亚历山大时期的三角测量

高一数学导学案 教师评价 组内评价 编制人 姜欣欣 数学文化 埃拉托色尼的地球周长测量 对地球的测量 古已有之 古埃及人会利用绳索来丈量土地 以此计算在尼罗河泛滥时期 将波及到的区域 在亚历山大时期 还有这样一个职业 皇家测量员 当公元前 4 世纪 亚历山大大 帝南征北战的时候 就会随军携带几名皇家测量员 西至埃及 东到印度 这些皇家测 量员 用一种难以置信的工具 帮助亚历山大大帝绘制他的版图 他们的这种独特工具 便是自己的双脚 在现代人看来 这种方法是如此的不靠谱 但是 皇家测量员绝对无 愧于皇家二字 他们的测量结果与实际数据间的误差不到 5 200 年后 当时在亚历山大城任教的欧几里得完成了不朽的巨著 原本 藏于亚 历山大城的世界第一图书馆中 图书馆的馆长埃拉托色尼有机会接触到这些文化结晶 由此埃拉托色尼又搞了一次大的 他要测量地球的周长 他发现地球的某一时刻在辛尼 地方的一口深井底部可以见到太阳 也就是说太阳这时恰好在人的头顶上 同时在 外的亚历山大城的太阳光线倾斜了大约 约是周角的 那么 要如何测nmile500 5 7 50 1 量出相距甚远的两座城市的距离呢 于是 皇家测量员又一次登场了 不过 这次他们 计算的不是自己的脚步 而是一种动物 即以步伐稳健而闻名的骆驼 最终 在骆驼的 帮助下 埃拉托色尼计算出地球周长大约是 与真实周长的误差 nmile2500050500 仅有 2 如果不借助于现代科技手段 即使是现代人 也很少能够做到如此准确 但令人惊 讶的是 2000 年前的人却已经做到了 数学文化 希帕克斯的地月距离测量 在亚历山大时期 利用三角知识测量距离的例子数不胜数 希帕克斯是伟大的天文学家 他的卓越贡献是创立了球面三角这门数学工具 使天 文学由定性的几何模型变成定量的数学描述 使天文观测有效的进入宇宙模型之中 通 过创立球面三角术 希帕克斯解决了第一个问题 根据相似三角形的比例 原理 以任一锐角为一角所组成的任何直角三角形 其对边与斜边之比 对边与邻边之 比 邻边与斜边之比是一个常数 所以这些比是角的函数 与边长无关 人们为方便起 见就把这些比分别称作正弦 正切 余弦 是为三角函数 希帕克斯第一次全面运用三 角函数 并推出了有关定理 更为重要的是 他制定了一张比较精确的三角函数表 以 利于人们在实际运算中使用 得到测量结果 通过三角学方法计算出月地距离 要知道那时没有先进的测量仪器 他假设一个人站在赤道处看到月亮恰好在他头A 顶上方处 另一个人站在赤道处 看到月亮刚刚升起 这时和圆相切 构成CBBCO 了直角三角形 所对的恰为 两地的经度差 希帕克斯所测得得OBC AB AB 他利用自己编制的世界第一张正弦函数值表计算 得 16 1 89 OC OB 90sin nmile25000 cos OB OC 这个数据与实际误差也不大 这是在他之前许多学者想做却没做到的成就 高一数学导学案 教师评价 组内评价 编制人 姜欣欣 亚历山大时期的三角测量亚历山大时期的三角测量 学习目标 1 通过数学文化与数学知识有机结合 学生初步了解数学在人类文明发展中的作用 体会数学的文 化价值 逐步形成正确的数学观 通过中国优秀传统文化的渗透 潜移默化增加学生爱国主义情感 2 通过体验将实际问题抽象为几何模型并用解三角形知识加以解决的过程 逐步提高将实际问题抽 象为数学模型的能力 即数学建模思想 3 通过自主 合作 探究逐步提高创新 合作意识和实践能力 重 难点 重点 将实际问题转变成数学问题 构建数学模型 分析解决的过程 难点 构建数学模型 分析解决的过程 基础知识回顾基础知识回顾 1 正弦定理 其中为 A a sin R2R 2 余弦定理 余弦定理的变形 2 aAcos 3 向量的数量积 ba 4 在 远小近大 远小近大 CDDBADABDABC 边上一点 若是中 已知2 CA CB 5 在 AC AB DC BD DBCADAABC 求证 相交于点与边的角平分线中 6 必修四 在中 已知 求的长 1111 PABC 120 7 8ABCBCABAC 要求 用两种方法解决 我的疑问 我的疑问 探究案探究案 背景材料背景材料 中国古代数学取得了极其辉煌的成就 出现过刘徽 秦九韶 杨辉等伟大的数学家 以及众多数学名 著 其中 海岛算经 数书九章 便是记载有关测量问题的代表作 海岛算经 是三国时代魏 国数学家刘徽所著的测量学著作 刘徽 海岛算经 使中国测量学达到登峰造极的地步 使 中 国在数学测量学的成就 超越西方约一千年 美国数学家弗兰克 斯委特兹语 南宋著名数学家 秦九韶的 数书九章 是对 九章算术 的继承和发展 概括了宋元时期中国传统数学的主要成就 标志着中国古代数学的高峰 在世界数学史上占有崇高的地位 这些中国古代数学名著是我们的丰富 宝库 是灿烂悠久的中华文明的重要组成部分 中国古代数学遵循 经世致用 涉及的研究大多与实 际生活 生产结合紧密 具有浓厚的实际背景 探究探究 1 我国古代著名的数学家刘徽著有的 海岛算经 内有一篇 今有望海岛 立两表 齐高 三丈 前后相去千步 令后表与前表三相直 从前表却行一百二十三步 人目着地取望岛峰 与表末 三合 从后表却行一百二十七步 人目着地取望岛峰 亦与表末三合 问岛高几何 参考译文 假设测量海岛 立两根标杆 高均为 5 步 前后 相距 1000 步 令前后FIDH DF 两根标杆和岛在同一直线上 从前标杆退行 123 步 人的视线从地面 人的高度忽略不计 过DE 标杆顶恰好观测到岛峰 从后标杆退行 127 步 人的视线从地面过标杆恰好观测到岛峰 问岛FC 高 多少 其中丈 步为古时计量单位 三丈 5 步 AB 步1055 A步1255 B 步1550 C步2255 D A BC DFE H I 高一数学导学案 教师评价 组内评价 编制人 姜欣欣 探究探究 2 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作 数书九章 卷五 田域类 里有一个题目 问有 沙田一段 有三斜 其小斜一十三里 中斜一十四里 大斜一十五里 里法三百步 欲知为田几何 参考译文 有一个三角形沙田 三边分别为 13 里 14 里 15 里 假设 1 里按 500 米计算 则该沙田 的面积为 平方千米平方千米 探究探究 3 高考中的数学文化 提示 教材高考中的数学文化 提示 教材 P12 问题问题 2 2009 宁夏 为了测量两山顶 M N 间的距离 飞机沿水平方向在 A B 两点进行测量 A B M N 在同一个铅垂平面内 如示意图 飞机能够测量的数据有俯角和 A B 间的距离 请设计一个方案 包括 指出需要测量的数据 用字母表示 并在图中标出 用文字和公式写 出计算 M