狭义相对论推导详细计算过程

狭义相对论狭义相对论 狭义相对论基本原理狭义相对论基本原理 1 基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式 因此一切惯性系都是等 价的 2 在一切惯性系中 光在真空中的传播速率都等于 c 与光源的运动状态无关 假设 S 系和 S 系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系 规定 S 系沿 S 系的 x 轴正方向 以速度 v 相对于 S 系作匀速直线运动 x y z 轴分别与 x y z 轴平行 两惯性系原点 重合时 原点处时钟都指示零点 洛伦兹变换洛伦兹变换 现假设 x k x vt k 是比例系数 可保证变化是线性的 相应地 S 系的坐标变 换为 S 系 有 x k x vt 另有 y y z z 将 代入 x k k x vt vt x k 2 x vt kvt t kt 1 k 2 x kv 两原点重合时 有 t t 0 此时在共同原点发射一光脉冲 在 S 系 x ct 在 S 系 x ct 将两式代入 和 ct k c v t 得 ct kct kvt 即 t kct kvt c ct k c v t 得 ct kct kvt 两式联立消去 t 和 t ct k kct kvt kv kct kvt c ct k 2ct k 2vt k 2vt k 2v 2t c c 2 k 2c 2 k 2v 2 k 22 1 1 cv 将 k 代入各式即为洛伦兹变换 x 22 1cv vtx y y z z t 22 2 1 cv cvxt 或有 x k x vt x k x vt k 1 v c x k 1 v c x 两式联立 x k 1 v c k 1 v c x k 22 1 1 cv 同时的相对性同时的相对性 S 中取 A x1 y z t1 和 B x2 y z t2 同时发出一光脉冲信号 即 t1 t2 且 x1 x2 在 S 中 t t1 t2 0 在 S 中 t1 t2 t t1 t2 由于 22 2 11 1 cv cvxt 22 2 22 1 cv cvxt 22 2 12 1 cv cvxx x1 x2 则 S 中 t 0 即在 S 系中不同位置同时发生不同位置同时发生的两个事件 在 S 系中看来不是同时发生的 亦可说明 时间和空间是相互联系的时间和空间是相互联系的 时间延缓效应 时钟变慢 时间延缓效应 时钟变慢 如 中 对于 S 系同时发生的两事件 在 S 系中出现了时间间隔 即时间膨胀或延缓 设 S 系中的 x0 处先后在 t1 和 t2 发生两事件 则 t t2 t1 在 S 系中 t t2 t1 t 22 2 02 1 cv cvxt 22 2 01 1 cv cvxt 22 1 t cv 说明在 S 系中 两事件的时间间隔小于在 S 系看来的间隔 即在 S 系看来 S 系中的 时钟变慢时钟变慢了 对于确定的两事件 时间间隔应相同 时间起点相同 S 中观察到的间隔要 长一些 便认为是 S 系中的时钟变慢了 长度收缩效应 尺缩 长度收缩效应 尺缩 S 系中放置一沿 x 轴方向的长杆 设两端点的坐标是 x1 和 x2 则静止长度 L L0 x2 x1 称为固有长度 在 S 系中要测量长杆的长度 必须同时测出 x1和 x2 即 t1 t2 由 x1 和 x2 得 L0 L x2 x1 22 11 1cv vtx 22 22 1cv vtx 22 12 1cv xx 则 L L0 L0即在 S 系中观察运动的杆时 其长度比静止 22 1cv L 22 1cv 时缩短了 速度变换法则速度变换法则 设一质点在两惯性系中的速度分量为 ux dx dt uy dy dt uz dz dt S 系 ux dx dt uy dy dt uz dz dt S 系 由洛伦兹变换得 dx 22 1cv vdtdx dy dy dz dz dt 22 2 1 cv cvdxdt 前三式分别除以第四式得 ux 2 1cvu vu x x uy 2 22 1 1 cvu cvu x y uz 2 22 1 1 cvu cvu x z 相应地有 ux 2 1 cvu vu x x uy 2 22 1 1 cvu cvu x y uz 2 22 1 1 cvu cvu x z 狭义相对论动力学 质速关系质速关系 设 S 系中的 x0处有一静止粒子 因内力分裂为质量相等的 A B 两部分 且分裂后 mA以速度 v 沿 x 轴正方向移动 mB以速度 v 沿 x 轴负方向移动 V BA m VV SS 则在 S 系看来 mA静止 即 vA 0 而 vB 则 v c 2 vB 2 1cvv vv 22 1 2 cv v 1 同时质心仍在 x0处未移动 有 v0 v 由于动量守恒 mA mB 22 1cvB mA vA mB vB 而 vA 0 则 v mB vB mA mB mB mA v vB v vB vB v 1 将 代入上式 mB mA 1 1 22222 2 cvccv v BB B 22222 2222 1 1 cvccv cvcc BB B 22 1 1 cvB 得 mB 在 S 系中二者以相同的速度沿相反方向运动 而在 S 系中 22 1cv m B A mA静止 可看做静质量静质量 m0 mB以速率 vB 运动 可视为运动质量运动质量 称相对论质量相对论质量 则 运动物体的质量与其静质量的一般关系即 m 22 0 1cv m 相对论动力学基本方程相对论动力学基本方程 相对论动量 p mv p v 均为矢量 22 0 1cv vm 物体受力 F dp dt d dt F p v 均为矢量 22 0 1cv vm 当 v c 时 即为牛顿第二定律 pmv F t 质能关系质能关系 由 知 F dp dt d mv dt vdm dt mdv dt 另有 dx vdt 经典力学中 质点动能增量即合力做的功 应用的相对论中 Ek Fdx dxm dt dv v dt dm 2dm vmvdv 对质速方程 m 求微分有 22 0 1cv m dm dv cv m 1 22 0 dvcv cv m 1 1 1 22 22 0 dv cvc vm 3222 0 1 将上式与代入 式 22 0 1cv m Ek dv cvc vm cv vm 1 1 3222 3 0 22 0 dv cvc vm cvc cvvcm 1 1 1 3222 3 0 3222 222 0 dm 代入此式 dv cvc vm c 3222 02 1 dm c2 mc 2 C 其中 C 为积分常量 知 v 0 时 m m0 Ek 0 代入求得 C m0c 2 则 Ek mc 2 m0c 2 m0c 2 1 1 1 22 cv 当 v c 时对作泰勒展开泰勒展开 得 22 1 1 cv 1 v 2 2c 2 3v 4 8c 4 22 1 1 cv 取前两项有 Ek m0c 2 1 v 2 2c 2 1 m0v 2 2 即经典力学动能表达式经典力学动能表达式 而 式可改写为 mc 2 Ek m0c 2 m0c 2 是物体静止时的能量 称物体的静能静能 而 mc 2 为物体的总能量总能量 将总能量用 E 表示 写作 E mc 2 即相对论质能关系相对论质能关系 22 2 0 1cv cm 泰勒展开泰勒展开 根据泰勒公式的简单形式 即迈克劳林公式 有 f x f 0 f 0 x f 0 x 2 2 fn 0 x n n 对于 f v 22 1 1 cv f v 322 2 1 2 1 2 cv c v 3222 1 cvc v f v 2 522 2 1 2 3 2 c v cv c v 3222 1 1 cvc 5224 2 1 3 cvc v 3222 1 1 cvc f3 v 4 2 722 2 1 2 5 6 c v cv c v 4 522 2 1 2 3 c v cv 2 522 2 1 1 2 3 2 c cv c v 7226 3 1 15 cvc v 5224 1 9 cvc v f4 v 6 3 922 2 1 2 105 2 c v cv c v 6 2 722 3 1 2 15 c v cv 4 722 2 1 2 15 2 c v cv c v 5224 1 6 cvc 4 722 2 1 2 15 2 c v cv c v 5224 1 3 cvc 9228 4 1 105 cvc v 7226 2 1 90 cvc v 5224 1 9 cvc 此处 f v f 0 f 0 v f 0 v 2 2 f3 v v 3 3 f4 v v 4 4 1 0 v 2 2c 2 0 3v 4 8c 4 1 v 2 2c 2 3v 4 8c 4 能量能量 动量关系动量关系 将 p mv 中的 v 2 解出 得 v 2 代入质能方程 得 22 0 1cv vm 2 2 0 2 22 cmp cp E 1 2 2 0 22 2 0 cmpp cm 2 2 0 2 2 2 0