n阶幻方的填法

n 阶幻方的填法 n 3 幻方 亦称纵横图 台湾称为魔术方阵 将自然数 1 2 3 n2排列 成一个 n2方阵 使得每行 每列以及两对角线上的各个数之和都相等 等于 这样的方阵称为幻方 1 2 2 2 1 幻方最早记载于我国公元前 500 年的春秋时期 大戴礼 中 这说明我国 人民早在 2500 年前就已经知道了幻方的排列规律 而在国外 公元 130 年 希 腊人塞翁才第一次提起幻方 我国不仅拥用幻方的发明权 而且是对幻方进行 深入研究的国家 公元 13 世纪的数学家杨辉已经编制出 3 10 阶幻方 记载在 他 1275 年写的 续古摘厅算法 一书中 在欧洲 直到 574 年 德国著名画家 丢功才绘制出了完整的 4 阶幻方 例如 把 1 2 3 4 5 6 7 8 9 填入 3 3 的格子 使得 每行 每列 两条对角线的和是 15 816 357 492 n 是它的阶数 比如上面的幻方是 3 阶 n 2 n n 1 为幻方的变幻常数 数学上已经证明 对于 n 2 n 阶幻方都存在 目前填写幻方的方法 是把幻方分成了三类 每类又有各种各样的填写方法 这里对于这三类幻方 仅举出一种方便手工填写的方法 1 1 奇数阶幻方 奇数阶幻方 n 为奇数 n 3 5 7 9 11 n 2 k 1 k 1 2 3 4 5 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法 也有人称之为楼梯方 填写方法是这样 把 1 或最小的数 放在第一行正中 按以下规律排列剩下的 n n 1 个数 1 每一个数放在前一个数的右上一格 2 如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行 仍然要放在 右一列 3 如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列 仍然要 放在上一行 4 如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列 那么就把它放在 前一个数的下一行同一列的格内 5 如果这个数所要放的格已经有数填入 处理方法同 4 这种写法总是先向 右上 的方向 象是在爬楼梯 2 2 双偶阶幻方 双偶阶幻方 n 为偶数 且能被 4 整除 n 4 8 12 16 20 n 4k k 1 2 3 4 5 先说明一个定义 互补 如果两个数字的和 等于幻方最大数和最小数的和 即 n n 1 称为互 补 先看看 4 阶幻方的填法 将数字从左到右 从上到下按顺序填写 1 1234 4 56 67 78 91010111112 131314151616 这个方阵的对角线 已经用蓝色标出 将对角线上的数字 换成与它互补的数 字 这里 n n 1 4 4 1 17 把 1 换成 17 1 16 把 6 换成 17 6 11 把 11 换成 17 11 6 换完后 就是一个四阶幻方 1616231313 5111110108 97 76 612 4 414151 1 对于 n 4k 阶幻方 我们先把数字按顺序填写 写好后 按 4 4 把它划分成 k k 个方阵 因为 n 是 4 的倍数 一定能用 4 4 的小方阵分割 然后把每个小方阵 的对角线 象制作 4 阶幻方的方法一样 对角线上的数字换成互补的数字 就 构成幻方 下面是 8 阶幻方的作法 1 先把数字按顺序填 然后 按 4 4 把它分割成 2 2 个小方阵 12345678 910111213141516 1718192021222324 2526272829303132 3334353637383940 4142434445464748 4950515253545556 5758596061626364 2 每个小方阵对角线上的数字 换成和它互补的数 64642 23 3616160606 67 75757 9 95555545412121313515150501616 17174747464620202121434342422424 40402626272737373636303031313333 32323434353529292828383839392525 41412323222244444545191918184848 49491515141452525353111110105656 8 8585859595 54 4626263631 1 3 3 单偶阶幻方 单偶阶幻方 n 为偶数 且不能被 4 整除 n 6 10 14 18 22 n 4k 2 k 1 2 3 4 5 这是三种里面最复杂的幻方 以 n 10 为例 这时 k 2 1 把方阵分为 A B C D 四个象限 这样每一个象限肯定是奇数阶 用楼梯 法 依次在 A 象限 D 象限 B 象限 C 象限按奇数阶幻方的填法填数 A B C D 172418156774515865 235714167355576466 461320225456637072 1012192136062697153 111825296168755259 92997683904249263340 98808289914830323941 79818895972931384547 85879496783537444628 869310077843643502734 2 在 A 象限的中间行 中间格开始 按自左向右的方向 标出 k 格 A 象限 的其它行则标出最左边的 k 格 172418156774515865 235714167355576466 461320225456637072 1012192136062697153 111825296168755259 92997683904249263340 98808289914830323941 79818895972931384547 85879496783537444628 869310077843643502734 3 将这些格 和 C 象限相对位置上的数 互换位置 929918156774515865 9880714167355576466 468895225456637072 8587192136062697153 869325296168755259 17247683904249263340 2358289914830323941 79811320972931384547 10129496783537444628 111810077843643502734 4 在 B 象限任一行的中间格 自右向左 标出 k 1 列 注 6 阶幻方由于 k 1 0 所以不用再作 B D 象限的数据交换 929918156774515865 9880714167355576466 468895225456637072 8587192136062697153 869325296168755259 17247683904249263340 2358289914830323941 79811320972931384547 10129496783537444628 111810077843643502734 5 将 B 象限标出的这些数 和 D 象限相对位置上的数进行交换 即可完成 929918156774265865 9880714167355326466 468895