确实存在着波动率 一个合理假设是 无论股票价格如何 短时间 t后的百分比收益率的方差保持不变 即 不管股票价格为 50还是 10 投资者认为他或她的收益率的不确定性是相同的 定义 2为股票价格比例变化的方差率 即 2 t是 t时间后股票价格比例变化 proportionalchange 的方差 2S2 t是经过 t后股票价格的实际变化 actualchange 的方差 因此 S的瞬态方差率 instantaneousvariancerate 为 2S2 股票开户咨询 3 股票价格行为的几何布朗运动 1 从以上阐述可以得出结论 S可以用瞬态期望漂移率 instantaneousexpecteddriftrate 为 S和瞬态方差率为 2S2的Ito过程 几何布朗运动 来表达 表示为 几何布朗运动是描述股票价格行为最广泛使用的一种模型 变量 通常被称为股票价格波动率 stockpricevolatility 即是股票收益率单位时间的标准差 2表示股票收益率单位时间的方差 变量 为股票在单位时间内以连续复利表示的股票价格的预期收益率 expectedrateofreturn 这两个参数假设为常数 dz表示标准布朗运动 2 从几何布朗运动可知 在短时间 t后 证券价格比率的变化值 S S为 S S t 方程的左边是短时间 t后股票的收益率 t项是这一收益率的期望值 项是收益率的随机部分 随机部分的方差 也是整个收益的方差 为 2 t 可见 S S也具有正态分布特征 其均值为 t 标准差为 方差为 2 t 其中 m s 表示均值为m 标准差为s的正态分布 短时间 t后股票价格比例变化的标准差为 作一粗略的近似 在相对长一段时间T后股票价格比例变化的标准差为 这就是说 作为近似 波动率可被解释为一年内股票价格变化的标准差 注意 在一段较长时间T后的股票价格比例变化的标准差并不精确地为 这是因为比例变化不具有可加性 4 参数的讨论 1 参数时间 在几何布朗运动中 我们涉及两个符号 和 其大小取决于时间计量单位 若无特别申明 通常以年为时间的计量单位 2 根据资本资产定价原理 值取决于 该证券的系统性风险 无风险利率水平 利率水平越高 投资者要求任一种股票的预期收益率就越高 市场的风险收益偏好 多数投资者认为 如果承担更大的风险 将要求获得更高的预期收益率 所以 值应当取决于股票收益的风险 由于后者涉及主观因素 因此 的决定本身就较复杂 然而幸运的是衍生证券的定价与标的资产的预期收益率 是无关的 因为依附于某种股票的衍生证券的价值一般是独立于 的 3 证券价格的波动率 对于衍生证券的定价则是相当重要的 证券价格的波动率可理解为证券价格的 脾气 我们可以通过历史数据来观察各种证券 脾气 的大小 然后通过几何布朗运动来确定其未来价格的概率分布 注意 几何布朗运动把 当作常数 实际上 证券价格的脾气是会变的 会随时间变化而变化 例 设一种不付红利股票遵循几何布朗运动 其波动率为每年18 预期收益率以连续复利计为每年20 其目前的市价为100元 求一周后该股票价格变化值的概率分布 解 0 20 0 18 其股价过程为 dS S 0 20dt十0 18dz在随后短时间间隔后的股价变化为 S S 0 20 t 0 18 由于1周等于0 0192年 因此 S 100 0 00384 00249 0 384 2 49 上式表示一周后股价的增加值是均值为0 384元 标准差为2 49元的正态分布的随机抽样值 五 Ito定理 股票期权的价格是该标的股票价格和时间的函数 更一般地 任何一种衍生证券的价格都是这些标的证券价格和时间的函数 在这一领域内的一个重要结论由一个叫K Ito的数学家在1951年发现 这是在伊藤过程的基础上 由伊藤进一步推导出来的 因此称为Ito定理 Ito lemma 假设变量x的值遵循Ito过程 dx a x t b x t dz其中 dz是一个维纳过程 a与b是x和t的函数 变量x的漂移率为a和方差率为b2 Ito定理表明x和t的函数G遵循如下过程 dS Sdt Sdz 和 为常数 这是股票价格运动的一个合理的模型 从Ito定理得到S与t的函数G遵循的过程为 六 Ito定理的应用 一 应用于股票价格对数变化 1 现在我们用Ito定理推导lnS变化所遵循的随机过程 由于 和 为常数 这个方程表明了证券价格对数G遵循一个普通布朗运动 一般化的维纳过程 它具有恒定的漂移率 2 2和恒定的方差率 2 由本章前面的结果可知 证券价格对数的变化呈正态分布 如果一个变量的自然对数服从正态分布 则称这个变量服从对数正态分布 根据正态分布的特性 从上式可以得到 这表明ST服从对数正态分布 lnST的标准差与成比例 这说明证券价格对数的不确定性 用标准差表示 与我们考虑的未来时间的长度的平方