第四章--图形的相似(知识点)

1 第四章第四章 图形的相似图形的相似 一 成比例线段一 成比例线段 1 1 线段的比线段的比 1 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB CD 的长度分别是 m n 那么就说这两条线 段的比 AB CD m n 或写成 n m B A 2 2 成比例线段及比例的性质 成比例线段及比例的性质 1 成比例线段 成比例线段 四条线段 a b c d 中 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 即 d c b a 那么这四条线段 a b c d 叫做成比例线段 简称比例线段 注意点注意点 a b k 说明 a 是 b 的 k 倍 由于线段 a b 的长度都是正数 所以 k 是正数 比与所选线段的长度单位无关 求出时两条线段的长度单位要一致 2 比例的基本性质比例的基本性质 若 则 ad bc 若 ad bc 则 d c b a d b c a d c b a 或 合比合比性质性质 如果如果 那么 d c b a d dc b ba 等比性质 如果等比性质 如果 那么 那么 n m d c b a 0 ndb ndb mca b a 注意 注意 若没有 b d n 0 这个条件 需分类讨论 二二 平行线分线段成比例平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 如图 1 则 1 l 2 l 3 l EF BC DE AB 推广 过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例 定理推论 定理推论 平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得对应线段成比例 平行于三角形一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形的 三边对应成比例 三三 黄金分割黄金分割 如图 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 如果 那么称线段 AB 被点 C 黄金分 AC BC AB AC 割 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AC 与 AB 的比叫做黄金比 一条线段有两个黄金分割 点 0 618 1 2 15 ABAC ABBC 2 53 2 四 相似多边形四 相似多边形 一般地 形状相同的图形称为相似图形 1 概念 对应角相等 对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比 叫做相似比 2 性质 相似多边形的对应角相等 对应边成比例 周长等于相似比 面积比等于相似比 的平方 3 判定 对应角相等 对应边成比例的两个多边形相似 两个条件缺一不可两个条件缺一不可 五 三角形的相似 五 三角形的相似 不需分类讨论 相似 需分类讨论 1 1 探索三角形相似的条件探索三角形相似的条件 相似三角形的判定方法 一般三角形直角三角形 基本定理 平行于三角形的一边且和其他两边 或两边的延长线 相交的直线 所 截得的三角形与原三角形相似 两角对应相等 两边对应成比例 且夹角相等 三边对应成比例 一个锐角对应相等 两条边对应成比例 a 两直角边对应成比例 b 斜边和一直角边对应成比例 2 2 相似三角形的判定定理的证明相似三角形的判定定理的证明 3 3 利用相似三角形测高 利用相似三角形测高 3 3 种方法 种方法 1 利用太阳光线平行 运用方法 1 可以把太阳光近似地看成平行光线 计算时还要用到观测者的身高 2 利用标杆 运用方法 2 观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端 三点共线 标杆与地面要垂 直 在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度 3 利用反射 3 运用方法 3 光线的入射角等于反射角 4 相似三角形的性质相似三角形的性质 1 对应角相等 对应边成比例的三角形叫做相似三角形 相似三角形对应边的比叫做相 似比 2 全等三角形是相似三角的特例 这时相似比等于 1 注意注意 证两个相似三角形 与证两 个全等三角形一样 应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 3 性质 相似三角形对应角相等 对应边成比例 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 5 5 图形的位似 图形的位似 位似图形的概念 位似图形的概念 如果两个图形不仅相似 而且每组对应点的连线交于一点 对应边互相平行或在一条直线上 那 么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时两个相似图形的相似比又叫做 它们的位似比 位似图形的性质 位似图形的性质 1 位似图形是相似图形 具备相似图形的所有性质 2 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3 位似图形中的对应线段平行 或在一条直线上 位似图形的画法 位似图形的画法 1 画出基本图形 2 选取位似中心 3 根据条件确定对应点 并描出对应点 4 顺次连结各对应点 所成的图形就是所求的图形 例题 例题 如图 已知 ABC 和点 O 以 O 为位似中心 求作 ABC 的位似图形 并把 ABC 的边 长扩大到原来的两倍 注意 注意 给出基本图形和位似中心 可以做两个图形与原图形位似 分别在位似中心同侧和 异侧各有一个 在具体的题中需根据实际情况作图 位似变换与坐标位似变换与坐标 在平面直角坐标系中 如果位似变换是以原点为位似中心 相似比为 k 那么位似图形对 应点的坐标的比等于 k 或 k 例如 例如 点 A x y 的对应点为 A 则 A 点的坐标可以这样确定 xA xA k yA yA k 即 A kx ky 或 xA xA k yA yA k 即 A kx ky 例题 例题 在平面直角坐标系中 四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A 6 6 B 8 2 C 4 4 0 D 2 4 画出它的一个以原点 O 为位似中心 相似比为的位似图形 2 1 题 题 ABC 三个顶点坐标分别为 A 2 3 B 2 1 C 6 2 以点 O 为位似中心 相似比为 2 将 ABC 放大 点 A 的对应点 A 的坐标为 总结 总结 至此 我们学过的图形变换有 平移 轴对称 旋转 位似平移 轴对称 旋转 位似 1 1 平移 平移 上下移 横坐标不变 纵坐标随之平移 左右移 纵坐标不变 横坐标随之平移 2 2 轴对称 轴对称 关于