导数在函数中的应用

1 / 4导数在函数中的应用【摘 要】新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值。导数是分析和解决问题的有效工具。【关键词】导数 函数的切线 单调性 极值和最值导数是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。一、用导数求函数的切线例 1.已知曲线 y=x3-3x2-1，过点作其切线，求切线方2 / 4程。分析：根据导数的几何意义求解。解：y = 3x2-6x ， 当 x=1 时 y= - 3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为 y+3 = -3(x-1)，即为：y = -3x.1、方法提升：函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点 P 处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点 P 处的切线的斜率是 f(x0) ，相应的切线方程为 y-y0= f(x0)(x-x0)。二、用导数判断函数的单调性例 2求函数 y=x3-3x2-1 的单调区间。分析：求出导数 y，令 y0 或 y0 得 3x2-6x0，解得 x0 或 x2。由 y0 和 f(x)0；确定 f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。三、用导数求函数的极值例 3求函数 f(x)=(1/3)x3-4x+4 的极值解：由 f(x)=x2-4=0，解得 x=2 或 x=2. 当 x 变化时，y、y 的变化情况如下：当 x=2 时，y 有极大值 f(-2)=，当 x=2 时，y 有极小值 f(2)=(4/3).3、方法提升：求可导函数极值的步骤是：确定函数定3 / 4义域，求导数 f(x)；求 f(x)= 0 的所有实数根；对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数 f(x)的符号如何变化，如果 f(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；如果 f(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值.。注意：如果 f(x)= 0 的根 x = x0 的左右侧符号不变，则 f(x0)不是极值。 四、用导数求函数的最值五、证明不等式5、方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值” 。总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使