行列式经典例题

线性代数线性代数 内部资料 个人复习资料 大学大学 行列式经典例题行列式经典例题 例例 1 1计算元素为 aij i j 的 n 阶行列式 解 方法 1 由题设知 0 故 11 a 12 1a 1 1 n an 011 102 120 n n n D nn 1 1 2 ii rr i n n 011 111 111 n 1 1 jn cc jn 12 11 021 1 2 1 02 0001 nn nnn n 其中第一步用的是从最后一行起 逐行减前一行 第二步用的每列加第列 n 方法 2 011 102 120 n n n D nn 1 1 2 1 111 111 120 ii rr in nn 1 2 100 120 1231 j cc jn nnn 12 1 2 1 nn n 例例 2 2 设a b c是互异的实数 证明 的充要条件是a b c 0 证明 考察范德蒙行列式 线性代数线性代数 内部资料 个人复习资料 行列式 即为y2前的系数 于是 所以 的充要条件是 a b c 0 例例 3计算 D n 121 100 010 nnn x x aaaxa 解 方法 1 递推法 按第 1 列展开 有 D x D 1 a x D a n1 n 1 n n 1 1 1 1 1n x x x 1 n n 由于 D x a 于是 D x D a x x D a a x D1 12 21 1x D axa n1 n n 2 n1 nn 2 ax a xD a x ax a 2 n1 nn 1 n 1 2 2 n 1 nn 1 11 nn nn xa xaxa 方法 2 第 2 列的 x 倍 第 3 列的 x 倍 第 n 列的 x倍分别加到第 1 列上 2 1 n 12 cxc n D 2 1121 0100 10 000 nnnn xx x axaaaxa 线性代数线性代数 内部资料 个人复习资料 2 13 cx c 3 2 121231 01000 0100 010 nnnnnn x xx axax aaaaxa 01 1 1 x fx n r 按展开 1 1 nf 1 1 1 1n x x x 1 11 nn nn xa xaxa 方法 3 利用性质 将行列式化为上三角行列式 Dn 21 32 1 1 1 1 nn cc x cc x cc x 1 12 2 000 000 000 nnn nnnn x x x aaa aaak xxx x k x a x n 按c 展开 1 n n 1 n 1 n n x a 2 1 n n x a x a2 1 1 11 nn nn aaxa xx 方法 4 n r n D 按展开 1 1 n n a 1000 100 001 x x 2 1 1 n n a 000 0100 001 x x 21 2 1 n a 100 000 0001 x x 2 1 1 n ax 100 000 000 x x x 1 1 a 1 1 ax 1 n1 n n 2 n2 n 1 n 线性代数线性代数 内部资料 个人复习资料 1 1 a x 1 a x x 12 n 2 2 nn2 1 1 n 1 11 nn nn aaxa xx 例例 4 4 计算 n 阶行列式 112 122 12 n n n nn abaa aaba D aaab 1 2 0 n bbb 解 采用升阶 或加边 法 该行列式的各行含有共同的元素 可在保持 12 n a aa 原行列式值不变的情况下 增加一行一列 适当选择所增行 或列 的元素 使得下一步 化简后出现大量的零元素 12 112 122 12 1 0 0 0 n n nn nn aaa abaa Daaba aaab 升阶 21 31 11n rr rr rr 12 1 2 1 100 100 100 n n aaa b b b 1 1 1 2 1 j j cc b jn 11 12 11 1 2 1 000 000 000 n n aa aaa bb b b b 1 1 2 1 1 n n n aa bbb bb 这个题的特殊情形是 12 12 12 n n n n axaa aaxa D aaax 1 1 n n i i xxa 可作为公式记下来 例例 5 5 计算 n 阶 三对角 行列式 D n 000 100 0100 0001 线性代数线性代数 内部资料 个人复习资料 解 方法 1 递推法 DD n 1 按c 展开 1 n 1 0000 100 0001 n D D 1 按r 展开 1 n 2 n 即有递推关系式 D D D n3 n 1 n 2 n 故 1nn DD 12 nn DD 递推得到 1nn DD 12 nn DD 2 23 nn DD 2 21 n DD 而 代入得 1 D 2 D 1 22 1 n nn DD 2 1 1 n nn DD 由递推公式得 1 n nn DD 1 2 nn n D D 2 2 n 1nn n 1n 1nn 时 当 时 当 1 n 1 11 n nn 方法 2 把 D 按第 1 列拆成 2 个 n 阶行列式n D n 000 100 0100 0001 000 100 0100 000 0001 上式右端第一个行列式等于 D 而第二个行列式 1 n 线性代数线性代数 内部资料 个人复习资料 000 100 0100 000 0001 1 2 ii cac in 0000 1000 0100 0001 n 于是得递推公式 已与 2 1 式相同 1 n nn DD 方法 3 在方法 1 中得递推公式 D D Dn 1 n 2 n 又因为当时 D 1 22 2 1 D 2 22 33 D 2 3 10 1 0 3 22 44 于是猜想 下面用数学归纳法证明 11nn n D 当 n 1 时 等式成立 假设当 nk 时成立 当 n k 1 是 由递推公式得 D D D 1 k k 1 k 11kk kk 22kk 所以对于 nN 等式都成立 例例 6 6 计算阶行列式 n 1 2 111 111 111 n n a a D a 其中 12 0 n a aa 线性代数线性代数 内部资料 个人复习资料 解 这道题有多种解法 方法 1 化为上三角行列式 n D 1 2 ir r in 1 12 1 111 n a aa aa 1 1 2 j j a cc a jn 2 11 0 0 n b a a 其中 于是 11 2 1 1 n i i baa a 1 1 1 1 n i i a a n D 12 1 1 1 n n i i a aa a 方法 2 升阶 或加边 法 1 2 1111 0111 0111 0111 n n a Da a 升阶 1 2 3 1 ir r in 1 2 1111 100 100 100 n a a a 11 1 1 1 12 1 2 1 1 2 1 1111 1 1 j j n i j cc an n jn i i n a a a aa aa a 方法 3 递推法 将改写为 n D 1 2 1110 1110 111 n n a a D a n 按c 拆开 1 2 111 111 111 a a 1 2 110 110 11 n a a a 由于 1 2 111 111 111 a a 1 1 in rr in 1 2 111 a a 121n a aa 线性代数线性代数 内部资料 个人复习资料 1 2 110 110 11 n a a a n 按c 展开 1nn a D 因此 为递推公式 而