热学(李椿+章立源+钱尚武)习题解答-第-三-章--气体分子热运动速率和能量的统计分布律

第第 三三 章章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律气体分子热运动速率和能量的统计分布律 3 1 设有一群粒子按速率分布如下 粒子数 Ni 24682 速率 Vi m s 1 002 003 004 005 00 试求 1 平均速率 V 2 方均根速率 3 最可几速率 Vp 2 V 解 1 平均速率 m s 18 3 28642 00 5200 4800 3600 2400 12 V 2 方均根速率 m s 37 3 2 2 i ii N VN V 3 2 计算 300K 时 氧分子的最可几速率 平均速率和方均根速率 解 sm RT VP 395 1032 30031 822 3 sm RT V 446 103214 3 30031 888 3 sm RT V 483 1032 30031 833 3 2 3 3 计算氧分子的最可几速率 设氧气的温度为 100K 1000K 和 10000K 解 代入数据则分别为 RT VP 2 T 100K 时 smVP 1028 2 2 T 1000K 时 smVP 1021 7 2 T 10000K 时 smVP 1028 2 3 3 4 某种气体分子在温度 T1时的方均根速率等于温度 T2时的平均速率 求 T2 T1 解 因 RT V 3 2 2 8RT V 由题意得 RT3 2 8RT T2 T1 8 3 3 5 求 0 时 1 0cm3氮气中速率在 500m s 到 501m s 之间的分子数 在计算中 可将 dv 近似地取为 v 1m s 解 设 1 0cm3氮气中分子数为 N 速率在 500 501m s 之间内的分子数为 N 由麦氏速率分布律 N VVe KT m N V KT m 2 22 3 2 2 4 Vp2 代入上式 2KT m N V V V p p e V V V N 2 2 2 2 1 4 因 500 到 501 相差很小 故在该速率区间取分子速率 V 500m s 又 V 1m ssmVP 402 1028 27331 82 3 1 24 代入计算得 N 1 86 10 3N 个 v vp 3 6 设氮气的温度为 300 求速率在 3000m s 到 3010m s 之间的分子数 N1 与速率在 1500m s 到 1510m s 之间的分子数 N2之比 解 取分子速率为 V1 3000m s V2 1500m s V1 V2 10m s 由 5 题计算过程可得 V1 1 2 2 1 2 2 1 4 V V V p p p e V V V N N2 2 2 2 2 2 2 1 4 V V V p p p e V V V N N N2 21 21 21 21 p p p V V V V p e V V e V V 其中 VP m s 3 3 1018 2 102 57331 82 1 375 0 687 v1 vp v2 vp 969 0 687 0 375 1 2 2 687 02 375 12 2 1 e e N N 解法 2 若考虑 V1 V2 10m s 比较大 可不用近似法 用积分法求 N1 N2 dN dVV V V p P eV N 2 2 2 3 4 N1 122 1 00 VVV V dNdNdN N2 344 3 00 VVV V dNdNdN 令 Xi i 1 2 3 4 利用 16 题结果 vi vp 22 0 i i x ii V exxerfNdN N1 1 2 2 2 1 2 2 112 xx i exxerfNexxerfN N2 2 2 2 3 2 4 3344 xx exxerfNexxerfN 其中 VP sm RT 10182 2 2 3 375 1 1 1 P V V x379 1 2 2 P V V x 687 0 3 3 P V V x6722 0 4 4 P V V x 查误差函数表得 erf x1 0 9482 erf x2 0 9489 erf x3 0 6687 erf x4 0 6722 将数字代入 计算 再求得 703 0 2 1 N N 3 7 试就下列几种情况 求气体分子数占总分子数的比率 1 速率在区间 vp 1 0vp1 内 2 速度分量 vx在区间 vp 1 0vp1 内 3 速度分量 vp vp vp同时在区间 vp 1 0vp1 内 解 设气体分子总数为 N 在三种情况下的分子数分别为 N1 N2 N3 1 由麦氏速率分布律 N 122 1 00 VVV V dNdNdN 令 v2 1 01vp vi vp 则 利用 16 p i i v v x 1 1 1 p v v x01 1 2 2 p v v x 题结果可得 2 1 2 2 1122 1 2 2 xx exxerfexxerf N N 查误差函数表 erf x1 0 8427 erf x2 0 8468 008 0 1 N N 2 由麦氏速率分布律 x v v px dvev N dN p x 2 2 1 x v v v px v v v p dvev N dvev N N p x p x2 1 2 2 0 1 0 1 2 exp 1 exp 1 2 0 2 0 2 12 p x p x v v p x p x v v v v d v v v v d v v N N pp 令 p x v v x 1 1 1 p v v x01 1 2 2 p v v x dxedxe N N x x x x 2 1 2 2 00 2 11 利用误差函数 dxxxpexerf x 2 2 0 21 0 8427 08468 0 2 1 2 1 12 2 xerfxerf N N 3 令 由麦氏速度分布律得 p x v v x zyx v vvv p dvdvdvev N dN p zyx 2 222 33 1 833 2 3 00 33 108 0 002 0 1 2 1 1 2 2 2 N N dxedxe N N x x x x 3 8 根据麦克斯韦速率分布函数 计算足够多的点 以 dN dv 为纵坐标 v 为横 坐标 作 1 摩尔氧气在 100K 和 400K 时的分子速率分布曲线 解 由麦氏速率分布律得 2 22 3 2 2 4ve KT m N dv dN v KT m 将 3 14 N NA 6 02 1023T 100K m 32 10 3代入上式得到常数 A e KT m NA 2 3 2 4 KT m B 2 1 2 2 VAe dv dN BV 为了避免麻烦和突出分析问题方法 我们只做如下讨论 由麦氏速率分布律我们知道 单位速率区间分布的分子数随速率的变化 必然在最可几速率处取极大值 极大值为 令则 2 2 VAe dv dN y BV 0 2 2 22 2 BVeVVeA dv dy BVBV 得 B VV P 1 又在 V 0 时 y 0 V 时 y 0 又 m KT B VP 1 1 1 21 m KT B VP 2 2 2 21 T1 100K T2 400K 由此作出草图 1P V 2P V 3 9 根据麦克斯韦速率分布律 求速率倒数的平均值 v 1 解 VKT m e m KT KT m V KT m dVe m KT KT m VdVe KT m dvVf Vv KT mV KT m KT mv 42 2 4 2 2 4 2 4 11 0 22 3 22 0 22 3 0 22 3 0 2 2 3 10 一容器的器壁上开有一直径为 0 20mm 的小圆孔 容器贮有 100 的水银 容器外被抽成真空 已知水银在此温度下的蒸汽压为 0 28mmHg 1 求容器内水银蒸汽分子的平均速率 2 每小时有多少克水银从小孔逸出 解 1 1098 1 1020114 3 37331 888 2 3 sm RT V 2 逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数 所以每小时从小孔逸 出的分子数为 tsVnN 4 1 其中是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数 是小 KT VP Vn 4 1 4 1 2 2 d s 孔面积 t 3600s 故 代入数据得 tsV KT P N 4 1 N 4 05 1019 个 1035 1 1005 4 1002 6 10201 2 19 23 3 g N N mNM A 3 11 如图 3 11 一容器被一隔板分成两部分 其中气体的压强 分子数密度分 别为 p1 n1 p2 n2 两部分气体的温度相同 都等于 T 摩尔质量也相同 均为 试证明 如隔板上有一面积为 A 的小孔 则每秒通过小孔的气体质 量为 2 21 PPA RT M 证明 设 p1 p2 通过小孔的分子数相当于和面积为 A 的器壁碰撞的分子数 从 1 跑到 2 的分子数 tAVnN 111 4 1 从 2 跑到 1 的分子数 tAVnN 222 4 1 实际通过小孔的分子数 从 1 转移到 2 2 21121 4 1 VnVnAtNNN 因 t 1 秒 KT P n RT V 8 T1 T2 T 2 8 4 1 8 4 1 21 21 21 PPA RT PP RT RT A KT P KT PRT AmnmM 若 P2 P1 则 M 0 表示分子实际是从 2 向 1 转移 3 12 有 N 个粒子 其速率分布函数为 0 0 vvC Ndv dN vf 0 0 vvvf 1 作速率分布曲线 2 由 N 和 v0求常数 C 3 求粒子的平均速率 解 1 0 0 vvCvf 0 0 vvvf 得速率分布曲线如图示 2 1 0 dvvf 10 0 0 v cdvdvvf 即 1 0 cv 0 1 v c 3 0 2 0 0 2 1 2 1 vcvdvvvfv 3 13 N 个假想的气体分子 其速率分布如图 3 13 所示 当 v v0时 粒子数为 零 1 由 N 和 V0求 a 2 求速率在 1 5V0到 2 0V0之间的分子数 3 求分子的平均速率 解 由图得分子的速率分布函数 NV Va 0 0 0VV N a 00 2VVV f v 0 0 2VV 1 dvVNfdN aVaVV V a advdV V Va dVVfNN V V V 00 2 0 0 2 0 0 0 2 3 2 1 0 0 0 3 2 V N a 2 速率在 1 5V0到 2 0V0之间的分子数 33 2 2 1 5 12 0 0 00 2 5 1 2 5 1 0 0 0 0 N V V N VVa adVdVVNfN V V V V 3 14 证明 麦克斯韦速率分布函数可以写作 2 xF dx dN 其中 p v v x m KT vp 2 2 22 4 x ex N xF 证明 dxxe N v v dve N dvvevN dvve KT m N dvvNfdN x p v p v v v v p KT mv p p 2 2 23 2 3 2 22 3 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 4 4 22 2 xFxe N dx dN x 3 15 设气体分子的总数为 N 试证明速度的 x 分量大于某一给定值 vx的分子数 为 1 2 xerf N N x v 提示 速度的 x 分量在 0 到之间的分子数为 2 N 证明 由于速度的 x 分量在区间 vx vx dvx内的分子数为 x v v px dvev N dNv p x 2 2 1 故在 vx 范围内的分子数为 x x x xx v vx v vV dNdN dNN 00 由题意 2 0 N dN x v x v v v p v v dvev N dN p x xx x 2 2 0 1 0 令 p x v v x 利用误差函数得 2 2 2 00 2 xerf N dxe N dN x x v v x x 1 2 22 xerf N xerf NN N x V 3 16 设气体分子的总数为 N 试证明速率在 0 到任一给定值 v 之间的分子数为 2 2 0 x v exerfNN 其中 vp为最可几速率 p v v x 提示 dxexdxexed xxx 222 2 2 证明 dv v v ve N dvvev N dvve KT m N dvvfNN p p v v v v v v p v KT m v v v p p 2 2 1 0 2 0 3 2 22 3 0 0 0 2 2 2 2 2 4 4 2 4 令 则 p v v X dxvdv p dxxe N N x x v 2 0 0 24 由提示得 2 1 222 xxeddxedxxe xxx 2 2 14 2 22 00 0 x x x x x v exerfN xeddxe N N 3 17 求速度分量 vx大于 2 vp的分子数占总分子数的比率 解 设总分子数 N 速度分量 vx大于 2 vp的分子数由 15 题结果得 1 2 2 xerf N N x v 其中2 2 p p p v v v v x 可直接查误差函数表得 erf 2 0 9952 也可由误差函数 erf z 11 59 47 33 1 2 963 zzzz z 将 z 2 代入计算得 erf 2 0 9752 24 0 2 9952 012 N N p v 3 18 设气体分子的总数为 N 求速率大于某一给定值的分子数 设 1 v vp 2 v 2vp 具体算出结果来 解 1 v vp时 速率大于 vp的分子数 00 1 v v dvvfdvvfNdvvfNN 利用 16 题结果 2 1 2 x xexerfNN 这里1 p v v x NNN57 0 41 08427 01 1 2 v 2vp时 则速率大于 2vp的分子数为 2 p v v x NeerfNN046 0 22 2 1 4 2 3 19 求速率大于任一给定值 v 的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数 解 由 18 题结果可得单位体积中速率大于 v 的分子数为 2 1 2 V N nxexerfnn x v 在垂直 x 轴向取器壁面积 dA 则速率大于 v 能与 dA 相碰的分子 其 vx仍 在 0 间 由 热学 P30 例题 每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于 v 的 分子数为 2 1 4 1 4 1 2 0 x vxxxv xexerfvn nvdvvvfnN p v v x 3 20 在图 3 20 所示的实验装置中 设铋蒸汽的温度为 T 827K 转筒的直径为 D 10cm 转速为 200 l s 试求铋原子 Bi 和 Bi2分子的沉积点 P 到 P 点 正对着狭缝 s3 的距离 s 设铋原子 Bi 和 Bi2分子都以平均速率运 动 解 铋蒸汽通过 s3到达 P 处的时间为 在此时间里 R 转过的弧长为 v D t v D tDS 22 1 2 209 Bi 418 2 Bi RT D v D S Bi Bi 822 22 代入数据得 53 1 82 2 cm RT D S Bi Bi 3 21 收音机的起飞前机舱中的压力计批示为 1 0atm 温度为 270C 起飞后压力计指示为 0 80atm 温度仍为 27 0C 试计算飞机距地面的 高度 解 根据等温气压公式 P P0e 有 In H In 其中 In In 0 223 空气的平均分子量 u 29 H 0 223 2 0 103 m 3 22 上升到什么高度处大气压强减为地面的 75 设空气的温度为 0 0C 解 由题意知 0 75 故 H In 代入数据得 H 2 3 103 m 3 23 设地球大气是等温的 温度为 t 5 0 0C 海 平面上的气压为 P0 750mmHg 令测得某山顶的 气压 P 590mmHg 求山高 已知空气的平均分子 量为 28 97 解 H In 代入数据得 H 2 0 103 m 3 24 根据麦克斯韦速度分布律 求气体分子速 度分量 vx 的平均值 并由此推出气体分子每一 个平动自由度所具有的平动能 解 1 x vx2f vx dv x 2 0vx2 e vx2dv x v 1p 0vx2 e vx2dv x 查 热学 附录 3 1 表得 x Vp 1 3 2 同理可得 y x 2 分子总的平动能 2 2 m x 同理得 可见 气体分子的平均动能按自由度均分 都等于 KT 3 25 令 mv2 表示气体分子的平动能 试根 据麦克斯韦速率分布律证明 平动能在区间 d 内的分子数占总分子数的比率为 f d KT 3 2 e KT d 根据上式求分子平动能 的最可几值 证明 1 f v dv 4 3 2 e v2v2dv KT 3 2 v2 1 2 e mv2 2KT d mv2 故上式可写作 F d KT 3 2 e KT d 2 求 最可几值即 f 为极大值时对应的 值 KT 3 2 e KT e KT 3 2e KT 0 0 得 p 3 26 温度为 27 0C 时 一摩尔氧气具有多少平 动动能 多少转动动能 解 氧气为双原子气体 在 T 300K 下有 三个平动自由度 两个转动自由度 由能均分定理得 RT 8 31 300 3 74 103 J RT 8 31 300 2 49 103 J 3 27