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电磁场理论习题电磁场理论习题 一一 1 求函数 xy z xyz在点 1 1 2 处沿方向角 3 4 3 的方向的方 向导数 解 由于 M x y M yz 1 M y 2xy 1 1 2 xz 0 M z 2z 1 1 2 xy 3 1 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 所以 1coscoscos zyxl M 2 求函数 xyz 在点 5 1 2 处沿着点 5 1 2 到点 9 4 19 的方向的 方向导数 解 指定方向 l 的方向矢量为 l 9 5 ex 4 1 ey 19 2 ez 4ex 3ey 17ez 其单位矢量 zyxzyx eeeeeel 314 7 314 3 314 4 coscoscos 5 10 2 2 1 5 MMMMM xy z xz y yz x 所求方向导数 314 123 coscoscos l zyxl M 3 已知 x2 2y2 3z2 xy 3x 2y 6z 求在点 0 0 0 和点 1 1 1 处的梯 度 解 由于 2x y 3 ex 4y x 2 ey 6z 6 ez 所以 0 0 0 3ex 2ey 6ez 1 1 1 6ex 3ey 4 运用散度定理计算下列积分 2232 2 xyz s xz ex yz exyy z eds A A I S 是 z 0 和 z a2 x2 y2 1 2所围成的半球区域的外表面 解 设 A xz2ex x2y z3 ey 2xy y2z ez 则由散度定理 AA A s A ds Adv 可得 2 Ir dv A 222 Adv z x y dv 22 44 22 000000 sinsin aa rdrd dddr dr 5 2 5 a 5 试求 A 和 A 1 A xy2z3ex x3zey x2y2ez 2 22 cossin z Azee 3 2 11 sinsincos r A rreee rr 解 1 A y2z3 0 0 y2z3 A 23232 2 23 xy x yx exyxy ze xyz 2 3322 eee xyz xy zx zx y 2 A z A A A z 1 33 cos sin 1 3 cos A z z eee 1 z AAA 22 1 cos0 z eee z si n cos2 sinsin z eee 3 A 2 2 sin 1 sin sin r A Ar A rr rr 2 3 2 2 sincos 1 sin sin sin r rr rr rr 22 22 12 3sin2sincos 3sincos sin r rr A 2 1 sin r r r rr r eersi n e AArsi n A 2 1 sin 1 sinsincos r r rr r eersi n e rsi n 33 cos2cos cos sin r eee rr 习题二习题二 1 总量为 q 的电荷均匀分布于球体中 分别求球内 外的电场强度 解 设球体的半径为 a 用高斯定理计算球内 外的电场 由电荷分布可知 电 场强度是球对称的 在距离球心为 r 的球面上 电场强度大小相等 方向沿半 径方向 在球外 r a 取半径为 r 的球面作为高斯面 利用高斯定理计算 qrEdSD r s 2 0 4 2 0 4r q Er 对球内 rb 球心距为 c c0 时 但场点位于 z a 为 rqdrrqEdr rr 0 2 0 4 4 球内电位 ar 为 aqraaq drrqdrarqEdr ar a r 0 223 0 2 0 3 0 4 2 2 4 4 4 3 8 223 0 raaq 7 电荷分布如图所示 试证明 在 r l 处的电场为 E 4 0 2 2 3 r ql 证明 用点电荷电场强度的公式及叠加原理 有 E 0 4 1 2 lr q 2 2 r q 2 lr q 当 r l 时 2 1 lr 2 2 1 11 r l r 321 1 2 2 2 r l r l r 2 1 lr 2 2 1 11 r l r 321 1 2 2 2 r l r l r 将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量 得出 E 4 0 2 2 3 r ql 8 真空中有两个点电荷 一个电荷 q 位于原点 另一个电荷 q 2 位于 a 0 0 处 求电位为零的等位面方程 解 由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为 0 4 2 4 100 r q r q 其中 2 1 222 zyxr 2 1 222 1 zyaxr 等位面方程简化为 rr 1 2 即 222222 4zyxzyax 此方程可以改写为 2 22 2 3 2 3 4 a zy a x 这是球心在 0 0 3 4 a 半径为3 2a 的球面 9 一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向 介质柱的高度为 L 半径为 a 且均匀极化 求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布 解 选取圆柱坐标系计算 并假设极化强度沿其轴向方向 xePP0 如图 示 由于均匀极化 束缚体电荷为 0 P 在圆柱的侧面 注意介质的外法向沿半径方向 ren 极化强度在 z 方向 故 0 xeP 在顶面 外法向为 xen 故 0PePxsp 在底面 外法向为 xen 故 0 PePxsp 10 假设 x0 的区域为电解质 电解质的介电常数为 3 o 如果空气中的电场强度 zyxeeeE54 V m 求电介质中的电场强度2E 解 在电介质与空气的界面上没有自由电荷 因而电场强度的切向分量 连续 电位移矢量的法向分量连续 在空气中 由电场强度的切向分量 xyteeE541 可以得出介质中电场强度的切向分量 xyteeE542 对于法向 分量 用 nDDn21 即 xxEE210 并注意 013 3 xE 得出 12 xE 将所得到的切向分量相叠加 得介质中的电场为 zyxeeeE542 V m 11 一个半径为 a 的导体球面套一层厚度为 b a 的电解质 电解质的介电常数 为 假设导体球带电 q 求任意点的电位 解 在导体球的内部 电场强度为 0 对于电介质和空气中的电场分布 用高斯定理计算 在电介质或空气中的电场取球面为高斯面 由 s rqDrdSD 2 4 得出 2 4 r q Dr 电场为 2 4r q Er 在介质中 a rb 电位为 11 44440 22 0br q b q dr r q dr r q Edr rb b r a rb 12 真空中有两个导体球的半径都为 a 两球心之间距离为 d 且 d a 试计算 两个导体之间的电容 解 因为球心间距远大于导体的球的半径 球面的电荷可以看作是均匀 分布 由电位系数的定义 可得 a pp 0 2212 4 1 d pp 0 2112 4 1 让第一个导体带电 q 第二个导体带电 q 则 d q a q qpqp 00 12111 44 a q d q qpqp 00 22212 44 由 21 q U q C 化简得ad ad C 02 习题三习题三 1 球形电容器内 外极板的半径分别为 a b 其间媒质的电导率为 当外加电压 为 0 U 时 计算功率损耗并求电阻 解 设内 外极板之间的总电流为 0 I 由对称性 可以得到极板间的电流密度为 J 2 r I e r E 2 4 r I e r 0 U a b Edr 11 4 I ab 从而 I 0 4 11 U ab J 0 2 11 r U e r ab 单位体积内功率损耗为 p 2 J 2 0 2 11 U r ab 总功率耗损为 P 2 4 b a pr dr 2 0 22 4 11 b a Udr r ab 2 0 4 11 U ab 由 P 2 0 U R 得 R 11 4 I ab 2 一个半径为 a 的导体球作为作为电极深埋地下 土壤的电导率为 略去地面的影响 求电极的接地电阻 解 当不考虑地面影响时 这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体 球的恒定电流问题 设导体球的电流为I 则任意点的电流密度为 J 2 4 r I e r E 2 4 r I e r 导体球面的电位为 去无穷远处为电位零点 U 2 4 a I dr 4 I a 接地电阻为 R U I 4 I a 3 如图 平板电容器间由两种媒质完全填充 厚度分别为1 d 和2 d 介电常数分别为1 和 2 电导率分别为1 和2 当外加电压 U0时 求分界面上的自由电荷面密度 解 设电容器极板之间的电流密度为 J 则 J 2211 EE 2 2 1 1 J E J E 于是 2 2 1 1 0 JdJd U 即 2 2 1 1 0 dd U J 分界面上的自由面电荷密度为 2 2 1 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 112212 dd U JEEDD nns 1 d 2 d 11 22 4 内 外导体半径分别为 a c 的同轴线 其间填充两种漏电媒质 电导率分别为 1 a r b 和 2 b r c 求单位长度的漏电电阻 解 设单位长度从内导体流向外导体的电流I 则电流密度为 J 2 r I e r 各区域的电场为 1 E 1 2 r I e r a r b 2 E 2 2 r I e r b r c 内 外导体间的电压为 0 U c a E dr A 1 2 b a Idr r 2 2 c b Idr r 1 2 I ln b a 2 2 I ln c b 因而 单位长度的漏电电阻为 R U I 1 2 I ln b a 2 2 I ln c b 5 一个半径为 10 cm 的半球形接地导体电极 电极平面与地面重合 如图 若土壤的电导 率为 0 01S m 求当电极通过的电流为 100A 时 土壤损耗的功率 解 半球形接地器的电导为 2 Ga 接地电阻为 aG R 2 11 土壤损耗的功率为 6 22 2 1059 1 1 001 0 2 100 2 a I RIP W 0 U 6 内 外半径分别为 a b 的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流I 求柱内 外的磁感应强度 解 使用圆柱坐标系 电流密度沿轴线方向为 J 22 0 0 I ba r a a r b b r 由电流的对称性 可以知道磁场只有圆周分量 用安培环路定律计算不同区域的磁场 当 r a 时 磁场为 0 当 a r b 时 选取安培回路为半径等于 r 且与导电圆柱的轴线同心 的圆 该回路包围的电流为 I 22 Jra 22 22 I ra ba 由 B dl A A 2 rB 0I 得 B 22 22 2 oI r a r ba 当 ra时 H 2 I e r 磁感应强度如下 ra 时 B 1 2 2 Ir e a r a时 B 2 2 I e r 为了计算磁化电流 要求磁化强度 ra 时 M e 1 2 0 1 2 Ir a m J M 1 2 0 1 z I e a r a时 M 2 0 1 2 I e r m J M 0 在 r a 的界面上计算磁化面电流时 可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的真空层 这样 其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流只和 即 ms J 11 Mn 22 Mn 这里的 1 n 和 2 n 分别是从磁介质到真空中的单位法向 如果去从介质 1 到介质 2 的单位法向 是 n 则有 ms J 1 Mn 一 2 Mn 代入界面两侧的磁化强度 并注意n r e 得 ms J 1 0 1 2 z I e a 1 0 1 2 z I e a 21 00 2 z I e a 11 空气绝缘的同轴线 内导体的半径为 a 外导体的半径为 b 通过的电流为 I 设外 导体壳的厚度很薄 因而其储蓄的能量可以忽略不计 计算同轴线单位长度的储能 并有 此求单位长度的自感 解 设内导体的电流均匀分布 用安培环路定律可求出磁场 r a时 H 2 2 Ir a a r b时 H 2 I r 单位长度的磁场能量为 m W 0 1 2 a 2 0 2Hrdr 2 0 1 2 2 b a Hrdr 2 0 16 I 2 0 ln 4 Ib a 故得单位长度的自感为 L 0 8 0 ln 2 b a 其中的第一项是内导体的内自感 12 一个长直导线和一个圆环 半径为a 在同一平面内 圆心与导线的距离是d 证 明它们之间互感为 22 0 addM 证明 设直导线位于 z 轴上 由其产生的磁场 cos 22 00 rd I x I B 其中各量的含义如图所示 磁通量为 rdrd rd I Bds a 0 2 0 0 cos 2 上式先对 积分 并用公式 22 2 0 2 cos ad ad d 得 22 0 022 0 addI rd rdr I a 所以互感为 22 0 addM 习题四习题四 1 在两导体平板 z 0 和 z d 之间的空气中传播的电磁波其电场强度矢量 0sin cos yx Ee Ed zwtk 其中 x k 为常数 试求 1 磁场强度矢量H 2 两导体表面上的面电流密度 s J 解 1 由麦克斯未方程组得 xyzy EeEzeExBt 对上式积分得 00 cos sin sin cos x xxzx EE k Bezwtk xezwtk x dwdwd 即 00 00 cos sin sin cos x xxxx EE k Hezwtk xezwtk x dwdwd 2 导体表面上得电流存在于两导体相向的一面 故在 z 0 表面上 法线n z e 面电流密度 0 0 0 sin zszyx E JeHewtk x wd 在 z 0 表面上 法线n z e 面电流密度 0 0 sin z dszyx E JeHewtk x wd 2 在理想导电壁 限定的区域 0 x 内存在一个如下的电磁场 sin sin 0 sin sin 0 cos cos 0 ax EHkzt ya ax HH kkzt xa x HHkzt z a I d r 这个电磁场满足的边界条件如何 导电壁上得电流密度的值如何 解 在边界 x 0 处有 n x e 0 0 cos 0 EHHHkzt yxx 所以 导电壁上的电流密度河电荷密度的值为 cos 0 0 0000 JnHH s Jn He Hkztn D yx ssx A 在 x 0 处电磁场满足的边界条件为 cos 0 0 0 0 n He Hkzt n E y n Bn D AA 同理 在xa n ex 有 cos 0 0 cos 0 0 0 0 Jn Hee He Hkztn D zzsaxysa x a x ax a n He Hkzt n En Bn D y A 3 一段由理想导体构成的同轴线 内导体半径为a 外导体半径为b 长度为L 同轴 线两端用理想导体板短路 已知在 Lzbra 0 区域内的电磁场为 kz r B eHkz r A eE rcos sin 1 确定 BA 之间的关系 2 确定k 3 求 ar 及 br 面上的 s s J 解 由题意可知 电磁场在同轴线内形成驻波状态 1 BA 之间的关系 因为 Hjkz r Ak e z E eE r cos 所以 k j B A 2 因为 Ejkz r Bk e r rH e z rH e r H rzr sin 1 所以 j k B A j k k j k 3 因为是理想导体构成的同轴线 所以边界条件为 s JHn s Dn 在 ar 的导体面上 法线 r en 所以 kz a B ekz r B eHnJ zarzarSa coscos kz a A kz r A Dn ararSa sinsin 在 br 的导体面上 法线 r en 所以 kz b B ekz r B eHnJ zbrzbrSb coscos kz b A kz r A Dn brbrSb sinsin 4 已知真空中电场强度 sin cos 0000 ctzkEectzkEeE yx 式中 ck 00 2 试求 1 磁场强度和坡印廷矢量的瞬时值 2 对于给定的 z 值 例如 z 0 试确定 E随时间变化的轨迹 3 磁场能量密度 电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值 解 1 由麦克斯韦方程可得 z E e z E eE x y y x t H ctzkkEectzkkEe yx 0000000 sin cos 对上式积分 得磁场强度瞬时值为 cos sin 0 0 0 0 0 0 ctzk c E ectzk c E eH yx 故坡印廷矢量的瞬时值 c E eHES z 0 2 0 2 因为 E的模和幅角分别为 0 22 EEEE yx cos sin tan 0 00 00 ctzk ctzkE ctzkE 所以 E随时间变化的轨迹是圆 3 磁场能量密度 电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值分别为 Re 4 1 DE eav 4 1 2 0000 2 00 0 0 0 0 zkj y zjk x zkj y zjk x eEeeEeeEeeEe 2 00 2 1 E 2 00 2 1 E mav c E eHES z av 0 2 0 2 2 1 Re 习题五习题五 1 电磁波在真空中传播 其电场强度矢量的复数表达式为 10 204 mVeejetE zj yx 试求 1 工作频率 f 2 磁场强度矢量的复数表达式 3 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值 解 1 由题意可得 9 00 106 20 c k 所以工作频率 Hzf 9 103 2 磁场强度矢量的复数表达式为 10 11 204 0 mAeejeEeH zj xyy 其中波阻抗 120 0 3 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值 电磁波的瞬时值为 20cos 10 Re 4 ztejeeEtE yx tj V m 20cos 10 1 Re 4 0 ztejeeHtH xy tj A m 所以 坡印廷矢量的瞬时值 0 20 cos10 1 28 0 xyxx ejeejezttHtEtS W 2 m 同理可得坡印廷矢量的时间平均值 0 2 1 Re HESav W 2 m 2 理想介质中 有一均匀平面电场波沿 z 方向传播 其频率 srad 102 9 当 0 t 时 在 0 z 处 电场强度的振幅 mmVE 2 0 介质的 1 4 rr 求当 st 1 时 在 z 62m 处的电场强度矢量 磁场强度矢量和坡印廷矢量 解 根据题意 设均匀平面电场为 cos 0kztEetE x mmV 式中 3 40 102 9 ksrad 所以 3 40 102cos 2 9 ztetE x mmV 当 st 1 z 62m 时 电场强度矢量 磁场强度矢量和坡印廷矢量为 x eE mmV 3 40 102cos 4 9 0 ztetH y mmA 故此时 y eH 0 2 mmA 60 1 z eHES 2 mmA 3 已知空气中一均匀平面电磁波的磁场强度复矢量为 H 43 2 64 jxz zyz A m eee e 试求 1 波长 转播方向单位矢量及转播方向与 z 轴的夹角 2 常数 A 3 电场强度复矢量 解 1 波长 转播方向与 z 轴的夹角分别为 22 2 4 3 5 0 4 xz Km k kk 43 0 80 6 xz kxz k ee eee cos 0 6 z 故 53o z 2 因为 0H A 所以 z H H x A y H y z H z 4 120jAj 解之得 A 3 3 电场强度矢量 0k EHe 43 0 32 64 0 80 6 jxz xyzxz eeeeee 43 0 68 656 55 jxz xyz eee eV m 4 设无界理想媒质 有电场强度复矢量 jkz z jkz z eEeEeEeE 022011 1 21 E E 是否满足 0 22 EkE 2 由21 E E 求磁场强度复矢量 并说明21 E E 是否表示电磁波 解 采用直角坐标系 1 考虑到 1 2 01 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 Ek eEek E zyx eE zyx eE zyx eE jkz z zzyyxx 于是 0 1 2 1 2 EkE 同理 可得 0 1 2 2 2 EkE 2 根据题意知 0 1 0 1 2 0 21 0 1 EeHEeH zz 所以2121 0 0EESS 所形成的场在空间均无能量传播 即21 E E 均不能表示电磁波 5 假设真空中一均匀平面电磁波的电场强度复矢量为 223 6 3 2 jxyz xy Eee eV m 1 电场强度的振幅 波矢量和波长 2 电场强度矢量和磁场强度矢量的瞬时表达式 解 1 依题意知 电场强度的振幅 22 000 3 3 xy EEEV m 而 222 2 xyz kkkk 所以波矢量 x kke 其中 223 333 kxyx eeee 从而 2 4m k 2 电场强度的瞬时表达式为 Re3 2 cos 223 6 j t xy E tEeeetxyzV m 磁场强度矢量的瞬时表达式为 0 11 633 cos 223 6 kxyz H teE teeetxyzA m A 6 为了抑制无线电干扰室内电子设备 通常采用厚度为 5 个趋肤深度的一层铜皮 mS 108 5 7 0 0 包裹该室 若要求屏蔽的频率是 10kHz 100MHz 铜皮的厚度应是多少 解 因为工作频率越高 趋肤深度越小 故铜皮的最小厚度应不低于屏蔽 10kHz 时所对应 的厚度 因为趋肤深度 m f 00066 0 12 1 所以 铜皮的最小厚度为 mh0033 0 5 7 如果要求电子仪器的铝外壳 1 1054 3 7 r mS 至少为 5 个趋肤深度 为 防止 20kHz 200MHz 的无线电干扰 铝外壳应取多厚 解 因为工作频率越高 趋肤深度越小 故铝壳的最小厚度应不低于屏蔽 20kHz 时所 对应的厚度 m f 000598 0 12 1 0 因为铝壳为 5 个趋肤深度 故铝壳的厚度应为 mh003 0 5 0 7 已知平面波的电场强度 34 32 4 28 1 mVeeejeE zyj zyx 试确定其传播方向和极化状态 是否横电磁波 解 传播方向上的单位矢量为 zy zy zzyy x ee kk ekek e 5 4 5 3 22 0 Eek 即 E 的所有分量均与其传播方向垂直 所以此波为横电磁波 改写电场为 rej y j x reej zy j x k zy eeeeeeeeeE 3 2 3 arctan 5 4 5 3 3 2 3 arctan 513 5 3 5 4 513 显然 yx ee 均与 k e 垂直 此外 在上式中两个分量的振幅并不相等 所以为右旋椭圆极化 波 9 假设真空中一平面电磁波的波矢量 yx eek 22 其电场强度的振幅 mVEm 33 极化于 z 轴方向 试求 1 电场强度的瞬时表达式 2 对应的磁场强度矢量 解 1 电场强度的瞬时表达式为 22 cos 33 yxtetrE z V m 其中 sradkc 10 2 3 8 2 对应的磁场强度矢量为 1 1 00 tEetE k k tH k 22 cos 2 3 40yxtee xy A m 10 真空中一平面电磁波的电场强度矢量为 zj yx eejeE 2 2 V m 1 此电磁波是何种极化 旋向如何 2 写出对应的磁场强度矢量 解 此电磁波的 x 分量的相位滞后 y 分量的相位 且两分量的振幅相等 故此波为左旋面 极化波 其对应的磁场强度矢量为 21 2 00 mAeejeEeH zj xyz 习题六习题六 1 距离电偶极子多远的地方 其电磁场公式中与r成反比的项等于与 2 r成反比的项 解 电偶极子产生的电磁场中与r成反比的项 以电场为例 为 kr jIdlk e 4 sin 3 与 2 r成反比的项为 2 3 1 4 sin kr Idlk e 所以 159 0 2 1 k r 2 假设一电偶极子在垂直于它的方向上距离 100km 处所产生的电磁强度的振幅等于 100 mV 试求电偶极子所辐射的功率 解 由 E 的表达式知 电偶极子的远区辐射场的电场强度振幅为 sin 2 0 0r dlI E m m 又根据r P 的表达式 有 2 0 40 rm PdlI 因此 10 1 3sin 2 m r Er P 代入具体数值得 1 1 9 10 r P W 3 计算一长度等于 0 1 的电偶极子的辐射电阻 解 根据式 2 0 2 80 Idl Rr 知电偶极子的辐射电阻为 8957 7 1 0 8080 2 0 02 2 0 2 Idl Rr 4 已知某天线的辐射功率为 100 W 方向性系数为 D 3 求 1 kmr10 处 最大辐射方向上的电场强度振幅 2 若保持辐射功率不变 要使 kmr20 处的场强等于原来 kmr10 处的场强 应选 取方向性系数 D 等于多少的天线 解 1 最大辐射方向上的电场强度振幅为 r DP EE r m 60 代入具体数值得 mVEm 1034 1 2 2 符合题意的方向性系数为 2 2 1 1 6060 r PD r PD rr 代入具体数值得 12 2 D 5 两个半波振子天线平行放置 相距 2 若要求它们的最大辐射方向在偏离天线阵 轴线 60 的方向上 问两个半波振子天线馈电电流相位差应为多少 解 当两个半波振子天线馈电电流相位差 满足条件 kd m cos 时 由它们组成的天线阵的最大辐射方向 m 取决于相邻阵元之间的电流相位差 因此 2 60cos 2 2 cos m kd 习题七习题七 1 什么叫截止波长 为什么只要 c 的波才能在波导中传输 答 导行波系统中 对于不同频率的电磁波有两种工作状态 传输与截止 介于传输与 截止之间的临界状态 即由 0 所确定的状态 该状态所确定的频率称为截止频率 该 频率所对应的波长称为截止波长 由于只有在 0 2 时才能存在导行波 则由 0 2 2 2 kkc 可知 此时应有 2 2 kkc 即 2 c 所以 只有 c ff 或 c 的电磁波才能在波导中传输 2 何谓工作波长 截止波长和波导波长 它们有何区别和联系 解 工作波长就是 TEM 波的相波长 它由频率和光速所确定 即 rr f c 0 光 式中 0 称为自由空间的工作波长 且 f c光 0 截止波长是由截止频率所确定的波长 且 rc c f c 波导波长是理想导波系统中的相波长 即导波系统内电磁波的相位改变 2 所经过的距离 波导波长与

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