毕业论文——高中数学常见最值问题及解题策略

目 录 1 1 引言引言 0 2 2 文献综述文献综述 1 2 1 国内研究现状 1 2 2 国内研究现状评价 1 2 3 提出问题 2 3 3 高中数学常见最值问题及解题策略高中数学常见最值问题及解题策略 2 3 1 无理函数的最值问题 2 3 2 三角函数的最值问题 4 3 3 数列的最值问题 6 3 4 平面向量的最值问题 10 3 5 圆锥曲线的最值问题 11 3 6 具有几何意义的最值问题 13 3 7 几个特殊类型函数的最值问题 16 3 8 用特殊方法求一类函数的最值问题 23 4 4 结论结论 23 4 1 主要发现 24 4 2 启示 24 4 3 局限性 24 4 4 努力的方向 24 参考文献参考文献 25 1 1 引言 最值问题是人们在生产和日常生活中最为普遍的一种数学问题 它的应用性和实 用性非常广泛 无论是在生产实践中还是在科学研究领域我们都会遇到一些关于 最 好 最省 最低 最优 最大 最小 等问题 这些问题一般都是转化为 最值问题进行求解 此类问题的求解 不仅充分训练了学生把实际问题抽象成数学问 题的思维方式 还培养了学生分析问题和解决问题的能力 同时也使学生逐步形成了 应用数学的意识 在近几年的高考题中 最值问题是考试命题的一个重点 它占了高 考分数的 5 23 从题型上讲 主要以选择题 填空题和解答题三种形式出现 从 难易程度上讲 主要有基础题 中档题和高档题三种题型 它在考查基础知识的同时 也逐步加强了对能力的考查 高考将注重检查学生对所学课程内容达到融会贯通的程 度 因此 求解最值问题将会是高考的一个难点 学生不但要较好地掌握各个分支的 知识 还要善于捕捉题目信息 有较强的思维能力 能够运用各种数学技能 灵活选 择适当的解题方法 方能达到事半功倍之效 文章从高中数学试题中经常出现的无理 函数 三角函数 数列 向量 圆锥曲线和解析式具有几何意义的最值问题以及三类 特殊最值问题几个方面对高中数学最值问题进行相关探讨 给出求高考数学最值问题 的解题策略 为学生的备考和教师的教学提供相应的指导 2 文献综述 2 1 国内研究现状 对于中学数学中最值问题的求解 国内已经有了一定的探讨 文 1 5 中总结归 纳了最值问题的常用求解方法 文 6 通过举例讨论了一类无理函数最值的求解策略 文 7 讨论了如何巧求一类二元函数的最值 文献 8 针对解析式具有几何意义的函数的 最值巧妙求法方法进行了归纳总结 文 9 给出了三类最小值问题的统一解法及一般结 果 文 10 对一类函数最小值问题的处理方法进行了探讨 文 11 对一类函数最小值问 题的处理方法进行了相关的补充 文 12 介绍了几种关于应用均值定理求最值的方法 文 13 给出了 2005 2009 年中最新五年高考真题及其详解 文 14 15 介绍了函数 最值的概念及其求解方法 文 16 给出了用松弛变量法巧妙地求解一类二元函数的最值 问题的方法 2 2 国内研究现状评价 2 国内虽然对最值问题的求解方法已有了一定的研究 尤其是最值问题的常用求解 方法归纳比较全面系统 但是在近几年的高考题中 主要考查学生学以致用的能力 只利用常用求解方法一般很难解决高考题中的最值问题 高考很多最值问题都是要综 合应用相关知识的概念 性质 定理才可解决 现查阅到的参考文献中大多只讨论了 最值问题的常用求解方法及归纳了几个特殊最值问题的统一解法 并没有具体探讨高 考数学中基本最值问题的求解策略 2 3 提出问题 由于高考过程中 试题数量多 时间少 难度大 要在高考中获胜 必须要讲解 题方法 精 巧 练 而大多资料并没有从高考的角度研究高考数学中最值问题 的求解 最值问题的求解方法还不够完善 高考中学生对最值问题的求解还存在一定 的困难 因此 本文将通过查阅相关资料 站在高考的角度 对高中数学常见最值问 题及解题策略进行总结 归纳 整理 进一步完善最值问题的求解策略 为学生的备 考和教师的教学提供相应的指导 3 高中数学常见最值问题及解题策略 最值问题是中学数学的一个重要内容 也是各种考试命题的一个热点 尤其在高 考命题中 它是必不可缺少的热门考点 在近几年的高考试卷中 函数的最值问题占 了相当大的比例 其主要以选择题 填空题和解答题的类型出现 其目的在于考查学 生对基础知识的把握和灵活运用相关知识的能力 解决这类问题涉及的知识面较宽 要求学生不仅要能利用常用方法求解简单函数的最值问题 还要学生能根据知识的内 在联系以及函数本身的特征适当选择最优解题方案 达到事半功倍之效 3 1 无理函数的最值问题 求形如求形如的最值的最值 22 2 211 2 1 cxbxacxbxay 此类题型求解最值的方法很多 一般有平面几何法 分析法 解析几何法 复数 法和求导法 但在求解过程中这些方法的使用非常灵活 存在一定难度 要求对常用 最值求解工具较为熟悉 能根据解析式的特征联系相关知识 恰当 准确地选用最优 解题方案进行求解 而如何实现使用最优解题方案进行求解 关键是要认真捕捉题目 信息 仔细观察解析式 从而根据知识的内在联系 利用转化思想便可解决问题 3 例例 1 求的最小值 22 2572f xxxx 解解 令 显然有意义 有 22 257yxxx 0 5 x 222 725 xxxy 7 25 2725 22 xxxx 则 当时等号成立 0 7 25 2 07 22 xxxx0 x 当时0 x 5 min y 所以 min 7f x 评析评析 该题根据解析式的特征合理变形后 采用分析法 利用不等式的性质进行 解答 本题主要考查学生的应变能力 分析能力和观察能力 各个时候取等号的条件 的一致性 否则没有最值 例例 2 求 的最小值 32610134 22 xxxxxf Rx 解解 令 设 则 2222 1 5 3 2 xxy 3 2 1 ixz ixz 5 2 且 21 zzy 543 21 izz 有 5 2121 zzzz 当且仅当时函数取得最小值 当时 3 4 5 1 2 3 xx4 17 x5 min y 所以 min 8f x 评析评析 采用复数法 利用复数模的性质 把代数式转化为复 121212 zzzzzz 数模的关系进行求解 求二元无理式的最值求二元无理式的最值 二元无理式的最值问题也是最值求解的一个难点 虽然它的解题方法不少 但是 解答过程非常复杂繁琐 计算容易出错 而这种题可以运用一个定理便可轻松简捷地 4 求解 定理定理 1 设 则 当且仅当Rxx 2 1 Ryy 2 21 2 21 2 2 2 1 2 1 yy xx y x y x 时等号成立 2211 yxyx 例例 3 若 求 的最小值 521 yxyxxf 5 2 解解 令 根据定理得1 1 2 1 1 yx yxz 1 1 2 1 1 yx yxz 2 27 1 2 5 1 11 21 2 2 yx 当且仅当 时取得最小值 1 2 1 1 yx 521 yx 当时 4 33 4 21 yx 2 27 min z 所以 min 16f x 评析评析 该无理函数求解最值的方法很多 但是相比之下 利用此定理使用松弛变 量法 16 更为巧妙 但需注意的是题目中的已知条件必须全部满足定理的要求 否则求 解将会有误 在使用这种方法时 必须认真捕捉题目信息 3 2 三角函数的最值问题 在高考试卷中 求解三角函数的最值问题的题目出现的非常频繁 几乎每年都会 出现 占高考分数的 它主要考查学生对三角函数基础知识的综合运用 其 8 3 难度大 很多学生对此类问题 一筹莫展 其实 三角函数的最值问题看似非常复杂 一般使用常用最值求解方法很难求解 但是要解决它并不困难 只要充分理解其概念 性质 牢记公式 能灵活运用正弦定理 余弦定理及相关的三角公式进行适当的变形 5 化简 然后根据它的性质 定理逐步击破 便可解决问题 因此 在解决三角函数最 值问题时 关键在于学生对其性质 定理的深刻理解和各个三角公式的灵活运用 例例 4 2008 年全国卷 若动直线与函数和的图像ax xxfsin xxgcos 分别交于 两点 则的最大值为 MNMNB 解解 根据三角函数的性质可知 当 4 sin 2cossin xxxxgxf 时 故 选 zkkx 4 3 2 maxmax xgxfMNB 评析评析 本题主要考查学生对三角函数的性质的理解和应用 例例 5 2008 年全国卷 设的内角 所对的边长为 且ABC ABCabc 求的值 求的最小值 cAbBa 5 3 coscos BAcottan tan BA 解解 由正弦定理知 C Ac a sin sin C Bc b sin sin cA C B B C A AbBa cos sin sin cos sin sin coscos 1costan 1cot tan sincoscossin sincoscossin sin sincoscossin BA cBA c BABA BABA c BA ABBA 由题意得 c BA cBA 5 3 1cottan 1cot tan 解得 4cottan BA 由 得 BAtan4tan 则 都是锐角 于是AB 0tan B 所以 6 4 3 tan41 tan3 tantan1 tantan tan 2 B B BA BA BA 且当时 上式取等号 所以 的最大值为 2 1 tan B tan BA 4 3 评析评析 本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力 学生灵活使 用正弦定理将原解析式变形 化简 从而由题设产生新的已知条件 为求解目标函数 的最值打下坚实的基础 例例 6 2008 年四川卷 求函数的最大值与最 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 小值 解解 由得 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 2 1 sin2 6yx 由于函数在中的最值为 2 1 6zu 1 1 max 10z min 6z 故当时sin21x max 10y 当时sin21x min 6y 评析评析 三角函数的公式非常多 学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析 式进行变形 才能使问题简单化 否则将越化越复杂 无法解决 因此 学生不但要 熟记公式 还要有灵活运用公式的能力 3 3 数列的最值问题 数列的最值问题也是高考的一种题型之一 出现也较为普遍 它曾在 2009 年四川 卷 安徽卷和 2008 年的江西卷 宁夏海南卷中出现 该类问题主要以选择题 解答题 两种题型出现 选择题的难度不大 而对解答题的解题能力的要求却很高 不但要求 学生对其基础知识非常熟悉 还要求学生有较强的计算能力 思维能力 分析能力和 解决问题的能力 针对这类问题 学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比 数列的各个公式 例例 7 2009 年安徽卷 已知为等差数列 n a 7 以表示的前项和 则使得达到最大值的 135 105aaa 246 99aaa n s n an n s 是 nB 21 20 19 18 ABCD 解解 由于数列为等差数列 则 n a 1 1 n aand 有 1 235ad 1 333ad 则 1 39a 2d 根据数列的前项和公式n 2 1 39 2 40 2 n n n snnn 显然当时取得最大值 20n n s 评析评析 本题主要考查学生对公式的应用 学生只要有较强的观察能力 思维能力 结合使用等差数列的通项公式和前项和公式就可以求解 n 例例 8 8 2009 年四川卷 设数列的前项和为 对任意的正整数都有 n an n sn 成立 记 求数列的通项公式 记51 nn as 4 1 n n n a bnN a n b 设数列的前项和为 求证 对任意的正整数都有 221 nnn cbbnN n cn n Tn 3 2 n T 设数列 的前项和为 已知正实数满足 对任意的正整数 n bn n R n 恒成立 求的最小值 n Rn 解解 当时 1n 1 51 n aa 则 8 1 1 4 a 又 51 nn as 11 51 nn as 有 11 5 nnn aaa 即 1 1 4 nn aa 所以 数列成等比数列 其首相 n a 1 1 4 a 1 4 q 则 1 4 n n a 所以 1 4 5 4 4 1 4 1 1 4 n n n n b 由 知 5 4 4 1 n n b 则 221 221 55 4141 nnn nn cbb 2 2 25 16 161 164 25 16 16 3 164 25 16 16 25 16 n nn n nn n n n 又 9 1 3b 2 13 3 b 有 1 4 3 c 当时1n 1 3 2 T 当时2n 23 4111 25 3161616 n n T 1 2 2 11 1 4 1616 25 1 3 1 16 1 4 16 25 1 3 1 16 693 482 n 由 知 5 4 4 1 n n b 一方面 已知恒成立 取为大于 1 的奇数时 设 则 n Rn n21 nkkN 1221nk Rbbb 12321 123221 1111 45 41414141 11111 45 4141414141 41 k kk n n n 有即对一切大于 1 的奇数 恒成立 所以 否则41 nn Rn 4 1n n4 只对满足的正奇数成立 矛盾 4 1n 1 4 n n 另一方面 当时对一切的正整数都有恒成立 事实上 对任意的正4 n4 n Rn 10 整数都有k 212 212 55 8 4 1 4 1 kk kk bb 520 8 161164 15 1640 8 161 164 8 kk k kk 当为偶数时 设 则n2 nm mN 1234232221 nmmm Rbbbbbbb 8m 4n 当为奇数时 设 则n21 nmnN 1234232221 nmmm Rbbbbbbb 8 1 m 4n 所以 对一切正整数都有 n4 n Rn 综上所述 正实数的最小值为 4 评析评析 本题主要考查数列 不等式等基础知识 化归思想 分类整合思想等数学 思想方法 以及推理论证 分析与解决问题的能力 要求学生有较强的综合解题能 力 3 4 平面向量的最值问题 在考查平面向量的最值问题中 一般结合三角函数进行考查 题型多以选择题 填空题和解答题的形式出现 考生需要深刻理解平面向量的概念 性质和数量积与向 量积的几何意义 灵活运用向量的各种性质 有较强的运算和论证能力便可解决问 题 对于这类题型 学生首先要根据题目的已知条件 利用向量的性质灵活变形 进 而利用数量积或向量积便可求解 例例 9 2009 年安徽卷 给定两个长度为 1 的平面向量和 它们的夹角为OA OB 如图所示 点在以为圆心的圆弧上变动 若 其中120 COAB OCxOAyOB 则的最大值是 x yR xy 11 图 1 例 9 的示意图 解解 在两边分别作向量积得OCxOAyOB 1 1 2 xyOA OB 2 1 2 xyOB OC 1 2 得 2 22cos xyOAOBOCDC OCOD OC 因为 1OD 所以 的最大值为 2 xy 评析评析 本题主要考查平面向量的数量积与向量积的几何意义 灵活性大 3 5 圆锥曲线的最值问题 圆锥曲线的最值问题是一种难度较大的题型 很多考生对于该类问题经常会丢分 而该类问题的分值比较高 大约占高考分数的左右 它考查的范围比较广 多以 10 解答题的形式出现 考查学生对椭圆 抛物线的几何性质的理解 对直线与椭圆 直 线与抛物线的位置关系等基础知识的掌握程度 考查学生的解析几何的基本思想方法 和综合解题能力 针对这类题型 学生首先要充分理解圆锥曲线的概念 性质 定理 然后再结合题目的已知条件综合运用相关知识进行求解 例例 10 2009 年浙江卷 已知椭圆 的右顶点为 A 1 0 过 的 1 C1 2 2 2 2 b y a x 1 C 焦点且垂直长轴的弦长为 1 求椭圆的方程 设点 P 在抛物线 1 C 2 C 上 在点 P 处的切线与交于点 M N 当线段 AP 的中点与 MN 2 yxh hR 2 C 1 C 12 的中点的横坐标相等时 求 h 的最小值 解解 由题意得 1 2 1 2 a b b 则 1 2 b a 因此 所求的椭圆方程为 1 4 2 2 x y 如图 2 图 2 例 10 的示意图 设则抛物线在点处的切线斜率为 2 2211 httpyxNyxM 2 CP 2 x t yt 直线的方程为 MN 2 2ytxth 将上式代入椭圆的方程中 得 1 C 222 4 2 40 xtxth 即 13 3 22222 4 1 4 40txt th xth 因为直线与椭圆有两个不同的交点MN 1 C 所以 3 中的 4 422 1 162 2 40thth 设线段的中点的横坐标为 则MN 3 x 2 12 3 2 22 1 xxt th x t 设线段的中点的横坐标为 则PA 4 x 4 1 2 t x 由题意得 34 xx 即 5 2 1 10th t 由 5 式中的 2 2 1 40h 得 或 1h 3h 当时3h 20h 2 40h 则不等式 3 成立 所以 1h 当时代入方程 5 得1h 1t 将代入不等式 4 成立 所以1 1ht min 1h 14 评析评析 此题考查的内容非常广泛 考查了椭圆 抛物线的几何性质 也考查了圆 锥曲线的位置关系 同时也考查了分类思想和不等式的性质等 综合能力较强 3 6 具有几何意义的最值问题 求函数最值的方法比较多 但当所求函数具有某种几何意义时 求其最值用数形 结合的方法比较灵活巧妙 8 可把求函数的最值转化为求直线斜率 直线截距 两点间 的距离等最值问题 用数形结合的方法解赋有几何意义的解析式的函数的最值 它兼 有数的严谨与形的直观之长 利用它使复杂的问题简单化 抽象的问题具体化 它是 优化解题过程的重要途径之一 其转化的关键是要有较强的转化意识 包含 以形助 数 和 以数解形 两方面 以形助数 可以使抽象的概念和解析式直观化 形象化 以数解形 可以使图形的性质更丰富 更准确 更深刻 用数形结合法解题的一般步骤 第一步 先把已知条件与待求结论的代数式 或量 都化成形 第二步 观察图形 寻找解题方案 第三步 求解得出结论 转化为求直线斜率的最值问题转化为求直线斜率的最值问题 例例 11 求函数的最值 24 2 26cos3cos 62sin xx y x 解解 令 知 24 2 26cos3cos 62sin xx k x 42 2 3cos6cos 2 2sin 6 xx x 点的轨迹为一抛物线弧 其抛物线二端点为B 2 4 3 2 0 3 0 3 xyxy 显然 定点分别与二端点构成的二直线斜率产生 2 0 0 3 6 2 2 0 0 3 函数的最大值和最小值 15 图 3 例 11 的示意图 所以 1 201 6 2 2 k 2 2 3 1 606 k 故 max 1 2 y min 1 6 y 转化为求两点间的距离的最值问题转化为求两点间的距离的最值问题 例例 12 8 求的最值 2222 1 1 yxaxa 解解 在 时 当即时 设 动点1xa min 0y 1aa 1 2 a 0 1 1 MaNa 则 共线时取等号 且 不平行于 0 P xyPMPNMN MNPMN 轴 即必与轴相交 设交点为 就是使取得最大值的点 如图 4xMNx 0 P 0 PyMN 图 4 例 12 的示意图 16 对直线 当 时 有MN 1 0aa xya 0y 1 12 a xa aa 2 max 1 1 yMNaa 在或且时1a 0a xa max 2y 在或且时 1 1 2 a 1 0 2 a 21 a x a 2 max 1 21 ya 评析评析 这里用几何中的距离公式 把问题转化为 在直线上求一点 使该点到两 已知点的距离之差 和 最大 最小 的问题求解 转化为求直线截距的最值问题转化为求直线截距的最值问题 例例 13 求函数的最值 241f xxx 解解 函数的定义域 令 则消去得 f x 2 1 x 1 ax 24bx x 其中 22 1 36 ab 0 3 0 6 ab 令 即 故函数的最值转化为求直线的截距 wf xab baw f xbaw 的最值 如图 5w 图 5 例 13 的示意图 显然 过点的直线的截距最小 且最小值为 直线与椭 3 0 baw 2baw 17 圆相切时直线的 截距最大 且最大值为 3 故 baw w max 3fx min 3fx 3 7 几个特殊类型函数的最值问题 以下几个类型的函数的解题方法非常独特 按正常思维解答所得结果往往与正确 答案差距很大 学生要在这类题上获胜 必须对特殊题型的特殊方法进行归纳总 结 文 9 已给出了三类最小值问题的统一解法及一般结果 但由于这类问题的重要性 本文将对这三类特殊类型函数的最值问题进行相关整理 以便引起学生对这三类题型 的重视 求求型的最小值问题型的最小值问题 0 0 p yxxp x 情形情形 1 对于求的最小值 其中 是一个正常数 且 p yx x 0 xb p 2 pb 解解 通常的解法 设 则 0 p yxxp xx 22ypp xb 上述两个不等号中的等式同时成立 当且仅当 2 xp xb 解之得 2 pb xb 于是 min p yb b 例例 14 求的最小值 2 sin sin yx x 解解 令 则 2 sin 02 sinsin yx xx 2 22 2 sin y x 以上两个不等号中的等式同时成立 当且仅当 1sin 2sin2 x x 解之得 18 1 sin1 x 于是 min 3y 评析评析 该题若直接使用基本不等式进行求解 结果为 2 而正确答案2abab 是 3 情形情形 2 对于求型的最小值 2 0 0 p yxaxpa x 解解 通常的解法 令 则 p yxp xx 22 pp y xa 上面的两个不等式同时成立 当且仅当 2 x xa 解之得 2 xa a 于是 min p ya a 例例 15 求的最小值 2 3sin 73sin yx x 解解 2 73sin 7 73sin yx x 令 则 2 73sin 7 2 73sin73sin yx xx 22 2727 73sin4 y x 上面的两个不等式同时成立 当且仅 19 1 sin sin37 2 x x 解之得 16 sin1 x 于是 min 2 3 4 y 求求的最小值问题的最小值问题 2 0 0 p yxxp x 情形情形 1 对于求的最小值 23 0 4 p yxxb pb x 解解 通常的解法 令 则 2 2 2222 pp yx xxx 3322 22 33 22 pp y xb 上面的两个不等式同时成立 当且仅当 3 2 xb 解之得 3 2 b xb 于是 2 min p yb b 例例 16 求的最小值 2 5 sin 0 sin yxx x 解解 令 则 2 525 sin 0 2sin2sin2sin2 yx xxx 22 33 5252 33 42sin42 y x 上面的两个不等式同时成立 当且仅当 1 sin sin2 2 x x 20 解之得 2 sin1 x 于是 min 6y 情形情形 2 对于求 且 2 p yx x 0ax 3 04pa 解解 通常的解法 令 则 2 2 2 222 p yxp xxx 22 33 22 33 4242 pp y xa 上面的两个不等式同时成立 当且仅当 3 2 x xa 解之得 3 2 a xa 于是 2 min p ya a 例例 17 求的值域 2 2 4 9 yx x 解解 令 则 22 222 24 9 9 2 999 yx xxx 3322 2 2424 3939 9 9 y x 上面的两个不等式同时成立 当且仅当 0 9 32 x x 解之得 21 3 9 0 x 于是 min 4 3 y 求求型的最小值问题型的最小值问题 2 0 0 p yxxp x 情形情形 1 对于求的最小值 3 2 0 2 pa yxxa p x 解解 通常的解法 令 则 22 0 22 xxp yp xx 33 22 33 44 pp y xa 上面的两个不等式同时成立 当且仅当 3 2 x xa 解之得 3 2 a xa 于是 min 2 p ya a 例例 18 的最小值 222 2 236 37 3 xxx y x 解解 定义域为 由得 33x 22 2 2 3 3 7 3 xx y x 2 2 7 2 3 3 yx x 令 22 22 7 33 33 yxx xx 上面的两个不等式同时成立 当且仅当 3 2 2 2 3 0 x x 22 解之得 3 2 0 3 x 于是 min 7 2 3 3 y 情形情形 2 对于求的最小值 3 2 0 0 2 pa yxxap x 解解 通常的解法 令 则 22 22 xxp yp xx 33 22 33 44 pp y xa 上面的两个不等式同时成立 当且仅当 3 2 x xa 解之得 3 2 a xa 于是 min 2 p ya a 例例 19 已知 求的取值范围 3 2 4cot1 0 2cot4 x yx x y 解解 令 则 1 2cot 2cot yx x 22 1 cotcot 1 2cot2cot yxx xx 33 2 11 33 22cot22 y x 上面的两个不等式同时成立 当且仅当 3 2cot cot1 x x 解之得 23 2 cot1 x 于是 min 5 2 y 所以 的取值范围是 y 5 2 3 8 用特殊方法求一类函数的最值问题 此类函数不能运用基本不等式求解它的最值问题 必须利用相关的定理 使用其 结论 10 才可以使求解过程简便 容易 利用其结论解题时 必须注意限制条件 若限 制条件不满足定理所需条件则不能直接使用其结论进行求解 否则将无法寻求到准确 答案 定理定理 2 设初等函数在区间上恒有 为正常数 则当且仅当 f xI 0f x c 在上取最小值时 函数在上取最小值 f xc I c g xf x f x I 例例 20 1997 年全国高考题 甲 乙两地相距 S 千米 汽车从甲地匀速行驶到乙 地 速度不得超过 C 千米 时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和 固定部分组成 可变部分与速度 V 千米 时 的平方成正比 比例系数为 b 固定部分为 a 元 把全程运输成本 y 元表示为速度 V 千米 时 的函数 并指出这个函数的定 义域 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 解解 运输成本为 由于速度不得超过 C 千米 2 V ba VsbabV V s y 时 所以 因此 这个函数的定义域为 CV 0 0 C 令 显然 当且仅当取最小值时 全 0 CV V ba VVf Vf 程运输成本 y 最小 由定理知 在区间上 仅当最小时 最小 0 CbaV Vf 若 则 0 Cba 当 最小 时baV baV 24 若 则CbaCba 即 0 当 V C 时最小 baV 所以为使全程运输成本 y 最小 当时 行驶速度应是 Cba b ab V 当时 行驶速度应是 Cba CV 4 结论 4 1 主要发现 本文对近几年高中数学最值问题的求解方法进行探讨 给出了高考数学中最值问 题的具体方法和求解过程 研究了高考数学中经常出现的无理函数的最值问题 三角 函数的最值问题 数列的最值问题 平面向量的最值问题和圆锥曲线的最值问题以及 一般联赛题中会出现的三类特殊类型函数的最值问题 从方法上讲 它涉及到的知识 面广 难度大 技巧性强 方法灵活多变 很多考生难以把握 使用常用最值求解方 法无法求解 需根据函数本身所具有的特点以及相关知识所涉及到的概念 性质 定 理才可进行求解 从能力上讲 它要求学生在充分掌握基础知识的同时 对常用求解 方法较为熟悉 能准确恰当地选择最优解题方案 有较强的观察能力 分析能力 计 算能力和解决问题的能力 本文的探讨有利于考生进一步了解高考数学中最