椭圆经典练习题两套(带答案)

椭圆练习题椭圆练习题 1 1 A 组 基础过关 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2012 厦门模拟 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍 则椭圆的离心率等于 2 A B C D 1 2 2 22 3 2 解析 由题意得 2a 2b a b 又 a2 b2 c2 b c a c e 222 2 2 答案 B 2 2012 长沙调研 中心在原点 焦点在 x 轴上 若长轴长为 18 且两个焦点 恰好将长轴三等分 则此椭圆的方程是 A 1 B 1 C 1 D 1 x2 81 y2 72 x2 81 y2 9 x2 81 y2 45 x2 81 y2 36 解析 依题意知 2a 18 a 9 2c 2a c 3 1 3 b2 a2 c2 81 9 72 椭圆方程为 1 x2 81 y2 72 答案 A 3 2012 长春模拟 椭圆 x2 4y2 1 的离心率为 A B C D 3 2 3 4 2 2 2 3 解析 先将 x2 4y2 1 化为标准方程 1 则 x2 1 y2 1 4 a 1 b c 离心率 e 1 2a2 b2 3 2 c a 3 2 答案 A 4 2012 佛山月考 设 F1 F2分别是椭圆 y2 1 的左 右焦点 P 是第一象 x2 4 限内该椭圆上的一点 且 PF1 PF2 则点 P 的横坐标为 A 1 B C 2 D 8 32 2 6 3 解析 由题意知 点 P 即为圆 x2 y2 3 与椭圆 y2 1 在第一象限的交点 x2 4 解方程组Error 得点 P 的横坐标为 2 6 3 答案 D 5 2011 惠州模拟 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 长轴在 x 轴上 离心率为 且椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12 则椭圆 G 的方程为 3 2 A 1 B 1 C 1 D x2 4 y2 9 x2 9 y2 4 x2 36 y2 9 x2 9 1 y2 36 解析 依题意设椭圆 G 的方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12 2a 12 a 6 椭圆的离心率为 3 2 a2 b2 a 3 2 解得 b2 9 36 b2 6 3 2 椭圆 G 的方程为 1 x2 36 y2 9 答案 C 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 若椭圆 1 上一点 P 到焦点 F1的距离为 6 则点 P 到另一个焦点 F2 x2 25 y2 16 的距离是 解析 由椭圆的定义可知 PF1 PF2 2a 所以点 P 到其另一个焦点 F2的距 离为 PF2 2a PF1 10 6 4 答案 4 7 2011 皖南八校联考 已知 F1 F2是椭圆 C 的左 右焦点 点 P 在椭圆上 且满足 PF1 2 PF2 PF1F2 30 则椭圆的离心率为 解析 在三角形 PF1F2中 由正弦定理得 sin PF2F1 1 即 PF2F1 2 设 PF2 1 则 PF1 2 F2F1 3 离心率 e 2c 2a 3 3 答案 3 3 8 2011 江西 若椭圆 1 的焦点在 x 轴上 过点作圆 x2 y2 1 的 x2 a2 y2 b2 1 1 2 切线 切点分别为 A B 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方 程是 解析 由题可设斜率存在的切线的方程为 y k x 1 k 为切线的斜率 1 2 即 2kx 2y 2k 1 0 由 1 解得 k 2k 1 4k2 4 3 4 所以圆 x2 y2 1 的一条切线方程为 3x 4y 5 0 求得切点 A 3 5 4 5 易知另一切点 B 1 0 则直线 AB 的方程为 y 2x 2 令 y 0 得右焦点为 1 0 令 x 0 得上顶点为 0 2 a2 b2 c2 5 故得所求椭圆方程为 1 x2 5 y2 4 答案 1 x2 5 y2 4 三 解答题 共 23 分 9 11 分 已知点 P 3 4 是椭圆 1 a b 0 上的一点 F1 F2是椭圆的 x2 a2 y2 b2 两焦点 若 PF1 PF2 试求 1 椭圆的方程 2 PF1F2的面积 解 1 P 点在椭圆上 1 9 a2 16 b2 又 PF1 PF2 1 得 c2 25 4 3 c 4 3 c 又 a2 b2 c2 由 得 a2 45 b2 20 椭圆方程为 1 x2 45 y2 20 2 S PF1F2 F1F2 4 5 4 20 1 2 10 12 分 2011 陕西 如图 设 P 是圆 x2 y2 25 上的动点 点 D 是 P 在 x 轴 上的投影 M 为 PD 上一点 且 MD PD 4 5 1 当 P 在圆上运动时 求点 M 的轨迹 C 的方程 2 求过点 3 0 且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度 4 5 解 1 设 M 的坐标为 x y P 的坐标为 xP yP 由已知得Error P 在圆上 x2 2 25 即 C 的方程为 1 5 4y x2 25 y2 16 2 过点 3 0 且斜率为 的直线方程为 y x 3 4 5 4 5 设直线与 C 的交点为 A x1 y1 B x2 y2 将直线方程 y x 3 代入 C 的方程 得 4 5 1 即 x2 3x 8 0 x2 25 x 3 2 25 x1 x2 3 41 2 3 41 2 线段 AB 的长度为 AB x1 x2 2 y1 y2 2 1 16 25 x1 x2 2 41 25 41 41 5 B 级 提高题 一 选择题 每小题 5 分 共 10 分 1 2012 丽水模拟 若 P 是以 F1 F2为焦点的椭圆 1 a b 0 上的一点 x2 a2 y2 b2 且 0 tan PF1F2 则此椭圆的离心率为 PF1 PF2 1 2 A B C D 5 3 2 3 1 3 1 2 解析 在 Rt PF1F2中 设 PF2 1 则 PF2 2 F1F2 e 5 2c 2a 5 3 答案 A 2 2011 汕头一模 已知椭圆 1 上有一点 P F1 F2是椭圆的左 右焦 x2 4 y2 2 点 若 F1PF2为直角三角形 则这样的点 P 有 A 3 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 解析 当 PF1F2为直角时 根据椭圆的对称性知 这样的点 P 有 2 个 同理 当 PF2F1为直角时 这样的点 P 有 2 个 当 P 点为椭圆的短轴端点时 F1PF2最大 且为直角 此时这样的点 P 有 2 个 故符合要求的点 P 有 6 个 答案 C 二 填空题 每小题 4 分 共 8 分 3 2011 镇江调研 已知 F1 c 0 F2 c 0 为椭圆 1 a b 0 的两个焦 x2 a2 y2 b2 点 P 为椭圆上一点且 c2 则此椭圆离心率的取值范围是 PF1 PF2 解析 设 P x y 则 c x y PF1 PF2 c x y x2 c2 y2 c2 将 y2 b2 x2代入 式解得 x2 b2 a2 3c2 a2 a2 c2 又 x2 0 a2 2c2 a2 3c2 e c a 3 3 2 2 答案 3 3 2 2 4 2011 浙江 设 F1 F2分别为椭圆 y2 1 的左 右焦点 点 A B 在椭圆 x2 3 上 若 5 则点 A 的坐标是 F1A F2B 解析 根据题意设 A 点坐标为 m n B 点坐标为 c d F1 F2分别为椭圆的 左 右焦点 其坐标分别为 0 0 可得 m n 22 F1A 2 c d 5 c d 点 A B 都在椭圆上 F2B 2 F1A F2B m 6 2 5 n 5 n2 1 2 1 解得 m 0 n 1 故点 A 坐标为 0 1 m2 3 m 6 2 5 2 3 n 5 答案 0 1 三 解答题 共 22 分 5 10 分 2011 大连模拟 设 A B 分别为椭圆 1 a b 0 的左 右顶 x2 a2 y2 b2 点 为椭圆上一点 椭圆长半轴的长等于焦距 1 3 2 1 求椭圆的方程 2 设 P 4 x x 0 若直线 AP BP 分别与椭圆相交异于 A B 的点 M N 求证 MBN 为钝角 1 解 1 依题意 得 a 2c b2 a2 c2 3c2 设椭圆方程为 1 将代入 得 c2 1 故椭圆方程为 1 x2 4c2 y2 3c2 1 3 2 x2 4 y2 3 2 证明 由 1 知 A 2 0 B 2 0 设 M x0 y0 则 2 x0 2 y 4 x 2 0 3 42 0 由 P A M 三点共线 得 x 6y0 x0 2 x0 2 y0 BM BP 2 6y0 x0 2 2x0 4 2 x0 0 BM BP 6y2 0 x0 2 5 2 即 MBP 为锐角 则 MBN 为钝角 6 12 分 2011 西安五校一模 已知中心在原点 焦点在 x 轴上的椭圆 C 的 离心率为 且经过点 M 1 2 1 3 2 1 求椭圆 C 的方程 2 是否存在过点 P 2 1 的直线 l1与椭圆 C 相交于不同的两点 A B 满 足 2 若存在 求出直线 l1的方程 若不存在 请说明理由 PA PB PM 解 1 设椭圆 C 的方程为 1 a b 0 由题意得Error 解得 x2 a2 y2 b2 a2 4 b2 3 故椭圆 C 的方程为 1 x2 4 y2 3 2 假设存在直线 l1且由题意得斜率存在 设满足条件的方程为 y k1 x 2 1 代入椭圆 C 的方程得 3 4k x2 8k1 2k1 1 x 16k 16k1 8 0 因为 2 12 1 直线 l1与椭圆 C 相交于不同的两点 A B 设 A B 两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 所以 8k1 2k1 1 2 4 3 4k 16k 16k1 8 32 6k1 3 0 所以 2 12 1 k1 1 2 又 x1 x2 x1x2 8k1 2k1 1 3 4k2 1 16k2 1 16k1 8 3 4k2 1 因为 2 PA PB PM 即 x1 2 x2 2 y1 1 y2 1 5 4 所以 x1 2 x2 2 1 k PM 2 2 1 5 4 即 x1x2 2 x1 x2 4 1 k 2 1 5 4 所以 1 k 解得 k1 16k2 1 16k1 8 3 4k2 1 2 8k1 2k1 1 3 4k2 1 4 2 1 4 4k2 1 3 4k2 1 5 4 1 2 因为 k1 所以 k1 1 2 1 2 于是存在直线 l1满足条件 其方程为 y x 1 2 点评 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为 第一步 假设结论成 立 第二步 以存在为条件 进行推理求解 第三步 明确规范结论 若能推出 合理结果 经验证成立即可肯定正确 若推出矛盾 即否定假设 第四步 回顾 检验本题若忽略 0 这一隐含条件 结果会造成两解 椭圆练习题椭圆练习题 2 2 一 填空题 1 椭圆的焦距为 632 22 yx 2 如果方程表示焦点在轴的椭圆 则的取值范围是 2 22 myxym 3 若椭圆的两焦点为 2 0 和 2 0 且椭圆过点 则椭圆方程是 2 3 2 5 4 椭圆的焦距是 2 则的值是 1 4 22 y m x m 5 若椭圆长轴的长等于焦距的 4 倍 则这个椭圆的离心率为 6 是椭圆上的一点 和是焦点 若 F1PF2 30 则 F1PF2的面积P1 45 22 yx 1 F 2 F 等于 7 已知是椭圆上的一点 若到椭圆右准线的距离是 则点到左焦P1 36100 22 yx P 2 17 P 点的距离是 8 椭圆的点到左准线的距离为 5 则它到右焦点的距离为 1 925 22 yx 9 椭圆的中心到准线的距离是 1 32 22 yx 10 中心在原点 准线方程为 x 4 离心率为的椭圆方程是 2 1 11 点 P 在椭圆上 则点 P 到直线的距离的最大值是2847 22 yx01623 yx 12 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是 1 xy1 24 22 yx 13 若椭圆的弦被点 4 2 平分 则这条弦所在的直线方程是1 936 22 yx 14 已知椭圆内有一点 是椭圆的右焦点 在椭圆上求一点 1 34 22 yx 1 1 PFM 使之值为最小的的坐标是 2 MFMP M 二 解答题 15 已知椭圆的对称轴为坐标轴 离心率 短轴长为 求椭圆的方程 2 1 e6 16 已知 A B 为椭圆 1 上两点 F2为椭圆的右焦点 若 AB 2 2 a x 2 2 9 25 a y 22 BFAF 5 8 a 中点到椭圆左准线的距离为 求该椭圆方程 2 3 17 一条变动的直线 与椭圆 1 交于 两点 是 上的动点 满足关系l 4 2 x 2 y2 PQMl 若直线 在变动过程中始终保持其斜率等于 1 求动点的轨迹方程 并说2 MQMPlM 明曲线的形状 椭圆 2 参考答案 一 填空题 1 2 2 3 4 5 5 6 1 0 1 610 22 yx 4 1 32 4 7 8 6 9 3 10 11 5 66 1 34 22 yx 13 1324 12 13 14 3 1 3 2 082 yx 1 6 3 2 二 解答题 15 由 椭圆的方程为 或 222 2 1 3 cba a c e b 3 32 c a 1 912 22 yx 1 912 22 xy 16 设 由焦半径公式有 11 yxA 22 yxB 5 4 e aexaexa 5 8 21 即 AB 中点横坐标为 又左准线方程为 即axx 2 1 21 a 4 1 ax 4 5 2 3 4 5 4 1 aa a 1 椭圆方程为 1 9 25 22 y