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第十三章动能定理 动力学 13 1力的功 时 正功 时 功为零 时 负功 一 恒力的功 单位 焦耳 J 1J 1N 1m 力的功是代数量 二 变力的功 元功 在直角坐标系中 知 动力学 三 合力的功 即在任一路程上 合力的功等于各分力功的代数和 1 重力的功 对于质点系 重力作功为 故质点系重力的功 等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积 而与各质点的运动路径无关 动力学 取z轴铅垂向上 则 四 几种常见力的功 设弹簧原长为l0 在弹性极限内 弹簧的刚度系数为k 使弹簧发生单位变形所需的力 单位 N m 变形后长为r 沿矢径的单位矢量为 故弹性力的功只与弹簧在始末位置的变形有关 与力作用点的路径无关 动力学 2 弹性力的功 则 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功 若Mz 常量 则 动力学 如果刚体上作用的是力偶 则力偶所作的功仍可用上式计算 其中Mz为力偶对z轴的矩 设刚体绕z轴转动 在其上M点作用有力F 则 3 定轴转动刚体上作用力的功 其中Ft为力F在作用点M处的轨迹切线上的投影 于是力F在刚体从角 1转到角 2过程中作的功为 平面运动刚体上力系的功 等于力系向质心简化所得的力 主矢 与力偶 主矩 作功之和 动力学 4 平面运动刚体上力系的功 首先可以证明 刚体上力系的全部力所作的元功之和为 则刚体质心C由C1移到C2 同时刚体又由角 1转到角 2时 力系所作的功为 注意 以上结论也适用于作一般运动的刚体 基点也可以是刚体上任意一点 不一定取在质心 动力学 例1 质量为m 10kg的物体 放在倾角为a 30 的斜面上 用刚度系数为k 100N m的弹簧系住 如图示 斜面与物体间的动摩擦系数为f 0 2 试求物体由弹簧原长位置M0沿斜面运动到M1时 作用于物体上的各力在路程s 0 5m上的功及合力的功 动力学 解 我们取物体M为研究对象 作用于M上的力有重力mg 斜面法向反力FN 斜面摩擦力F 和弹簧力F 各力所作的功为 合力的功为 对任一质点系 若记vir为第i个质点相对质心的速度 则可证明有 13 2质点和质点系的动能 动力学 动能是一个瞬时的 与速度方向无关的正标量 具有与功相同的量纲 单位也是焦耳 J 称为柯尼希定理 物体的动能是由于物体运动而具有的能量 是机械运动强弱的又一种度量 一 质点的动能 二 质点系的动能 记刚体平面运动某瞬时的速度瞬心为P 质心为C 则 3 平面运动刚体 动力学 三 刚体的动能 1 平动刚体 2 定轴转动刚体 即平面运动刚体的动能 等于随质心平动的动能与绕质心轴转动的动能之和 动力学 例2 滚子A的质量为m 沿倾角为a的斜面作纯滚动 滚子借绳子跨过滑轮B连接质量为m1的物体 如图所示 滚子与滑轮质量相等 半径相同 皆为均质圆盘 此瞬时物体速度为v 绳不可伸长 质量不计 求系统的动能 动力学 解 取滚子A 滑轮B 重物作为研究对象 其中重物作平动 滑轮作定轴转动 滚子作平面运动 系统的动能为 根据运动学关系 有 代入上式得 动力学 例3 均质细长杆长为l 质量为m 与水平面夹角为a 30 已知端点B的瞬时速度为vB 如图所示 求杆AB的动能 则杆的动能为 解 滑杆作平面运动 其速度瞬心为P 角速度w为 质心速度为 13 3动能定理 1 质点的动能定理 因此 此即质点动能定理的微分形式 此即质点动能定理的积分形式 动力学 两边同时点乘 有 由牛顿第二定律有 注意到 此即质点系动能定理的微分形式 对质点系中的任一质点i 此即质点系动能定理的积分形式 动力学 对质点系 有 2 质点系的动能定理 即 上式表明 质点系在某段运动过程中动能的增量 等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和 1 光滑固定面 2 固定铰支座 活动铰支座和向心轴承 固定端 3 刚体沿固定面纯滚动 不计滚动摩阻 5 不可伸长的绳索 刚性二力杆 不计质量 动力学 绳拉紧时 内部拉力的元功之和恒等于零 3 理想约束及内力作功 理想约束 约束力作功为零的约束 4 光滑铰链 中间铰 下面考察质点系内力的功 由上可知 刚体所有内力作功之和等于零 动力学 注意 一般情况下 应用动能定理时要计入摩擦力作的功 若A B两点间距离保持不变 则 总之 应用动能定理时 要仔细分析质点系所有的作用力并确定其是否作功 应用动能定理的解题步骤 见第六版教材P297 298 动力学 例4 曲柄连杆机构如图示 已知曲柄OA r 连杆AB 4r C为连杆之质心 在曲柄上作用一不变转矩M 曲柄和连杆皆为均质杆 质量分别为m1 m2 曲柄开始时静止且在水平向右位置 不计滑块的质量和各处的摩擦 求曲柄转过一周时的角速度w1 动力学 解 取曲柄连杆机构为研究对象 初始时系统静止 T1 0 曲柄转过一周 重力的功为零 转矩的功为2 M 代入动能定理 有 由于 则 解得 曲柄转过一周后 连杆速度瞬心在B点 其速度分布如图b 所示 系统的动能为 例5 图示系统中 均质圆盘A B各重P 半径均为R 两盘中心线为水平线 盘A上作用矩为M 常量 的一力偶 重物D重Q 求下落距离h时重物的速度v与加速度a 绳重不计 绳不可伸长 盘B作纯滚动 初始时系统静止 动力学 解 取系统为研究对象 式求导得 动力学 由动能定理 解得 例6 图示均质杆OA的质量为30kg 杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态 设弹簧常数k 3kN m 为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA 在铅直位置时的角速度w0至少应为多大 解 取杆OA为研究对象 则全部力所作的功为 由动能定理 动力学 例7 如图行星齿轮传动机构放在水平面内 动齿轮半径r 重P 可视为均质圆盘 曲柄重Q 长为l 作用一矩为M 常量 的力偶 曲柄由静止开始转动 求曲柄的角速度w 以转角 的函数表示 和角加速度e 动力学 解 取整个系统为研究对象 根据动能定理 得 将 式对t求导数 得 例8 两根匀质直杆组成的机构及尺寸如图 OA杆质量是AB杆质量的两倍 各处摩擦不计 如机构在图示位置从静止释放 求当OA杆转到铅垂位置时 AB杆B端的速度v 动力学 解 取整个系统为研究对象 则全部力所作的功为 根据动能定理 得 例9 匀质圆盘A m r 滑块B m 杆AB 质量不计 平行于斜面 斜面倾角 摩擦系数f 圆盘作纯滚动 系统初始静止 求 滑块的加速度 动力学 解 选系统为研究对象 当下滑S时 运动学关系 由动能定理有 将上式两边对t求导 得 13 4功率 功率方程 机械效率 力在单位时间内所作的功称功率 它是衡量机器工作能力的一个重要指标 功率是代数量 并有瞬时性 作用在定轴转动刚体上的力的功率为 功率的单位 瓦特 W 或千瓦 kW 1W 1J s 动力学 一 功率 注意到 则 知质点系动能定理的微分形式为 动力学 首先定义机器的有效功率 表明了机器对输入功率的有效利用程度 是评定机器质量优劣的重要指标之一 一般情况下 二 功率方程 上式称为功率方程 即质点系动能对时间的一阶导数 等于作用于质点系的所有力的功率的代数和 对一部机器 三 机械效率 则机械效率 两边同除以dt 得 故 13 5势力场 势能 机械能守恒定律 1 力场 若一质点在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用 则此空间称为力场 动力学 在势力场中质点受到的场力称为有势力 或保守力 如重力 弹力 万有引力等 2 势力场 如果质点在力场中运动 作用于质点的场力所作的功只决定于质点的初始和终了位置 而与运动路径无关 这种力场称为势力场 一 势力场 例 重力场 弹性力场 万有引力场都是势力场 在势力场中 任选一点M0令其势能为零 称为零势能点 则质点从点M运动到点M0过程中有势力所作的功称为质点在点M的势能 用V表示 即 显然 势能只取决于质点所在的位置M和零势能点M0的选取 势能具有相对性 动力学 二 势能 下面计算几种常见的势能 1 重力势能 质点 质点系 z0 零势能点的z坐标 zC0 质点系零势能位置质心的z坐标 如取 则 可以证明 万有引力场为势力场 若取A0为零势能点 其与质量为m2的引力中心O相距r0 可推得质点m1的引力势能为 2 弹簧的弹性势能 式中f为引力常数 动力学 3 万有引力场中的势能 引力势能 记d0为零势能点处弹簧的变形量 则 若取弹簧的自然位置为零势能点 则 注意 若质点系受到多个有势力作用 则各有势力可有各自的零势能点 对于重力 弹力系统 若均以静力平衡位置为零势能点 则总势能表达式一般较简洁 见教材P306例子 见第七版教材P305 设质点系运动过程中只有有势力作功 则利用动能定理 有势力的功 有 此即机械能守恒定律 这样的系统称为保守系统 对非保守系统 设非保守力的功为W12 则由动能定理有 动力学 机械能 质点系在某瞬时的动能T与势能V的总和 即有势力的功等于质点 系 在运动的始末位置的势能差 M1处势能 M2处势能 质点从M1 M2有势力所作的功 三 有势力的功 四 机械能守恒定律 注意 解 知杆水平方向不受外力 且初始静止 故质心C铅垂下降 由于约束反力不作功 主动力为有势力 因此可用机械能守恒定律求解 由机械能守恒定律有 代入上式 化简后得 动力学 初瞬时 任一瞬时 例10 长为l 质量为m的匀质直杆 初瞬时直立于光滑桌面上 当杆无初速度地倾倒后 求质心C的速度 用杆的倾角 和质心的位置y表达 13 6动力学普遍定理的综合应用举例 动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理 动量矩定理和动能定理 动量定理和动量矩定理是矢量形式 动能定理是标量形式 它们都用于研究机械运动 而动能定理还可以用于研究机械运动与其它运动形式有能量转化的问题 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法 动力学普遍定理的综合应用 大体上包括两方面含义 一是能根据问题的已知条件和待求量 选择适当的定理求解 包括各种守恒情况的判断 相应守恒定理的应用 避开那些无关的未知量 直接得需求的结果 二是对比较复杂的问题 能根据需要选用两 三个定理联合求解 求解过程中 要正确进行运动分析 提供正确的运动学补充方程 动力学 例11 两匀质杆AC和BC各重为F 长为l 在C处光滑铰接 置于光滑水平面上 设两杆轴线始终在铅垂面内 初始静止 C点高度为h 求铰C到达地面时的速度 动力学 下面举例说明动力学普遍定理的综合应用 注意 应用动量定理 动量矩定理只需考虑质点系所受外力 而应用动能定理时要具体分析内力 约束力所作的功 动力学 且初始静止 故水平方向质心位置守恒 代入动能定理 解 由于不求系统内力 杆可以不拆开 研究对象 整体 分析受力 讨论 本例题为 动量守恒定理 动能定理 联合求解 计算动能时 要利用刚体平面运动的运动学关系 例12 重G1 60N 长度l 24cm的匀质直杆AB与重G2 150N的匀质圆盘在B处用铰链连接 系统由图示位置无初速地释放 求系统经过最低位置时B 点的速度及支座A的约束反力 解 1 取圆盘为研究对象 作受力图 故圆盘作平动 动力学 由相对质心的动量矩定理有 最低位置时 代入数据G1 60N G2 150N l 24cm 得 动力学 2 用动能定理求B 点的速度 取系统为研究对象 初始时 T1 0 3 用动量矩定理求杆的角加速度 最低位置处由于 则 0 动力学 盘质心B 加速度 4 由质心运动定理求支座反力 代入G1 60N G2 150N l 24cm 得 杆质心C加速度 研究整个系统 其中 在任意位置 动力学 例13 基本量 动量 动量矩 动能 的计算 动力学 例14 提升机构如图所示 已知鼓轮的半径为r 重为W1 可绕轴心O转动 转动惯量为JO 若在轮上加一常力偶矩M 使鼓轮上卷绕的绳子吊起一重为W2的物体 物体自静止开始上升 略去绳重和各处摩擦 求重物上升的加速度a以及轴承O的约束反力 解 本题是已知主动力求系统的运动及约束反力的问题 需综合应用动力学普遍定理 可先利用动能定理求重物的加速度 研究整体 假设鼓轮绕转轴O转过角度为j 系统动能为 动力学 于是重物上升时的加速度为 全部力所作的功为 根据动能定理 有 两边对时间t求导 得角加速度 动力学 再利用动量定理求支座反力 所有外力在y方向的代数和为 根据动量定理 有 解得 把上面已求得的加速度代入 得 研究整体 作受力图 系统y方向总动量为 例15 质量为m的杆置于两个半径为r 质量为0 5m的实心圆柱上 圆柱放在水平面上 当杆上加水平力P时 求杆的加速度 设接触处都有摩擦 而无相对滑动