4.5常见曲面的参数方程

4 5 常见曲面的参数方程常见曲面的参数方程 本节重点 掌握空间中的三种坐标系 直角坐标系 球坐标系 柱坐标系 本节重点 掌握空间中的三种坐标系 直角坐标系 球坐标系 柱坐标系 掌握旋转曲面的参数方程的建立 掌握旋转曲面的参数方程的建立 掌握直纹面的参数方程 掌握直纹面的参数方程 本节难点 旋转曲面的参数方程 直纹面的参数方程 本节难点 旋转曲面的参数方程 直纹面的参数方程 在第二章中 我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念 并给出简单曲面与曲 线的参数表示 例如球面与圆柱螺旋线 直线的参数方程 现在再介绍旋转曲面 直纹面 的参数方程 同时给出空间中另外两种坐标系 球坐标系与柱坐标系 一 旋转曲面的参数方程 球坐标与柱坐标 一 旋转曲面的参数方程 球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为轴 母线的参数方程是Z btathZtgYtfX 则此旋转曲面可由上每一点生成的纬圆所构成的 由于这纬圆上动点与它在 ZYXP 坐标面上的投影具有相同的坐标 所以上任一点生成的纬XOY PYX 1111 ZYXP 圆的参数方程是 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin cos ZZ YXY YXX 20 其中是纬圆半径 即到轴的距离 而参数是轴到的转角 设 2 1 2 1 YX 1 PZ X 1 OP 对应的参数是 则 1 P 1 t 11 2 1 2 1 2 1 2 1 thZtgtfYX 再让在其取值范围内变动 即得这旋转曲面的参数方程 1 t 4 5 1 sin cos 22 22 thZ tgtfY tgtfX 20 bta 特别地 当母线为坐标面上的径线PXOZ 0 thZYtfX 时 4 5 1 成为 4 5 2 sin cos thZ tfY tfX 20 bta 例 例 如图 以原点为中心 为半径的球面可看作是由坐标面上的半圆 aXOZr 绕轴旋转所生成的 由 sin0cosaZYaX 22 Z 4 5 2 得其参数方程为 4 5 3 sin sincos coscos aZ aY aX 20 22 t 它与 2 1 中的球面参数方程的形式是相同的 4 5 3 中的参数分别叫做经度与纬度 序对叫做地理坐标 显然 除两极外 球 面上的点与序对一一对应 这种利用曲面参数方程中的两个参数来表示 ZYXP 曲面上的点的坐标叫做曲纹坐标 它对于曲面理论的进一步研究有着重要的作用 利用球面的这种曲纹坐标还可以引入空间的另一种坐标系 设为空间任意一点 它P 到原点的距离为 过作以原点为中心 以为半径的球面 则在这球面上具有地理rPrP 坐标 可令点 P 对应有序数组 反之 由非负实数可确定所在的球面 rrP 再由在这球面上确定点 空间中点的这种坐标叫做球坐标 显然 轴上点的球 PZ 坐标可取任意值 把 4 5 3 中的常数换为变数 就成为球坐标与直角坐标的变换式 即ar 4 5 4 sin sincos coscos rZ rY rX 22 20 0 t r 反之 有 4 5 5 222 2222 222 arcsin sincos ZYX Z YX X YX X ZYXr 当时 0 于是 对坐标面上的点 只需序对即可确定 这里0 Z XOY r 不是别的 正是大家熟知的极坐标 这时原点是极点 轴是极轴 因此 球坐标 rX 可以看作是平面极坐标在空间中的一种推广 例 例 如图 4 17 以轴为对称轴 半径为的圆柱面可看作是由坐标面上的ZaXOZ 直线 tZYaX 0 图图 4 17 绕轴旋转所生成的 由 4 5 2 得其参数方程为Z 4 5 6 tZ aY aX sin cos t 20 利用参数可得圆柱面上的一种曲纹坐标 从而我们可引入空间的又一种坐标t t 系 设为空间任意一点 它到轴的距离为 过作以轴为轴 半径为 r 的圆柱面 PZrPZ 则在这圆柱面上具有曲纹坐标 可令对应有序数组 反之 由非负实数Pt P tr 可确定所在的圆柱面 再由在这圆柱面上确定点 空间中点的这种坐标叫做rP t P 柱坐标 与球坐标一样 轴上点的柱坐标可取任意值 Z 把 4 5 6 中的常数换为变数 即得柱坐标与直角坐标间的关系式ar 4 5 7 tZ rY rX sin cos t r 20 0 反之 有 4 5 8 Zt YX X YX X YXr 2222 22 sincos 当时 从而面上的点也只需即可确定 所以柱坐标也是平面极0 Z0 tXOY r 坐标在空间中的另一种推广 像广义极坐标一样 柱坐标也可以推广到负值情形 r 在一个坐标系下 若让一个坐标固定而其它坐标变化 则所得轨迹叫做坐标曲面 若 一个坐标变化而其它坐标固定 则所得轨迹叫做坐标曲线 例如在柱坐标系下 坐标曲面 常数 是以轴为轴 半径等于的圆柱 0 rr Z 0 r 面 坐标曲面 常数 是过轴的平面 若限定 则轨迹为半平面 0 Z0 r 常数 是平行于面的平面 显然 坐标曲线可看作是两个不同类的坐标 0 ZZ XOY 曲面的交线 如坐标曲线 叫做线 是圆柱面与面的平行 0 rr 0 ZZ 0 rr XOY 面的交线 因而是位于平面上 中心在轴 半径为的圆 0 ZZ 0 ZZ Z 0 r 我们已经看到 用球坐标或柱坐标表示曲面或曲线 有时是比较简单明了的 但要注 意 在不同坐标系下 同一方程可能表示不同的图形 例如方程 在球坐标系下表 0 rr 示的是球面 而在柱坐标系下表示的却是圆柱面 2 0 222 rZYX 2 0 22 rYX 二 直纹面的参数方程 二 直纹面的参数方程 因为直纹面的母线是直线 所以其参数方程为 nVZ mVY lVX 其中是这直线上点的参数 只因为直纹面是一族单参数直线构成的 族中母线是随着一V 个参数而变动的 即均为的函数 所以这直母线族方程可以写成Unml U 4 5 9 VUnUZ VUmUY VUlUX 其中为族的参数 一个值对应族中一条直母线 当曲面看作是运点轨迹时 就是由所UU 有母线上的点构成的 故 4 5 9 即为它的方程 令是 得直纹面上一曲线 它与所有的母线都0 V UZUYUX 有公共点 可称为直纹面的导线 特别地 当分别为常数 即母线互相平行 时 直纹面 4 5 9 为 UnUmUlnml 柱面 4 5 10 nVUZ mVUY lVUX 而当分别为常数 即导线只含一点 时 直纹面 4 5 9 为锥面 UUU 4 5 11 nVZ mVY lVX 平面可以看作以直线为导线的柱面 设一个平面通过定点平行于两个 0000 ZYXP 不共线向量 我们以为方向向量 过引一直线 222111 ba a 0 P 为导线 以为母线的共同的方向向量 则由UZUYUX 101010 b 4 5 10 得到平面的参数方程 4 5 12 VUXX VUYY VUXX 210 210 210 例 例 求以直线 为导线 母线平行于直线01 ZYX03 YX 的柱面的参数方程 ZYX 解 解 将导线方程改写成 03 01 并取为参数 得导线的参数方程为 UU 2 1 2 1 再将它和一同代入 3 5 10 使得所求柱面的参数方程为1 1 1 nml VUZ VUY VX 2 1 2 1 显然 这柱面是个平面 习题习题 4 求下列曲线按指定轴旋转生成的曲面的参数方程 1 绕 Z 轴旋转 0 cos sin4 sin3 tttZtYtX 2 绕轴旋转 tZtYtX3 2 X 已知径线的参数方程与旋转轴 写出旋转曲面的参数方程 1 绕轴旋转1 0 2 tZYtXZ 2 绕轴旋转 0 sin ZtYtXX 一锥面以为顶点 以椭圆为导线 试求其参数方 3 0 0 1 1 1625 22 Z YX 程 利用直母线的方程 求单叶双曲面